The interpolasi linear adalah satu kaedah yang berasal interpolasi Newton am dan anggaran untuk menentukan untuk nilai yang tidak diketahui yang ada di antara dua nombor yang diberikan; iaitu, nilai perantaraan dijumpai. Ini juga diterapkan pada fungsi perkiraan, di mana nilai f (a) dan f (b) diketahui dan kami ingin mengetahui perantaraan f (x) .
Terdapat pelbagai jenis interpolasi, seperti linier, kuadratik, kubik dan darjah yang lebih tinggi, yang paling mudah adalah penghampiran linear. Harga yang mesti dibayar dengan interpolasi linear adalah bahawa hasilnya tidak akan setepat dengan perkiraan menggunakan fungsi darjah yang lebih tinggi.
Definisi
Interpolasi linier adalah proses yang membolehkan anda menyimpulkan nilai antara dua nilai yang ditentukan dengan baik, yang boleh berada dalam jadual atau grafik garis.
Sebagai contoh, jika anda mengetahui bahawa 3 liter susu bernilai $ 4 dan 5 liter itu bernilai $ 7, tetapi anda ingin mengetahui berapa nilai susu 4 liter, anda membuat interpolasi untuk menentukan nilai perantaraan itu.
Kaedah
Untuk menganggarkan nilai pertengahan fungsi, fungsi f (x) didekati dengan menggunakan garis r (x) , yang bermaksud bahawa fungsi tersebut berubah secara linear dengan «x» untuk bahagian «x = a» dan «x = b "; iaitu, untuk nilai "x" dalam selang waktu (x 0 , x 1 ) dan (y 0 , y 1 ), nilai "y" diberikan oleh garis antara titik dan dinyatakan oleh hubungan berikut:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Agar interpolasi menjadi linear, polinomial interpolasi mestilah darjah satu (n = 1), sehingga sesuai dengan nilai x 0 dan x 1.
Interpolasi linier didasarkan pada kesamaan segitiga, sedemikian rupa sehingga, berdasarkan geometri dari ungkapan sebelumnya, nilai "y" dapat diperoleh, yang mewakili nilai yang tidak diketahui untuk "x".
Dengan cara itu anda harus:
a = tan Ɵ = (kaki bertentangan 1 ÷ kaki bersebelahan 1 ) = (kaki bertentangan 2 ÷ kaki bersebelahan 2 )
Diungkapkan dengan cara lain, ia adalah:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Menyelesaikan «dan» dari ungkapan, kami mempunyai:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Oleh itu, persamaan umum untuk interpolasi linear diperoleh:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Secara amnya, interpolasi linier memberikan ralat kecil pada nilai sebenar fungsi yang sebenarnya, walaupun ralatnya minimum berbanding jika anda secara intuitif memilih nombor yang dekat dengan yang anda ingin cari.
Kesalahan ini berlaku semasa cuba menghampiri nilai lengkung dengan garis lurus; Dalam kes-kes ini, ukuran selang mesti dikurangkan untuk membuat pendekatan lebih tepat.
Untuk hasil yang lebih baik mengenai penghampiran, disarankan untuk menggunakan fungsi darjah 2, 3 atau bahkan darjah yang lebih tinggi untuk melakukan interpolasi. Untuk kes-kes ini teorema Taylor adalah alat yang sangat berguna.
Latihan yang diselesaikan
Latihan 1
Bilangan bakteria per unit isipadu yang ada dalam inkubasi setelah x jam ditunjukkan dalam jadual berikut. Anda ingin mengetahui berapakah jumlah bakteria selama 3.5 jam.
Penyelesaian
Jadual rujukan tidak menetapkan nilai yang menunjukkan jumlah bakteria selama 3,5 jam, tetapi memiliki nilai atas dan bawah masing-masing sesuai dengan waktu 3 dan 4 jam. Jalan itu:
x 0 = 3 dan 0 = 91
x = 3.5 y =?
x 1 = 4 dan 1 = 135
Sekarang, persamaan matematik digunakan untuk mencari nilai interpolasi, yang berikut:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Kemudian nilai yang sesuai diganti:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0.5
y = 113.
Oleh itu, diperoleh bahawa selama 3,5 jam, jumlah bakteria adalah 113, yang mewakili tahap perantaraan antara jumlah bakteria yang ada pada masa 3 dan 4 jam.
Latihan 2
Luis mempunyai sebuah kilang ais krim, dan dia ingin membuat kajian untuk menentukan pendapatan yang dimilikinya pada bulan Ogos berdasarkan perbelanjaan yang dibuat. Pentadbir syarikat membuat grafik yang menyatakan hubungan ini, tetapi Luis ingin mengetahui:
Berapakah pendapatan untuk bulan Ogos, jika berlaku perbelanjaan $ 55,000?
Penyelesaian
Grafik diberikan dengan nilai pendapatan dan perbelanjaan. Luis ingin mengetahui berapa pendapatan bulan Ogos sekiranya kilang itu mempunyai perbelanjaan sebanyak $ 55,000. Nilai ini tidak ditunjukkan secara langsung dalam grafik, tetapi nilainya lebih tinggi dan lebih rendah daripada ini.
Mula-mula jadual dibuat di mana untuk mengaitkan nilai dengan mudah:
Sekarang, formula interpolasi digunakan untuk menentukan nilai y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Kemudian nilai yang sesuai diganti:
y = 56,000 + (78,000 - 56,000) *
y = 56,000 + (22,000) *
y = 56,000 + (22,000) * (0,588)
y = 56,000 + 12,936
y = $ 68,936.
Sekiranya perbelanjaan $ 55,000 dibuat pada bulan Ogos, pendapatannya adalah $ 68,936.
Rujukan
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
- Harpe, P. d. (2000). Topik dalam Teori Kumpulan Geometrik. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolasi linear ", Ensiklopedia Matematik.
- , JM (1998). Unsur kaedah berangka untuk Kejuruteraan. UASLP.
- , E. (2002). Kronologi interpolasi: dari astronomi kuno hingga pemprosesan isyarat dan imej moden. Prosiding IEEE.
- berangka, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.