TABURAN HIPERGEOMETRIK: FORMULA, PERSAMAAN, MODEL - DUDAS - 2024

The pengagihan hipergeometri adalah fungsi statistik diskret, sesuai untuk mengira kebarangkalian dalam eksperimen rawak dengan dua hasil yang mungkin. Syarat yang diperlukan untuk menerapkannya adalah bahawa mereka adalah populasi kecil, di mana pengeluaran tidak diganti dan kebarangkalian tidak tetap.

Oleh itu, apabila elemen populasi dipilih untuk mengetahui hasil (benar atau salah) ciri tertentu, elemen yang sama tidak dapat dipilih lagi.

Rajah 1. Dalam populasi bolt seperti ini, pasti ada spesimen yang cacat. Sumber: Pixabay.

Sudah tentu, elemen seterusnya yang dipilih lebih cenderung memperoleh hasil yang benar, jika elemen sebelumnya mempunyai hasil yang negatif. Ini bermaksud bahawa kebarangkalian berbeza-beza kerana unsur-unsur diekstrak dari sampel.

Aplikasi utama pengedaran hipergeometrik adalah: kawalan kualiti dalam proses dengan populasi yang sedikit dan pengiraan kebarangkalian dalam permainan peluang.

Bagi fungsi matematik yang menentukan taburan hipergeometrik, ia terdiri daripada tiga parameter, iaitu:

- Bilangan elemen populasi (N)

- Saiz sampel (m)

- Jumlah peristiwa di seluruh populasi dengan hasil yang baik (atau tidak baik) dari ciri yang dikaji (n).

Formula dan persamaan

Rumus untuk taburan hipergeometrik memberikan kebarangkalian P bahawa x kes yang baik dari ciri tertentu berlaku. Cara menulisnya secara matematik, berdasarkan nombor gabungan adalah:

Dalam ungkapan sebelumnya N, n dan m adalah parameter dan x adalah pemboleh ubah itu sendiri.

- Jumlah penduduk adalah N.

-Bilangan hasil positif ciri binari tertentu berkenaan dengan jumlah populasi adalah n.

-Jumlah unsur dalam sampel adalah m.

Dalam kes ini, X adalah pemboleh ubah rawak yang mengambil nilai x dan P (x) menunjukkan kebarangkalian berlakunya kes x yang disukai dari ciri yang dikaji.

Pemboleh ubah statistik penting

Pemboleh ubah statistik lain untuk taburan hipergeometrik adalah:

- Purata μ = m * n / N

- Varians σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- Sisihan piawai σ yang merupakan punca kuasa dua varians.

Model dan sifat

Untuk sampai pada model taburan hipergeometrik, kita mulai dari kebarangkalian memperoleh x kes yang baik dalam sampel berukuran m. Sampel ini mengandungi elemen yang sesuai dengan harta benda yang sedang dikaji dan elemen yang tidak sesuai.

Ingat bahawa n mewakili jumlah kes yang baik dalam jumlah populasi unsur N. Maka kebarangkalian akan dikira seperti ini:

Menyatakan perkara di atas dalam bentuk nombor kombinatori, model taburan kebarangkalian berikut dicapai:

Sifat utama pengedaran hipergeometrik

Ia adalah seperti berikut:

- Sampel mesti selalu kecil, walaupun populasinya besar.

- Unsur-unsur sampel diekstrak satu persatu, tanpa memasukkannya kembali ke dalam populasi.

- Harta yang akan dikaji adalah binari, iaitu hanya boleh mengambil dua nilai: 1 atau 0, atau benar atau salah.

Dalam setiap langkah pengekstrakan elemen, kebarangkalian berubah bergantung pada hasil sebelumnya.

Pendekatan menggunakan taburan binomial

Satu lagi sifat taburan hipergeometrik adalah bahawa ia dapat dihampiri dengan taburan binomial, yang dilambangkan Bi, asalkan populasi N besar dan sekurang-kurangnya 10 kali lebih besar daripada sampel m. Dalam kes ini kelihatan seperti ini:

Kebarangkalian x = 3 skru dalam sampel rosak adalah: P (500, 5, 60, 3) = 0.0129.

Sebahagiannya, kebarangkalian x = 4 skru dari enam puluh sampel yang rosak adalah: P (500, 5, 60; 4) = 0.0008.

Akhirnya, kebarangkalian x = 5 skru dalam sampel itu rosak adalah: P (500, 5, 60; 5) = 0.

Tetapi jika anda ingin mengetahui kebarangkalian bahawa dalam sampel itu terdapat lebih dari 3 skru yang rosak, maka anda harus mendapatkan kebarangkalian kumulatif, dengan menambahkan:

Contoh ini digambarkan dalam gambar 2, diperoleh dengan menggunakan GeoGebra, perisian percuma yang banyak digunakan di sekolah, institut dan universiti.

Rajah 2. Contoh taburan hipergeometrik. Disediakan oleh F. Zapata dengan GeoGebra.

Contoh 2

Dek dek Sepanyol mempunyai 40 kad, 10 daripadanya mempunyai emas dan selebihnya 30 tidak. Katakan 7 kad dilukis secara rawak dari geladak itu, yang tidak digabungkan semula ke dalam geladak.

Sekiranya X adalah bilangan emas yang terdapat dalam 7 kad yang ditarik, maka kebarangkalian anda akan mendapat emas x dalam cabutan 7 kad diberikan oleh taburan hipergeometrik P (40,10,7; x).

Mari lihat seperti ini: untuk mengira kebarangkalian memiliki 4 emas dalam cabutan 7 kad, kami menggunakan formula taburan hipergeometrik dengan nilai berikut:

Dan hasilnya adalah: Kebarangkalian 4.57%.

Tetapi jika anda ingin mengetahui kebarangkalian mendapat lebih dari 4 kad, maka anda harus menambahkan:

Latihan yang diselesaikan

Kumpulan latihan berikut bertujuan untuk menggambarkan dan mengasimilasikan konsep yang telah dikemukakan dalam artikel ini. Penting agar pembaca berusaha menyelesaikannya sendiri, sebelum melihat jalan penyelesaiannya.

Latihan 1

Sebuah kilang kondom mendapati bahawa daripada setiap 1000 kondom yang dihasilkan oleh mesin tertentu, 5 mengalami kerosakan. Untuk kawalan kualiti, 100 kondom diambil secara rawak dan banyaknya ditolak sekiranya terdapat sekurang-kurangnya satu atau lebih rosak. Jawapan:

a) Apakah kemungkinan banyak 100 akan dibuang?

b) Adakah kriteria kawalan kualiti ini berkesan?

Penyelesaian

Dalam kes ini, nombor kombinatorial yang sangat besar akan muncul. Pengiraannya sukar, kecuali anda mempunyai pakej perisian yang sesuai.

Tetapi kerana jumlah populasi yang besar dan sampelnya sepuluh kali lebih kecil daripada jumlah populasi, adalah mungkin untuk menggunakan perkiraan taburan hipergeometrik dengan taburan binomial:

Dalam ungkapan di atas C (100, x) adalah nombor gabungan. Maka kebarangkalian mengalami lebih dari satu kecacatan akan dikira seperti ini:

Ini adalah pendekatan yang sangat baik, jika dibandingkan dengan nilai yang diperoleh dengan menerapkan taburan hipergeometrik: 0,4102

Boleh dikatakan bahawa, dengan kebarangkalian 40%, sekumpulan 100 profilaksis harus dibuang, yang tidak begitu efisien.

Tetapi, menjadi kurang menuntut dalam proses kawalan kualiti dan membuang 100 hanya jika terdapat dua atau lebih kecacatan, maka kemungkinan membuang lot akan jatuh kepada hanya 8%.

Latihan 2

Mesin blok plastik berfungsi sedemikian rupa sehingga setiap 10 keping, satu keluar cacat. Dalam sampel 5 keping, seberapa besar kemungkinan hanya satu kepingan yang rosak?

Penyelesaian

Penduduk: N = 10

Bilangan n kecacatan untuk setiap N: n = 1

Saiz sampel: m = 5

Oleh itu terdapat kebarangkalian 50% bahawa dalam sampel 5, blok akan cacat.

Latihan 3

Dalam perjumpaan lulusan sekolah menengah muda terdapat 7 wanita dan 6 lelaki. Di antara gadis-gadis itu, 4 belajar humaniora dan 3 sains. Dalam kumpulan budak lelaki, 1 belajar humaniora dan 5 sains. Hitungkan yang berikut:

a) Memilih tiga gadis secara rawak: bagaimana kemungkinan mereka semua mempelajari kemanusiaan?

b) Sekiranya tiga orang yang menghadiri perjumpaan rakan dipilih secara rawak: Apakah kemungkinan mereka bertiga, tanpa mengira jantina, mempelajari sains ketiganya, atau kemanusiaan juga ketiganya?

c) Sekarang pilih dua rakan secara rawak dan panggil x pemboleh ubah rawak "bilangan mereka yang mempelajari kemanusiaan". Di antara dua yang dipilih, tentukan nilai min atau jangkaan x dan varians σ ^ 2.

Penyelesaian untuk

Nilai yang akan digunakan sekarang adalah:

-Populasi: N = 14

-Jumlah yang mengkaji huruf adalah: n = 6 dan the

-Saiz sampel: m = 3.

-Bilangan rakan yang mempelajari bidang kemanusiaan: x

Mengikut ini, x = 3 bermaksud ketiga-tiga manusia mempelajari, tetapi x = 0 bermaksud tidak ada yang mempelajari humaniora. Kebarangkalian ketiga-tiga kajian yang sama diberikan oleh jumlah:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0.0560 + 0.1539 = 0.2099

Kemudian kita mempunyai kebarangkalian 21% bahawa tiga orang peserta mesyuarat, yang dipilih secara rawak, akan mengkaji perkara yang sama.

Penyelesaian c

Di sini kita mempunyai nilai berikut:

N = 14 jumlah populasi rakan, n = 6 jumlah keseluruhan populasi yang mengkaji kemanusiaan, ukuran sampel adalah m = 2.

Harapan adalah:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0.8572

Dan perbezaannya:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * ( 14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / ( 13) = 0.4521

Rujukan

1. Taburan kebarangkalian diskrit. Dipulihkan dari: biplot.usal.es
2. Statistik dan kebarangkalian. Taburan hipergeometrik. Dipulihkan dari: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. Taburan hipergeometrik. Dipulihkan dari: ugr.es
4. Geogebra. Geogebra klasik, kalkulus kebarangkalian. Dipulihkan dari geogebra.org
5. Cubalah mudah. Menyelesaikan masalah taburan hipergeometrik. Dipulihkan dari: probafacil.com
6. Minitab. Taburan hipergeometrik. Dipulihkan dari: support.minitab.com
7. Universiti Vigo. Pembahagian diskrit utama. Dipulihkan dari: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitutor. Statistik dan kombinatorik. Dipulihkan dari: vitutor.net
9. Weisstein, Eric W. Hypergeometric Taburan. Dipulihkan dari: mathworld.wolfram.com
10. Wikipedia. Taburan hipergeometrik. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com