FUNGSI TRANSENDEN: JENIS, DEFINISI, SIFAT, CONTOH - MATEMATIK - 2025

Yang rendah fungsi rohani adalah eksponen, logaritma, trigonometri, songsang fungsi trigonometri, hiperbola dan songsang fungsi hiperbolik. Artinya, mereka adalah yang tidak dapat dinyatakan dengan cara polinomial, sebilangan besar polinomial atau akar polinomial.

Fungsi transenden tidak unsur juga dikenali sebagai fungsi khas dan antaranya fungsi kesalahan dapat dinamakan. Fungsi algebra (polinomial, quotients of polynomials dan root of polynomials) bersama-sama dengan fungsi transendental elemen merupakan apa yang dalam matematik dikenali sebagai fungsi asas.

Fungsi transenden juga dianggap fungsi yang dihasilkan dari operasi antara fungsi transenden atau antara fungsi transenden dan algebra. Operasi ini adalah: jumlah dan perbezaan fungsi, produk dan hasil fungsi, serta komposisi dua atau lebih fungsi.

Definisi dan sifat

Fungsi eksponen

Ini adalah fungsi sebenar pemboleh ubah bebas nyata dari bentuk:

f (x) = a ^ x = a ^x

di mana a adalah nombor nyata positif tetap (a> 0) yang disebut asas. Sirkfleks atau superskrip digunakan untuk menunjukkan operasi berpotensi.

Katakan a = 2 maka fungsi kelihatan seperti ini:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Yang akan dinilai untuk beberapa nilai pemboleh ubah bebas x:

Di bawah ini adalah grafik di mana fungsi eksponensial ditunjukkan untuk beberapa nilai asas, termasuk asas e (Neper nombor e ≃ 2.72). Asas e sangat penting sehingga secara umum mengenai fungsi eksponensial yang kita fikirkan e ^ x, yang juga dilambangkan exp (x).

Gambar 1. Fungsi eksponen a ^ x, untuk pelbagai nilai asas a. (Penjelasan sendiri)

Sifat fungsi eksponen

Dari rajah 1 dapat diperhatikan bahawa domain fungsi eksponensial adalah angka nyata (Dom f = R ) dan julat atau jalur adalah real positif (Ran f = R ⁺ ).

Sebaliknya, tanpa mengira nilai asas a, semua fungsi eksponensial melewati titik (0, 1) dan melalui titik (1, a).

Apabila asas a> 1, maka fungsinya semakin meningkat dan ketika 0 <a <1 fungsi tersebut semakin menurun.

Lengkung y = a ^ x dan y = (1 / a) ^ x adalah simetri mengenai paksi Y.

Dengan pengecualian kasus a = 1, fungsi eksponensial adalah suntikan, yaitu, untuk setiap nilai gambar sesuai dengan satu dan hanya satu nilai awal.

Fungsi logaritma

Ini adalah fungsi sebenar pemboleh ubah bebas nyata berdasarkan definisi logaritma nombor. Logaritma berdasarkan nombor x adalah nombor y yang asasnya mesti dinaikkan untuk mendapatkan argumen x:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Artinya, fungsi logaritma berdasarkan adalah fungsi songsang fungsi eksponen berdasarkan.

Sebagai contoh:

log ₂ 1 = 0, kerana 2 ^ 0 = 1

Kes lain, log ₂ 4 = 2, kerana 2 ^ 2 = 4

Logaritma akar 2 adalah log ₂ √2 = ½, kerana 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, kerana 2 ^ (- 2) = ¼

Di bawah ini adalah graf fungsi logaritma dalam pelbagai asas.

Rajah 2. Fungsi eksponen untuk nilai asas yang berbeza. (Penjelasan sendiri)

Sifat fungsi logaritma

Domain fungsi logaritma y (x) = log a (x) adalah nombor nyata positif R + . Julat perjalanan atau adalah nombor nyata R .

Tidak kira asasnya, fungsi logaritma selalu melewati titik (1,0) dan titik (a, 1) tergolong dalam graf fungsi tersebut.

Sekiranya asas a lebih besar daripada kesatuan (a> 1) fungsi logaritma semakin meningkat. Tetapi jika (0 <a <1) maka itu adalah fungsi penurunan.

Fungsi Sinus, Kosinus, dan Tangen

Fungsi sinus memberikan nombor nyata dan setiap nilai x, di mana x mewakili ukuran sudut dalam radian. Untuk mendapatkan nilai sudut (x) sudut, sudut diwakili dalam lingkaran unit dan unjuran sudut tersebut pada paksi menegak adalah sinus yang sesuai dengan sudut itu.

Lingkaran trigonometri dan sinus untuk pelbagai nilai sudut X1, X2, X3, dan X4 ditunjukkan di bawah (dalam Rajah 3).

Rajah 3. Lingkaran trigonometri dan sinus dari pelbagai sudut. (Penjelasan sendiri)

Ditentukan dengan cara ini, nilai maksimum yang dapat dimiliki fungsi Sen (x) adalah 1, yang berlaku apabila x = π / 2 + 2π n, di mana n adalah bilangan bulat (0, ± 1, ± 2,). Nilai minimum yang dapat diambil oleh fungsi Sen (x) berlaku apabila x = 3π / 2 + 2π n.

Fungsi kosinus y = Cos (x) didefinisikan dengan cara yang serupa, tetapi unjuran kedudukan sudut P1, P2, dan lain-lain dilakukan pada paksi mendatar bulatan trigonometri.

Sebaliknya, fungsi y = Tan (x) adalah hasil bagi antara fungsi sinus dan fungsi kosinus.

Berikut adalah grafik fungsi transenden Sen (x), Cos (x) dan Tan (x)

Rajah 4. Graf fungsi transenden, Sinus, Kosinus dan Tangen. (Penjelasan sendiri)

Derivatif dan gabungan

Turunan fungsi eksponen

Derivatif y 'dari fungsi eksponen y = a ^ x adalah fungsi a ^ x didarab dengan logaritma semula jadi asas a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

Dalam kes asas e, turunan fungsi eksponensial adalah fungsi eksponen itu sendiri.

Integrasi fungsi eksponen

Integral tak tentu a ^ x adalah fungsi itu sendiri dibahagikan dengan logaritma semula jadi asas.

Dalam kes asas e, integral fungsi eksponensial adalah fungsi eksponen itu sendiri.

Jadual turunan dan gabungan fungsi transenden

Berikut adalah jadual ringkasan fungsi transenden utama, turunannya dan integrasi tak tentu (antiderivatif):

Jadual turunan dan gabungan tidak tentu untuk beberapa fungsi transenden. (Penjelasan sendiri)

Contoh

Contoh 1

Cari fungsi yang terhasil dari komposisi fungsi f (x) = x ^ 3 dengan fungsi g (x) = cos (x):

(kabus) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Derivatifnya dan integralnya tidak tentu ialah:

Contoh 2

Cari komposisi fungsi g dengan fungsi f, di mana g dan f adalah fungsi yang ditentukan dalam contoh sebelumnya:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Harus diingat bahawa komposisi fungsi bukan operasi komutatif.

Derivatif dan kamiran tak tentu untuk fungsi ini masing-masing:

Integral dibiarkan ditunjukkan kerana tidak mungkin menulis hasilnya sebagai kombinasi fungsi asas dengan tepat.

Rujukan

1. Kiraan Pembolehubah Tunggal. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Pembelajaran Cengage, 10 Nov 2008
2. Teorema Fungsi Tersirat: Sejarah, Teori, dan Aplikasi. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 Nov. 2012
3. Analisis Multivariabel. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 Dis. 2010
4. Dinamika Sistem: Pemodelan, Simulasi, dan Pengendalian Sistem Mekatronik. Dekan C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 Mac 2012
5. Kalkulus: Matematik dan Pemodelan. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 Jan. 1999
6. wikipedia. Fungsi transenden. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com