LATAR BELAKANG SEJARAH GEOMETRI ANALITIK - MATEMATIK - 2026

The latar belakang sejarah geometri analisis kembali ke abad ketujuh belas, apabila Pierre de Fermat dan René Descartes ditakrifkan idea asas. Penemuannya mengikuti pemodenan aljabar dan algebra François Viète.

Bidang ini mempunyai pangkalan di Yunani Kuno, terutama dalam karya Apollonius dan Euclid, yang mempunyai pengaruh besar dalam bidang matematik ini.

Idea penting di sebalik geometri analitik adalah bahawa hubungan antara dua pemboleh ubah, yang mana satu adalah fungsi yang lain, menentukan lengkung.

Idea ini mula dikembangkan oleh Pierre de Fermat. Berkat kerangka penting ini, Isaac Newton dan Gottfried Leibniz dapat mengembangkan kalkulus.

Ahli falsafah Perancis Descartes juga menemui pendekatan algebra untuk geometri, nampaknya sendiri. Karya Descartes mengenai geometri muncul dalam buku terkenalnya Discourse on Method.

Buku ini menunjukkan bahawa pembinaan geometri kompas dan tepi lurus melibatkan penambahan, pengurangan, pendaraban, dan punca kuasa dua.

Geometri analitik mewakili penyatuan dua tradisi penting dalam matematik: geometri sebagai kajian bentuk, dan aritmetik dan aljabar, yang berkaitan dengan kuantiti atau nombor. Oleh itu, geometri analitik adalah kajian mengenai bidang geometri menggunakan sistem koordinat.

Sejarah

Latar belakang geometri analisis

Hubungan antara geometri dan aljabar telah berkembang sepanjang sejarah matematik, walaupun geometri mencapai tahap kematangan lebih awal.

Sebagai contoh, ahli matematik Yunani Euclid dapat mengatur banyak hasil dalam buku klasiknya The Elements.

Tetapi Apollonius Yunani Perga kuno yang meramalkan perkembangan geometri analitik dalam bukunya Conics. Dia mendefinisikan kon sebagai persimpangan antara kon dan satah.

Dengan menggunakan hasil Euclid pada segitiga dan pemisah bulatan yang serupa, dia mendapati hubungan yang diberikan oleh jarak dari titik "P" mana-mana kon dengan dua garis tegak lurus, paksi utama sebuah kon, dan tangen pada titik akhir paksi. Apollonius menggunakan hubungan ini untuk menyimpulkan sifat asas dari kerucut.

Perkembangan sistem koordinat seterusnya dalam matematik hanya muncul setelah aljabar matang terima kasih kepada ahli matematik Islam dan India.

Sehingga Zaman Renaissance, geometri digunakan untuk membenarkan penyelesaian terhadap masalah algebra, tetapi tidak banyak yang boleh menyumbang kepada geometri.

Keadaan ini akan berubah dengan penerapan notasi yang sesuai untuk hubungan aljabar dan pengembangan konsep fungsi matematik, yang sekarang mungkin terjadi.

Abad XVI

Pada akhir abad ke-16, ahli matematik Perancis François Viète memperkenalkan notasi algebra sistematik pertama, menggunakan huruf untuk mewakili jumlah berangka, baik yang diketahui maupun yang tidak diketahui.

Dia juga mengembangkan kaedah umum yang kuat untuk bekerja ungkapan algebra dan menyelesaikan persamaan algebra.

Berkat ini, ahli matematik tidak bergantung sepenuhnya pada angka geometri dan intuisi geometri untuk menyelesaikan masalah.

Bahkan sebilangan ahli matematik mula meninggalkan cara berfikir geometri standard, yang mana pemboleh ubah linier dengan panjang dan petak sesuai dengan kawasan, sementara pemboleh ubah kubik sesuai dengan isipadu.

Yang pertama mengambil langkah ini adalah ahli falsafah dan ahli matematik René Descartes, dan pengacara dan ahli matematik Pierre de Fermat.

Asas geometri analisis

Descartes dan Fermat secara bebas mengasaskan geometri analitik pada tahun 1630-an, menggunakan aljabar Viète untuk kajian lokus.

Ahli matematik ini menyedari bahawa aljabar adalah alat yang kuat dalam geometri dan mencipta apa yang dikenali sekarang sebagai geometri analitik.

Salah satu kejayaan yang mereka lakukan adalah mengatasi Viète dengan menggunakan huruf untuk mewakili jarak yang berubah-ubah dan bukannya tetap.

Descartes menggunakan persamaan untuk mengkaji lengkung yang ditentukan secara geometri, dan menekankan perlunya mempertimbangkan lengkung algebra-grafik umum bagi persamaan polinomial dalam darjah "x" dan "y".

Bagi pihaknya, Fermat menekankan bahawa sebarang hubungan antara koordinat "x" dan "y" menentukan keluk.

Dengan menggunakan idea-idea ini, dia menyusun semula pernyataan Apollonius dengan istilah algebra dan memulihkan beberapa karyanya yang hilang.

Fermat menunjukkan bahawa sebarang persamaan kuadrat dalam "x" dan "y" dapat diletakkan dalam bentuk piawai salah satu bahagian kerucut. Walaupun begitu, Fermat tidak pernah menerbitkan karyanya mengenai perkara ini.

Berkat kemajuan mereka, apa yang Archimedes dapat selesaikan dengan susah payah dan untuk kes terpencil, Fermat dan Descartes dapat menyelesaikan dengan cepat dan sebilangan besar lekuk (sekarang dikenali sebagai lengkung algebra).

Tetapi ideanya hanya mendapat penerimaan umum melalui usaha ahli matematik lain pada pertengahan abad ke-17.

Ahli matematik Frans van Schooten, Florimond de Beaune, dan Johan de Witt membantu mengembangkan karya Decartes dan menambah bahan tambahan yang penting.

Pengaruh

Di England John Wallis mempopularkan geometri analitik. Dia menggunakan persamaan untuk menentukan kerucut dan memperoleh sifatnya. Walaupun dia menggunakan koordinat negatif secara bebas, itu adalah Isaac Newton yang menggunakan dua paksi serong untuk membahagi pesawat menjadi empat kuadran.

Newton dan Gottfried Leibniz Jerman merevolusikan matematik pada akhir abad ke-17 dengan menunjukkan kekuatan kalkulus secara bebas.

Newton menunjukkan pentingnya kaedah analisis dalam geometri dan peranannya dalam kalkulus ketika dia menegaskan bahawa mana-mana kubus (atau lengkung aljabar darjah ketiga) mempunyai tiga atau empat persamaan standard untuk paksi koordinat yang sesuai. Dengan bantuan Newton sendiri, ahli matematik Scotland John Stirling membuktikannya pada tahun 1717.

Geometri analisis tiga dan lebih banyak dimensi

Walaupun kedua-dua Descartes dan Fermat mencadangkan penggunaan tiga koordinat untuk mengkaji lengkung dan permukaan di ruang angkasa, geometri analitik tiga dimensi berkembang perlahan hingga tahun 1730.

Ahli matematik Euler, Hermann, dan Clairaut menghasilkan persamaan umum untuk silinder, kerucut, dan permukaan revolusi.

Sebagai contoh, Euler menggunakan persamaan untuk terjemahan di angkasa untuk mengubah permukaan kuadratik umum sehingga paksi utamanya bertepatan dengan paksi koordinatnya.

Euler, Joseph-Louis Lagrange, dan Gaspard Monge membuat geometri analitik bebas daripada geometri sintetik (bukan analitik).

Rujukan

1. Perkembangan geometri analitik (2001). Dipulihkan dari ensiklopedia.com
2. Sejarah geometri analitik (2015). Dipulihkan dari maa.org
3. Analisis (Matematik). Dipulihkan dari britannica.com
4. Geometri analitik. Dipulihkan dari britannica.com
5. Descartes dan kelahiran geometri analitik. Dipulihkan dari sciencedirect.com