ANTIDERIVATIF: FORMULA DAN PERSAMAAN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK

An antiterbitan F (x) suatu fungsi f (x) juga dikenali sebagai primitif atau hanya penting tidak terbatas fungsi berkata, jika pada Saya selang diberikan, ia beroleh kegenapannya yang F'(x) = f (x)

Sebagai contoh mari kita lakukan fungsi berikut:

f (x) = 4x ³

Antiderivatif fungsi ini adalah F (x) = x ⁴ , kerana ketika membezakan F (x) menggunakan peraturan terbitan untuk kuasa:

Kami memperoleh tepat f (x) = 4x ³ .

Walau bagaimanapun, ini adalah salah satu daripada banyak antivirus dari f (x), kerana fungsi ini yang lain: G (x) = x ⁴ + 2 juga, kerana apabila membezakan G (x) dengan x, yang sama akan diperoleh belakang f (x).

Mari kita periksa:

Ingat bahawa derivatif bagi pemalar adalah 0. Oleh itu , kita boleh menambahkan sebarang pemalar pada istilah x ⁴ dan terbitannya tetap 4x ³ .

Disimpulkan bahawa sebarang fungsi bentuk umum F (x) = x ⁴ + C, di mana C adalah pemalar sebenar, berfungsi sebagai penawar f (x).

Contoh ilustrasi di atas dapat dinyatakan seperti ini:

dF (x) = 4x ³ dx

Unggul antiderivatif atau tidak tentu dinyatakan dengan simbol ∫, oleh itu:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Di mana fungsi f (x) = 4x ³ disebut integrand, dan C adalah pemalar integrasi.

Contohnya ubat penawar

Rajah 1. Antiderivatif tidak lebih daripada integral tak tentu. Sumber: Pixabay.

Mencari antiderivatif fungsi adalah mudah dalam beberapa kes di mana turunannya terkenal. Sebagai contoh, biarkan fungsi f (x) = sin x, antiderivatif untuknya adalah fungsi lain F (x), sehingga dengan membezakannya kita memperoleh f (x).

Fungsi itu boleh:

F (x) = - cos x

Mari kita periksa bahawa ia benar:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Oleh itu kita boleh menulis:

∫sen x dx = -cos x + C

Selain mengetahui turunannya, terdapat beberapa peraturan integrasi asas dan sederhana untuk mencari integral antiderivatif atau tidak tentu.

Biarkan k menjadi pemalar sebenar, maka:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Sekiranya fungsi h (x) dapat dinyatakan sebagai penambahan atau pengurangan dua fungsi, maka integral tidak tentu adalah:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Ini adalah sifat linear.

Peraturan kuasa untuk integrasi dapat dibentuk dengan cara ini:

Untuk kes n = -1, peraturan berikut digunakan:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Sangat mudah untuk menunjukkan bahawa terbitan ln x tepatnya x ^-1 .

Persamaan pembezaan

Persamaan pembezaan adalah persamaan yang tidak diketahui dijumpai sebagai turunan.

Sekarang, dari analisis sebelumnya, mudah untuk menyedari bahawa operasi terbalik kepada derivatif adalah antivirus atau integral tak tentu.

Biarkan f (x) = y´ (x), iaitu turunan fungsi tertentu. Kita boleh menggunakan notasi berikut untuk menunjukkan terbitan ini:

Segera berikut bahawa:

Tidak diketahui persamaan pembezaan adalah fungsi y (x), yang mana turunannya adalah f (x). Untuk menyelesaikannya, ungkapan sebelumnya disatukan di kedua-dua belah pihak, yang setara dengan penggunaan antiderivatif:

Kamiran kiri diselesaikan oleh peraturan integrasi 1, dengan k = 1, sehingga menyelesaikan yang tidak diketahui yang diinginkan:

Dan kerana C adalah pemalar sebenar, untuk mengetahui mana yang sesuai dalam setiap kes, pernyataan itu mesti mengandungi maklumat tambahan yang cukup untuk mengira nilai C. Ini disebut keadaan awal.

Kami akan melihat contoh penerapan semua ini di bahagian seterusnya.

Latihan penawar

- Latihan 1

Terapkan peraturan integrasi untuk mendapatkan antiderivatif berikut atau integrasi tak tentu fungsi yang diberikan, mempermudah hasilnya sebanyak mungkin. Lebih mudah untuk mengesahkan hasilnya dengan derivasi.

Rajah 2. Latihan antiderivatif atau gabungan yang pasti. Sumber: Pixabay.

Penyelesaian untuk

Kami menerapkan peraturan 3 terlebih dahulu, kerana integrand adalah jumlah dua istilah:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Untuk kamiran pertama, peraturan kuasa berlaku:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

Dalam peraturan integral kedua 1 diterapkan, di mana k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

Dan kini hasilnya ditambah. Kedua-dua pemalar dikelompokkan menjadi satu, secara amnya dipanggil C:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + 7x + C

Penyelesaian b

Secara linear, integral ini diuraikan menjadi tiga integrasi yang lebih sederhana, yang akan digunakan peraturan kuasa:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Perhatikan bahawa pemalar perpaduan muncul untuk setiap kamiran, tetapi mereka bertemu dalam satu panggilan C.

Penyelesaian c

Dalam kes ini, lebih mudah menggunakan sifat pendaraban pendaraban untuk mengembangkan integrand. Kemudian peraturan kuasa digunakan untuk mencari setiap integral secara berasingan, seperti pada latihan sebelumnya.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Pembaca yang berhati-hati akan memperhatikan bahawa dua istilah pusat adalah serupa, oleh itu ia dikurangkan sebelum menyatukan:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Penyelesaian e

Salah satu cara untuk menyelesaikan integral adalah dengan mengembangkan kekuatan, seperti yang dilakukan pada contoh d. Namun, karena eksponen lebih tinggi, disarankan untuk mengubah pemboleh ubahnya, agar tidak perlu melakukan pengembangan yang panjang.

Perubahan pemboleh ubah adalah seperti berikut:

u = x + 7

Mendapatkan ungkapan ini ke kedua-dua belah pihak:

du = dx

Integral diubah menjadi lebih sederhana dengan pemboleh ubah baru, yang diselesaikan dengan peraturan kuasa:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Akhirnya perubahan dikembalikan untuk kembali ke pemboleh ubah asal:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Latihan 2

Zarah pada mulanya berada dalam keadaan rehat dan bergerak sepanjang paksi-x. Pecutannya untuk t> 0 diberikan oleh fungsi a (t) = cos t. Telah diketahui bahawa pada t = 0, kedudukannya adalah x = 3, semuanya dalam unit Sistem Antarabangsa. Ia diminta untuk mencari halaju v (t) dan kedudukan x (t) zarah tersebut.

Penyelesaian

Memandangkan pecutan adalah turunan halaju pertama berkenaan dengan masa, kita mempunyai persamaan pembezaan berikut:

a (t) = v´ (t) = cos t

Ini menunjukkan bahawa:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Sebaliknya, kita tahu bahawa halaju pada gilirannya merupakan turunan kedudukan, oleh itu kita bergabung semula:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Pemalar integrasi ditentukan dari maklumat yang diberikan dalam penyataan. Di tempat pertama ia mengatakan bahawa zarah itu pada mulanya dalam keadaan rehat, oleh itu v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Maka kita mempunyai x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Fungsi kelajuan dan kedudukan pasti seperti ini:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Rujukan

Engler, A. 2019. Kalkulus Integral. Universiti Kebangsaan Litoral.
Larson, R. 2010. Pengiraan pemboleh ubah. 9hb. Edisi. Bukit McGraw.
Teks Percuma Matematik. Ubat penawar. Dipulihkan dari: math.liibretexts.org.
Wikipedia. Antiderivatif. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.
Wikipedia. Integrasi yang tidak terbatas. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org.

ANTIDERIVATIF: FORMULA DAN PERSAMAAN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2026