BINOMIAL KONJUGASI: CARA MENYELESAIKANNYA, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2026

A binomial konjugat daripada binomial lain adalah salah satu di mana mereka hanya dibezakan dengan tanda operasi. Binomial, seperti namanya, adalah struktur algebra yang terdiri daripada dua istilah.

Beberapa contoh binomial ialah: (a + b), (3m - n) dan (5x - y). Dan binomial konjugasi masing-masing adalah: (a - b), (-3m - n) dan (5x + y). Seperti yang dapat dilihat dengan segera, perbezaannya ada pada tanda.

Rajah 1. Binomial dan konjugasi binomialnya. Mereka mempunyai istilah yang sama, tetapi berbeza dari segi tanda. Sumber: F. Zapata.

Binomial yang didarabkan dengan konjugatnya menghasilkan produk luar biasa yang banyak digunakan dalam aljabar dan sains. Hasil pendaraban adalah pengurangan kuasa dua bagi sebutan binomial asal.

Contohnya, (x - y) adalah binomial dan konjugatnya adalah (x + y). Jadi, produk dari dua binomial adalah perbezaan kuasa dua istilah:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Bagaimana anda menyelesaikan binomial konjugasi?

Peraturan yang dinyatakan mengenai binomial konjugasi adalah berikut:

Sebagai contoh aplikasi, kita akan mulai dengan menunjukkan hasil sebelumnya, yang dapat dilakukan dengan menggunakan harta pengagihan produk berkenaan dengan jumlah algebra.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Pendaraban di atas diperoleh dengan mengikuti langkah-langkah berikut:

- Istilah pertama binomial pertama didarabkan dengan istilah pertama kedua

- Kemudian yang pertama dari yang pertama, untuk yang kedua yang kedua

- Kemudian yang kedua dengan yang pertama yang kedua

- Akhirnya yang kedua dengan yang kedua yang kedua.

Sekarang mari buat perubahan kecil menggunakan sifat komutatif: yx = xy. Ia kelihatan seperti ini:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Oleh kerana terdapat dua istilah yang sama tetapi tanda bertentangan (diserlahkan dengan warna dan garis bawah), mereka dibatalkan dan dipermudahkan:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Akhirnya, diterapkan bahawa mengalikan nombor dengan sendirinya sama dengan menaikkannya ke segi empat sama, sehingga xx = x ² dan juga yy = y ² .

Dengan cara ini ditunjukkan apa yang telah ditunjukkan di bahagian sebelumnya, bahawa hasil tambah dan perbezaannya adalah perbezaan kotak:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Rajah 2. Sejumlah kali perbezaannya adalah perbezaan kuasa dua. Sumber: F. Zapata.

Contoh

- Binomial konjugasi pelbagai ungkapan

Contoh 1

Cari konjugasi (y ² - 3y).

Jawapan : (y ² + 3y)

Contoh 2

Dapatkan produk (y ² - 3y) dan konjugatnya.

Jawapan: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Contoh 3

Kembangkan produk (1 + 2a). (2a -1).

Jawapan: ungkapan sebelumnya bersamaan dengan (2a + 1). (2a -1), iaitu, ia sesuai dengan produk binomial dan konjugatnya.

Telah diketahui bahawa produk binomial oleh konjugasi binomialnya sama dengan perbezaan kuadrat dari istilah binomial:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Contoh 4

Tuliskan produk (x + y + z) (x - y - z) sebagai perbezaan kuasa dua.

Jawapan: kita dapat mengasimulasikan trinomial di atas dengan bentuk binomial konjugasi, dengan menggunakan tanda kurung dan tanda kurung persegi dengan berhati-hati:

(x + y + z) (x - y - z) =

Dengan cara ini perbezaan kotak dapat diterapkan:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Contoh 5

Nyatakan produk (m ² - m -1). (M ² + m -1) sebagai perbezaan kuasa dua.

Jawapan : ungkapan sebelumnya adalah hasil daripada dua trinomial. Mesti ditulis semula sebagai produk dua binomial terkonjugasi:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Kami menerapkan fakta bahawa produk binomial oleh konjugatnya adalah perbezaan kuadrat dari istilahnya, seperti yang telah dijelaskan:

. = (m ² -1) ² - m ²

Latihan

Seperti biasa, anda mulakan dengan latihan paling sederhana dan kemudian tingkatkan tahap kerumitan.

- Latihan 1

Tulis (9 - hingga ² ) sebagai produk.

Penyelesaian

Pertama, kita menulis semula ungkapan sebagai perbezaan kotak, untuk menerapkan apa yang telah dijelaskan sebelumnya. Oleh itu:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Seterusnya kita memperhatikan, yang setara dengan menulis perbezaan kotak ini sebagai produk, seperti yang diminta dalam pernyataan:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Latihan 2

Faktor 16x ² - 9y ⁴ .

Penyelesaian

Memfaktorkan ungkapan bermaksud menulisnya sebagai produk. Dalam kes ini, ungkapan mesti ditulis semula sebelumnya untuk mendapatkan perbezaan kuasa dua.

Tidak sukar untuk melakukan ini, kerana jika dilihat dengan teliti, semua faktor adalah kotak yang sempurna. Contohnya 16 ialah segiempat sama 4, 9 ialah petak 3, dan ⁴ ialah segi empat sama dengan y ² dan x ² ialah segiempat sama x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Kemudian kami menerapkan apa yang telah kami ketahui sebelumnya: bahawa perbezaan kuasa dua adalah produk binomial konjugasi:

(4x) ² - (3 dan ² ) ² = (4x - 3 dan ² ). (4x + 3 dan ² )

- Latihan 3

Tulis (a - b) sebagai produk binomial

Penyelesaian

Perbezaan di atas harus ditulis sebagai perbezaan kuasa dua

(√a) ² - (√b) ²

Kemudian diterapkan bahawa perbezaan kuasa dua adalah produk dari binomial terkonjugasi

(√a - √b) (√a + √b)

- Latihan 4

Salah satu kegunaan binomial konjugasi adalah rasionalisasi ungkapan algebra. Prosedur ini terdiri daripada menghilangkan akar penyebut dari ungkapan pecahan, yang dalam banyak kes memudahkan operasi. Diminta menggunakan konjugasi binomial untuk merasionalisasi ungkapan berikut:

√ (2-x) /

Penyelesaian

Perkara pertama ialah mengenal pasti binomial konjugasi penyebut:.

Sekarang kita mengalikan pengangka dan penyebut ungkapan asalnya dengan konjugasi binomial:

√ (2-x) / {.}

Dalam penyebut ungkapan sebelumnya, kita mengenali hasil perbezaan dengan jumlah, yang sudah kita ketahui sesuai dengan perbezaan kuadrat binomial:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Memudahkan penyebutnya adalah:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Sekarang kita berurusan dengan pengangka, yang mana kita akan menggunakan harta pengedaran produk berkenaan dengan jumlahnya:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Dalam ungkapan sebelumnya, kita mengenali produk binomial (2-x) oleh konjugatnya, yang merupakan produk terkenal sama dengan perbezaan kuasa dua. Dengan cara ini, ungkapan yang dirasionalisasi dan dipermudahkan akhirnya diperoleh:

/ (1 - x)

- Latihan 5

Kembangkan produk berikut, menggunakan sifat-sifat binomial konjugat:

.

Penyelesaian

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Pembaca yang penuh perhatian akan melihat faktor umum yang telah diserlahkan dalam warna.

Rujukan

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Kebudayaan Editorial Venezolana SA
2. González J. Latihan binomial berpasangan. Dipulihkan dari: akademia.edu.
3. Guru matematik Alex. Produk luar biasa. Dipulihkan dari youtube.com.
4. Math2me. Binomial konjugasi / produk terkenal. Dipulihkan dari youtube.com.
5. Produk binomial konjugasi. Dipulihkan dari: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Binomial bersambung. Dipulihkan dari: youtube.com.