PENGIRAAN ANGGARAN MENGGUNAKAN PEMBEZAAN - MATEMATIK - 2025

Pendekatan dalam matematik adalah nombor yang bukan nilai tepat sesuatu, tetapi sangat dekat dengannya sehingga dianggap berguna seperti nilai tepat itu.

Apabila perkiraan dibuat dalam matematik, ini kerana secara manual sukar (atau kadang-kadang mustahil) untuk mengetahui nilai tepat dari apa yang anda mahukan.

Alat utama ketika bekerja dengan perkiraan adalah perbezaan fungsi.

Perbezaan fungsi f, dilambangkan oleh Δf (x), tidak lebih daripada turunan fungsi f kali perubahan pemboleh ubah bebas, iaitu, Δf (x) = f '(x) * Δx.

Kadang kala df dan dx digunakan sebagai ganti Δf dan Δx.

Pendekatan menggunakan pembezaan

Rumus yang digunakan untuk melakukan pendekatan melalui pembezaan muncul tepat dari definisi derivatif fungsi sebagai batas.

Formula ini diberikan oleh:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Di sini difahami bahawa Δx = x-x0, oleh itu x = x0 + Δx. Menggunakan formula ini boleh ditulis semula sebagai

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Perlu diingatkan bahawa "x0" bukanlah nilai sewenang-wenangnya, tetapi nilai sedemikian rupa sehingga f (x0) mudah diketahui; lebih-lebih lagi, "f (x)" hanyalah nilai yang ingin kita perkirakan.

Adakah penghampiran yang lebih baik?

Jawapannya adalah ya. Di atas adalah perkiraan yang paling sederhana yang disebut "pendekatan linear".

Untuk penghampiran kualiti yang lebih baik (ralat yang dibuat adalah kurang) polinomial dengan lebih banyak turunan yang disebut "Taylor polinomial" digunakan, serta kaedah berangka lain seperti kaedah Newton-Raphson antara lain.

Strategi

Strategi yang harus diikuti adalah:

- Pilih fungsi yang sesuai f untuk melakukan penghampiran dan nilai «x» sehingga f (x) adalah nilai yang hendak didekati.

- Pilih nilai "x0", dekat dengan "x", sehingga f (x0) mudah dikira.

- Hitung Δx = x-x0.

- Hitung terbitan fungsi y f '(x0).

- Ganti data dalam formula.

Latihan penghampiran yang diselesaikan

Dalam apa yang berlanjutan terdapat satu siri latihan di mana penghitungan dibuat menggunakan pembezaan.

Latihan pertama

Lebih kurang √3.

Penyelesaian

Mengikuti strategi, fungsi yang sesuai mesti dipilih. Dalam kes ini, dapat dilihat bahawa fungsi yang harus dipilih mestilah f (x) = √x dan nilai yang hendak didekati adalah f (3) = √3.

Sekarang kita mesti memilih nilai "x0" dekat dengan "3" sehingga f (x0) mudah dikira. Sekiranya "x0 = 2" dipilih, maka "x0" hampir dengan "3" tetapi f (x0) = f (2) = √2 tidak mudah dikira.

Nilai "x0" yang sesuai adalah "4", kerana "4" hampir dengan "3" dan juga f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Sekiranya "x = 3" dan "x0 = 4", maka Δx = 3-4 = -1. Sekarang kita meneruskan pengiraan turunan f. Maksudnya, f '(x) = 1/2 * √x, jadi f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Mengganti semua nilai dalam formula yang anda dapat:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Sekiranya anda menggunakan kalkulator, anda dapat √3≈1.73205 … Ini menunjukkan bahawa hasil sebelumnya adalah penghampiran nilai sebenar yang baik.

Latihan kedua

Lebih kurang √10.

Penyelesaian

Seperti sebelumnya, f (x) = √xy dipilih sebagai fungsi, dalam kes ini x = 10.

Nilai x0 untuk memilih kali ini adalah "x0 = 9". Kita kemudian mempunyai Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 dan f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Apabila menilai dalam formula diperoleh bahawa

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…

Dengan menggunakan kalkulator diperolehi bahawa √10 ≈ 3.1622776… Di sini juga dapat dilihat bahawa pendekatan yang baik telah diperoleh sebelumnya.

Latihan ketiga

Kira-kira ³√10, di mana ³√ menunjukkan akar kubus.

Penyelesaian

Jelas fungsi yang akan digunakan dalam latihan ini adalah f (x) = ³√x dan nilai "x" mestilah "10".

Nilai yang hampir dengan "10" sehingga diketahui akar kubusnya adalah "x0 = 8". Kemudian kita mempunyai Δx = 10-8 = 2 dan f (x0) = f (8) = 2. Kami juga mempunyai f '(x) = 1/3 * ³√x², dan seterusnya f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Mengganti data dalam formula, diperoleh bahawa:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Kalkulator mengatakan bahawa ³√10 ≈ 2.15443469… Oleh itu, anggaran yang dijumpai adalah baik.

Latihan keempat

Perkiraan ln (1.3), di mana "ln" menunjukkan fungsi logaritma semula jadi.

Penyelesaian

Mula-mula kita memilih sebagai fungsi f (x) = ln (x) dan nilai "x" adalah 1.3. Sekarang, dengan mengetahui sedikit tentang fungsi logaritma, kita dapat mengetahui bahawa ln (1) = 0, dan selanjutnya "1" hampir dengan "1.3". Oleh itu, "x0 = 1" dipilih dan dengan itu Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Sebaliknya f '(x) = 1 / x, sehingga f' (1) = 1. Semasa menilai dalam formula yang diberikan, kita mempunyai:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Dengan menggunakan kalkulator, kita memiliki ln (1.3) ≈ 0.262364… Oleh itu, pendekatan yang dibuat adalah baik.

Rujukan

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematik PraKalkulus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematik pra-kalkulus: pendekatan penyelesaian masalah (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Pembelajaran Cengage.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometri Analisis Pesawat. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Pengiraan awal. Pendidikan Pearson.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkulus (edisi kesembilan.) Dewan Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Kalkulus Pembezaan dengan fungsi transenden awal untuk Sains dan Kejuruteraan (Edisi Kedua edisi). Hypotenuse.
9. Scott, CA (2009). Geometri Pesawat Cartesian, Bahagian: Kerucut Analitik (1907) (cetakan semula.). Sumber Kilat.
10. Sullivan, M. (1997). Pengiraan awal. Pendidikan Pearson.