PEMALAR PERPADUAN: MAKNA, PENGIRAAN DAN CONTOH - MATEMATIK - 2026

The pemalar kamiran adalah satu nilai tambah kepada pengiraan antiderivatives atau kamiran, ia berfungsi untuk mewakili penyelesaian yang membentuk primitif bagi suatu fungsi. Ini menyatakan kekaburan yang wujud di mana fungsi mana pun mempunyai bilangan primitif yang tidak terbatas.

Sebagai contoh, jika kita mengambil fungsi: f (x) = 2x + 1 dan kita mendapat antiderivatifnya:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Di mana C adalah pemalar perpaduan dan secara grafik menggambarkan terjemahan menegak antara kemungkinan primitif yang tidak terhingga. Adalah betul untuk mengatakan bahawa (x ² + x) adalah salah satu primitif dari f (x).

Sumber: pengarang

Begitu juga kita boleh mentakrifkan (x ² + x + C ) sebagai primitif f (x).

Harta terbalik

Ia dapat diperhatikan bahawa ketika memperoleh ungkapan (x ² + x) fungsi f (x) = 2x + 1. diperoleh. Ini disebabkan oleh sifat terbalik yang ada antara terbitan dan integrasi fungsi. Properti ini memungkinkan untuk mendapatkan formula integrasi bermula dari pembezaan. Yang membolehkan pengesahan integrasi melalui derivatif yang sama.

Sumber: pengarang

Walau bagaimanapun (x ² + x) bukan satu-satunya fungsi yang turunannya sama dengan (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Di mana 1, 2, 3 dan 4 mewakili primitif tertentu f (x) = 2x + 1. Manakala 5 mewakili integral tak tentu atau primitif bagi f (x) = 2x + 1.

Sumber: pengarang

Primitif fungsi dicapai melalui proses antiderivasi atau integral. Di mana F akan menjadi primitif dari f sekiranya perkara berikut benar

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = pemalar perpaduan
• F '(x) = f (x)

Dapat dilihat bahawa fungsi mempunyai turunan tunggal, tidak seperti primitifnya yang tidak terhingga yang dihasilkan dari integrasi.

Tidak terpisahkan

∫ f (x) dx = F (x) + C

Ini sesuai dengan sekelompok kurva dengan pola yang sama, yang mengalami ketidakcocokan dalam nilai gambar setiap titik (x, y). Setiap fungsi yang memenuhi corak ini akan menjadi primitif individu dan kumpulan semua fungsi dikenali sebagai integral tak tentu.

Nilai pemalar integrasi akan menjadi nilai yang membezakan setiap fungsi dalam praktik.

The pemalar kamiran mencadangkan anjakan menegak dalam semua graf mewakili primitif bagi suatu fungsi. Di mana paralelisme di antara mereka diperhatikan, dan fakta bahawa C adalah nilai anjakan.

Menurut praktik umum, pemalar perpaduan dilambangkan dengan huruf "C" setelah penambahan, walaupun dalam praktiknya tidak peduli sama ada pemalar itu ditambahkan atau dikurangkan. Nilai sebenarnya boleh didapati dalam pelbagai cara dalam keadaan awal yang berbeza .

Makna lain dari pemalar perpaduan

Telah dibincangkan bagaimana pemalar perpaduan diterapkan dalam cabang kalkulus integral ; Mewakili keluarga lengkung yang menentukan kamiran tak tentu. Tetapi banyak sains dan cabang lain telah menetapkan nilai-nilai pemalar integrasi yang sangat menarik dan praktikal , yang telah memudahkan pengembangan pelbagai kajian.

Dalam fizik , pemalar pemantapan boleh mengambil pelbagai nilai bergantung pada sifat data. Contoh yang sangat biasa adalah mengetahui fungsi V (t) yang mewakili halaju zarah berbanding masa t. Telah diketahui bahawa semasa mengira primitif V (t) fungsi R (t) diperoleh yang mewakili kedudukan zarah lawan masa.

The pemalar kamiran akan mewakili nilai kedudukan awal, iaitu, pada masa t = 0.

Dengan cara yang sama, jika diketahui fungsi A (t) yang mewakili pecutan zarah lawan masa. Primitif A (t) akan menghasilkan fungsi V (t), di mana pemalar pemalar akan menjadi nilai halaju awal V ₀ .

Dalam ekonomi , dengan memperoleh dengan integrasi primitif fungsi kos. The pemalar kamiran akan mewakili kos yang ditetapkan. Dan begitu banyak aplikasi lain yang memerlukan kalkulus pembezaan dan integral.

Bagaimanakah pemalar pemantapan dikira?

Untuk mengira pemalar perpaduan, perlu mengetahui keadaan awal . Yang bertugas menentukan yang mana mungkin primitif yang sesuai.

Dalam banyak aplikasi, ia dianggap sebagai pemboleh ubah bebas pada waktu (t), di mana pemalar C mengambil nilai-nilai yang menentukan keadaan awal kes tertentu.

Sekiranya kita mengambil contoh awal: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Keadaan awal yang sah adalah dengan syarat bahawa graf melewati koordinat tertentu. Sebagai contoh, kita tahu bahawa primitif (x ² + x + C) melewati titik (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; ini adalah penyelesaian umum

F (1) = 2

Kami menggantikan penyelesaian umum dalam persamaan ini

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Dari mana ia dengan mudah menunjukkan bahawa C = 0

Dengan cara ini primitif yang sesuai untuk kes ini ialah F (x) = x ² + x

Terdapat beberapa jenis latihan berangka yang berfungsi dengan pemalar pemadu . Sebenarnya, kalkulus pembezaan dan integral tidak berhenti digunakan dalam penyelidikan semasa. Di peringkat akademik yang berbeza, mereka boleh didapati; dari pengiraan awal, melalui fizik, kimia, biologi, ekonomi, antara lain.

Hal ini juga dihargai dalam kajian persamaan pembezaan , di mana pemalar integrasi dapat mengambil nilai dan penyelesaian yang berbeza, ini disebabkan oleh pelbagai derivasi dan integrasi yang dilakukan dalam perkara ini.

Contoh

Contoh 1

1. Sebuah meriam yang terletak 30 meter menembakkan peluru secara menegak ke atas. Halaju awal projektil diketahui 25 m / s. Tentukan:

• Fungsi yang menentukan kedudukan proyektil berkenaan dengan masa.
• Masa penerbangan atau seketika ketika zarah menyentuh tanah.

Telah diketahui bahawa dalam gerakan segi empat tepat seragam, pecutan adalah nilai tetap. Ini adalah kes pelancaran projektil, di mana pecutan akan menjadi graviti

g = - 10 m / s ²

Juga diketahui bahawa pecutan adalah turunan kedua dari posisi, yang menunjukkan integrasi ganda dalam resolusi latihan, sehingga memperoleh dua pemalar integrasi.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Keadaan awal latihan menunjukkan bahawa halaju awal adalah V ₀ = 25 m / s. Ini adalah halaju pada waktu t = 0. Dengan cara ini, berpuas hati bahawa:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ dan C ₁ = 25

Dengan fungsi halaju ditentukan

V (t) = -10t + 25; Kesamaan dapat diperhatikan dengan formula MRUV (V _f = V ₀ + axt)

Dengan cara yang homolog, kami terus mengintegrasikan fungsi kecepatan untuk mendapatkan ungkapan yang menentukan kedudukan:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (kedudukan primitif)

Kedudukan awal R (0) = 30 m diketahui. Kemudian primitif tertentu dari projektil dikira.

R (0) = 30m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . Di mana C ₂ = 30

Contoh 2

1. Cari primitif f (x) yang memenuhi syarat awal:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Dengan maklumat terbitan kedua f '' (x) = 4, proses antiderivasi bermula

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Kemudian, mengetahui keadaan f '(2) = 2, kami meneruskan:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 dan f '(x) = 4x - 8

Kami meneruskan dengan cara yang sama untuk pemantapan pemalar kedua

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Keadaan awal f (0) = 7 telah diketahui dan kami meneruskan:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 dan f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Dengan cara yang serupa dengan masalah sebelumnya, kami menentukan derivatif pertama dan fungsi asalnya dari keadaan awal.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) dx = (x ³ /3) + C ₁

Dengan syarat f '(0) = 6 kita meneruskan:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Di mana C ₁ = 6 dan f '(x) = (x ³ /3) + 6

Kemudian pemalar kedua integrasi

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

Keadaan awal f (0) = 3 diketahui dan kami meneruskan:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Di mana C ₂ = 3

Oleh itu, kita memperoleh yang primitif

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

Contoh 3

1. Tentukan fungsi primitif yang diberi turunan dan titik pada grafik:

• dy / dx = 2x - 2 yang melewati titik (3, 2)

Penting untuk diingat bahawa derivatif merujuk kepada cerun garis yang bersinggungan dengan lengkung pada titik tertentu. Di mana tidak betul untuk menganggap bahawa graf turunan menyentuh titik yang ditunjukkan, kerana ini tergolong dalam grafik fungsi primitif.

Dengan cara ini kita menyatakan persamaan pembezaan seperti berikut:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Memohon syarat awal:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Ia diperoleh: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1 yang melewati titik (0, 2)

Kami menyatakan persamaan pembezaan seperti berikut:

Memohon syarat awal:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Kami memperoleh: f (x) = x ³ - x + 2

Latihan yang dicadangkan

Latihan 1

1. Cari primitif f (x) yang memenuhi syarat awal:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Latihan 2

1. Sebiji belon yang naik dengan kecepatan 16 kaki / s menjatuhkan beg pasir dari ketinggian 64 kaki di atas permukaan tanah.

• Tentukan masa penerbangan
• Berapakah vektor V _f apabila menyentuh tanah?

Latihan 3

1. Gambar menunjukkan graf masa pecutan sebuah kereta yang bergerak ke arah positif paksi-x. Kereta itu bergerak dengan kelajuan tetap 54 km / j ketika pemandu menggerakkan brek untuk berhenti dalam 10 saat. Tentukan:

• Pecutan awal kereta
• Kelajuan kereta pada t = 5s
• Perpindahan kereta semasa brek

Sumber: pengarang

Latihan 4

1. Tentukan fungsi primitif yang diberi turunan dan titik pada grafik:

• dy / dx = x yang melewati titik (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1 yang melewati titik (0, 0)
• dy / dx = -x + 1 yang melewati titik (-2, 2)

Rujukan

1. Kalkulus integral. Kaedah penyatuan dan penyatuan yang tidak tentu. Wilson, Velásquez Bastidas. Universiti Magdalena 2014
2. Stewart, J. (2001). Pengiraan pemboleh ubah. Transendental awal. Mexico: Pembelajaran Thomson.
3. Jiménez, R. (2011). Matematik VI. Kalkulus integral. Mexico: Pendidikan Pearson.
4. Fizik I. Mc Graw bukit