KOORDINAT SILINDER: SISTEM, PERUBAHAN DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2026

The koordinat silinder digunakan untuk mencari mata dalam tiga ruang dimensi dan terdiri daripada Radial menyelaras ρ, φ azimuthal menyelaras dan z menyelaras ketinggian.

Titik P yang terletak di angkasa diproyeksikan secara ortogon pada satah XY sehingga menimbulkan titik P 'dalam satah tersebut. Jarak dari asal ke titik P 'menentukan koordinat ρ, sementara sudut yang dibuat oleh paksi X dengan sinar OP' mentakrifkan koordinat φ. Akhirnya, koordinat z adalah unjuran ortogonal bagi titik P pada paksi Z. (lihat gambar 1).

Rajah 1. Titik P koordinat silinder (ρ, φ, z). (Penjelasan sendiri)

Koordinat radial selalu positif, koordinat azimuthal bervariasi dari radian sifar hingga dua radian pi, sementara koordinat z dapat mengambil nilai nyata:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Perubahan koordinat

Agak mudah untuk mendapatkan koordinat Cartesian (x, y, z) titik P dari koordinat silindernya (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Tetapi mungkin juga untuk mendapatkan koordinat kutub (ρ, φ, z) bermula dari pengetahuan mengenai koordinat Cartesian (x, y, z) titik P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arctan (y / x)

z = z

Pangkalan vektor dalam koordinat silinder

Asas vektor unit silinder Uρ , Uφ , Uz ditakrifkan .

Vektor Uρ bersinggungan dengan garis φ = ctte dan z = ctte (menunjuk ke arah jejari ke arah luar), vektor Uφ bersinggungan dengan garis ρ = ctte dan z = ctte dan akhirnya Uz mempunyai arah yang sama dari paksi Z.

Rajah 2. Pangkalan koordinat silinder. (wikimedia commons)

Di dasar unit silinder, vektor kedudukan r titik P ditulis secara vektor seperti ini:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Sebaliknya, anjakan d r dari titik P dinyatakan sebagai berikut:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Begitu juga, elemen tak terhingga dari volume dV dalam koordinat silinder adalah:

dV = ρ dρ dφ dz

Contoh

Terdapat banyak contoh penggunaan dan penerapan koordinat silinder. Sebagai contoh, dalam kartografi, unjuran silinder digunakan, berdasarkan tepat pada koordinat ini. Terdapat lebih banyak contoh:

Contoh 1

Koordinat silinder mempunyai aplikasi dalam teknologi. Sebagai contoh kami mempunyai sistem lokasi data CHS (Cylinder-Head-Sector) pada cakera keras, yang sebenarnya terdiri daripada beberapa cakera:

- Silinder atau trek sepadan dengan koordinat ρ.

- Sektor ini sesuai dengan kedudukan φ cakera yang berputar pada kelajuan sudut tinggi.

- Kepala sepadan dengan kedudukan z kepala bacaan pada cakera yang sesuai.

Setiap bait maklumat mempunyai alamat tepat dalam koordinat silinder (C, S, H).

Gambar 2. Lokasi maklumat dalam koordinat silinder pada sistem cakera keras. (wikimedia commons)

Contoh 2

Kren pembinaan menetapkan kedudukan beban dalam koordinat silinder. Kedudukan mendatar ditentukan oleh jarak ke paksi atau anak panah kren ρ dan oleh kedudukan sudutnya φ berkenaan dengan beberapa paksi rujukan. Kedudukan menegak beban ditentukan oleh koordinat z ketinggian.

Rajah 3. Kedudukan beban pada kren pembinaan dengan mudah dapat dinyatakan dalam koordinat silinder. (gambar pixabay - anotasi R. Pérez)

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Terdapat titik P1 dengan koordinat silinder (3, 120º, -4) dan titik P2 dengan koordinat silinder (2, 90º, 5). Cari jarak Euclidean antara dua titik ini.

Penyelesaian: Pertama, kita terus mencari koordinat Cartesian setiap titik mengikuti formula yang diberikan di atas.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Jarak Euclidean antara P1 dan P2 adalah:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2.25 + 0.36 + 81) = 9.14

Latihan 2

Titik P mempunyai koordinat Cartesian (-3, 4, 2). Cari koordinat silinder yang sepadan.

Penyelesaian: Kami terus mencari koordinat silinder menggunakan hubungan yang diberikan di atas:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

z = 2

Harus diingat bahawa fungsi arctangent berbilang nilai dengan berkala 180º. Juga, sudut φ mesti tergolong dalam kuadran kedua, kerana koordinat x dan y bagi titik P berada di kuadran itu. Inilah sebab mengapa 180º telah ditambahkan pada hasil φ.

Latihan 3

Ungkapkan dalam koordinat silinder dan dalam Cartesian koordinat permukaan silinder dengan jejari 2 dan paksinya bertepatan dengan paksi Z.

Penyelesaian: Difahami bahawa silinder mempunyai lanjutan tak terhingga dalam arah z, jadi persamaan permukaan tersebut dalam koordinat silinder adalah:

ρ = 2

Untuk mendapatkan persamaan Cartesian permukaan silinder, petak kedua-dua anggota persamaan sebelumnya diambil:

ρ ² = 4

Kami mengalikan kedua-dua anggota persamaan sebelumnya dengan 1 dan menerapkan identiti trigonometri asas (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Kurungan dikembangkan untuk mendapatkan:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Kita ingat bahawa kurungan pertama (ρ sin (φ)) adalah koordinat y titik dalam koordinat kutub, sementara tanda kurung (ρ cos (φ)) mewakili koordinat x, sehingga kita mempunyai persamaan silinder dalam koordinat Cartesian:

y ² + x ² = 2 ²

Persamaan di atas tidak boleh dikelirukan dengan lilitan pada satah XY, kerana dalam hal ini ia akan kelihatan seperti ini: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Latihan 4

Satu silinder jejari R = 1 m dan tinggi H = 1m mempunyai jisimnya yang diedarkan secara jejari mengikut persamaan berikut D (ρ) = C (1 - ρ / R) di mana C adalah pemalar nilai C = 1 kg / m ³ . Cari jumlah jisim silinder dalam kilogram.

Penyelesaian: Perkara pertama adalah menyedari bahawa fungsi D (ρ) mewakili kepadatan jisim volumetrik, dan bahawa ketumpatan jisim diedarkan dalam cangkang silinder ketumpatan penurunan dari pusat ke pinggir. Unsur jumlah minimum yang tidak seberapa mengikut simetri masalahnya adalah:

dV = ρ dρ 2π H

Oleh itu, jisim tak terhingga dari cangkang silinder adalah:

dM = D (ρ) dV

Oleh itu, jumlah jisim silinder akan dinyatakan dengan kamiran pasti berikut:

M = ∫ _atau ^R D (ρ) dV = ∫ _atau ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _atau ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Penyelesaian integral yang ditunjukkan tidak sukar diperoleh, hasilnya adalah:

∫ _atau ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Dengan memasukkan hasil ini dalam ungkapan jisim silinder, kami memperoleh:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1.05 kg

Rujukan

1. Arfken G dan Weber H. (2012). Kaedah matematik untuk ahli fizik. Panduan komprehensif. Edisi ke-7. Akhbar Akademik. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Pengiraan cc. Menyelesaikan masalah koordinat silinder dan sfera. Dipulihkan dari: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Koordinat Silinder." Dari MathWorld - Web Wolfram. Dipulihkan dari: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Sistem koordinat silinder. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Medan vektor dalam koordinat silinder dan sfera. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com