KOORDINAT SFERA: CONTOH DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK

The koordinat sfera adalah satu set titik lokasi dalam tiga ruang dimensi yang terdiri daripada jejari menyelaras dan dua koordinat sudut dipanggil kutub menyelaras dan azimut koordinat.

Rajah 1, yang kita lihat di bawah, menunjukkan koordinat sfera (r, θ, φ) titik M. Koordinat ini dirujuk kepada sistem ortogonal paksi Cartesian X, Y, Z asal O.

Rajah 1. Koordinat sfera (r, θ, φ) titik M. (wikimedia commons)

Dalam kes ini, koordinat r titik M adalah jarak dari titik itu ke asal O. Koordinat kutub θ mewakili sudut antara paksi positif Z dan vektor jejari OM. Sementara koordinat azimuthal adalah sudut antara paksi separuh positif X dan vektor jejari OM ', di mana M' adalah unjuran ortogonal M pada satah XY.

Koordinat radial hanya mengambil nilai positif, tetapi jika titik terletak pada asal maka r = 0. Koordinat kutub θ mengambil nilai minimum 0º untuk titik yang terletak pada paksi separuh positif Z dan nilai maksimum 180º untuk titik terletak pada paksi separuh negatif Z. Akhirnya, koordinat azimuthal mengambil sebagai nilai minimum 0º dan ketinggian maksimum 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Perubahan koordinat

Seterusnya, formula yang membolehkan mendapatkan koordinat Cartesian (x, y, z) bagi titik M akan diberikan dengan andaian koordinat sfera titik (r, θ, φ) yang sama diketahui:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Dengan cara yang sama, adalah berguna untuk mencari hubungan dari koordinat Cartesian (x, y, z) titik tertentu ke koordinat sfera titik tersebut:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Pangkalan vektor dalam koordinat sfera

Dari koordinat sfera, asas ortonormal vektor asas ditakrifkan, yang dilambangkan oleh Ur , Uθ , Uφ . Dalam Rajah 1 tiga vektor unit ditunjukkan, yang mempunyai ciri-ciri berikut:

- Ur ialah vektor unit bersinggungan dengan garis radial θ = ctte dan φ = ctte;

- Uθ ialah tangen vektor unit ke arka φ = ctte dan r = ctte;

- Uφ ialah unit tangen vektor ke arka r = ctte dan θ = ctte.

Unsur garis dan isipadu dalam koordinat sfera

Vektor kedudukan titik dalam ruang dalam koordinat sfera ditulis seperti ini:

r = r Ur

Tetapi variasi atau perpindahan tak terbatas titik dalam ruang tiga dimensi, dalam koordinat ini, dinyatakan oleh hubungan vektor berikut:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Akhirnya, dV isipadu tak terhingga dalam koordinat sfera ditulis seperti ini:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Hubungan ini sangat berguna untuk mengira bilangan garis dan isipadu dalam situasi fizikal yang mempunyai simetri sfera.

Hubungan dengan koordinat geografi

Koordinat geografi difahami sebagai koordinat yang berfungsi untuk mencari tempat di permukaan bumi. Sistem ini menggunakan koordinat garis lintang dan garis bujur untuk mencari kedudukan di permukaan Bumi.

Dalam sistem koordinat geografis, permukaan bumi dianggap bulat dengan radius Rt, walaupun diketahui diratakan di kutub, dan satu set garis khayalan yang disebut paralel dan meridian dipertimbangkan.

Rajah 2. Longitud α dan garis lintang β seorang pemerhati di permukaan bumi.

Lintang β adalah sudut yang dibentuk oleh jejari yang bermula dari pusat Bumi hingga ke titik yang anda mahu letakkan. Ia diukur dari satah khatulistiwa, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2. Sebaliknya, garis bujur α adalah sudut yang meridian titik yang berada terbentuk berkenaan dengan meridian sifar (dikenali sebagai meridian Greenwich).

Lintang boleh menjadi lintang utara atau selatan, bergantung pada sama ada tempat yang anda cari adalah di hemisfera utara atau di hemisfera selatan. Begitu juga, garis bujur boleh menjadi barat atau timur bergantung pada sama ada lokasinya di barat atau timur meridian sifar.

Rumus untuk berubah dari geografi ke sfera

Untuk mendapatkan formula ini, perkara pertama adalah mewujudkan sistem koordinat. Pesawat XY dipilih bertepatan dengan satah khatulistiwa, paksi X positif adalah satu yang bergerak dari pusat Bumi dan melewati meridian sifar. Pada gilirannya, paksi Y melewati meridian 90º E. Permukaan bumi mempunyai jejari Rt.

Dengan sistem koordinat ini, transformasi dari bentuk geografi ke sfera seperti ini:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Contoh

Contoh 1

Koordinat geografi Palma de Mallorca (Sepanyol) adalah:

Bujur Timur 38.847º dan Lintang Utara 39.570º. Untuk menentukan koordinat sfera yang sesuai dengan Palma de Mallorca, formula pertama formula di bahagian sebelumnya digunakan:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Jadi koordinat sfera adalah:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50.43º, φ = 38.85º)

Pada jawapan sebelumnya r telah diambil sama dengan radius rata-rata Bumi.

Contoh 2

Mengetahui bahawa pulau Malvinas (Falkland) mempunyai koordinat geografi 59ographicO 51,75.7S, tentukan koordinat kutub yang sesuai. Ingat bahawa paksi X bergerak dari pusat Bumi ke meridian 0º dan pada satah khatulistiwa; paksi Y juga berada di satah khatulistiwa dan melewati meridian Barat 90º; akhirnya paksi Z pada paksi putaran Bumi ke arah Selatan-Utara.

Untuk mencari koordinat sfera yang sesuai, kami menggunakan formula yang ditunjukkan dalam bahagian sebelumnya:

59ºO 51.75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51.75º, φ = 360º-59º) iaitu

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141.75º, φ = 301º)

Latihan

Latihan 1

Cari koordinat Cartesian Palma de Mallorca dalam sistem rujukan XYZ Cartesian yang ditunjukkan dalam gambar 2.

Penyelesaian: Sebelumnya, dalam contoh 1, koordinat sfera diperoleh bermula dari koordinat geografi Palma de Mallorca. Jadi formula yang ditunjukkan di atas dapat digunakan untuk beralih dari sfera ke Cartesian:

x = 6371 km Sen (50.43º) Cos (38.85º)

y = 6371 km Sen (50.43º) Sen (38.85º)

z = 6371 km Cos (50.43º)

Melakukan pengiraan yang sesuai yang kita ada:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Latihan 2

Cari koordinat Cartesian dari Kepulauan Falkland dalam sistem rujukan XYZ Cartesian yang ditunjukkan dalam gambar 2.

Penyelesaian: Sebelumnya, dalam contoh 2, koordinat sfera diperoleh bermula dari koordinat geografi Kepulauan Malvinas. Jadi formula yang ditunjukkan di atas dapat digunakan untuk beralih dari sfera ke Cartesian:

x = 6371 km Sen (141.75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141.75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141.75º)

Melakukan pengiraan yang sesuai, kami memperoleh:

Kepulauan Falkland: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Rujukan

Arfken G dan Weber H. (2012). Kaedah matematik untuk ahli fizik. Panduan komprehensif. Edisi ke-7. Akhbar Akademik. ISBN 978-0-12-384654-9
Pengiraan cc. Menyelesaikan masalah koordinat silinder dan sfera. Dipulihkan dari: calculo.cc
Bengkel astronomi. Latitud dan longitud. Dipulihkan dari: tarifamates.blogspot.com/
Weisstein, Eric W. "Koordinat Sfera." Dari MathWorld-A Wolfram Web. Dipulihkan dari: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Sistem koordinat sfera. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com
wikipedia. Medan vektor dalam koordinat silinder dan sfera. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com

KOORDINAT SFERA: CONTOH DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2025