KOORDINAT SEGI EMPAT TEPAT: CONTOH DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK

The koordinat segi empat tepat atau Cartesian adalah mereka yang diperolehi pada berserenjang mengunjurkan tiga paksi sempadan cartesan X, Y, Z titik terletak di tiga - ruang dimensi.

Kapak Cartesian saling berorientasikan garis tegak lurus antara satu sama lain. Dalam sistem koordinat Cartesian, setiap titik dalam ruang diberi tiga nombor nyata yang merupakan koordinat segi empat tepatnya.

Gambar 1. Koordinat segiempat bagi titik P (Penjelasan sendiri)

Pesawat ialah ruang bawah tiga dimensi. Sekiranya mempertimbangkan titik pada satah, maka cukup memilih sepasang paksi tegak lurus X, Y sebagai sistem Cartesian. Kemudian setiap titik di satah diberi dua nombor nyata yang merupakan koordinat segi empat tepatnya.

Asal koordinat segi empat tepat

Koordinat segi empat tepat pada awalnya dicadangkan oleh ahli matematik Perancis René Descartes (1596 dan 1650), itulah sebabnya mereka dipanggil Cartesian.

Dengan idea Descartes ini, titik-titik satah dan ruang diberi nombor, supaya angka-angka geometri mempunyai persamaan algebra yang berkaitan dan teorema geometri klasik dapat dibuktikan secara algebra. Dengan koordinat Cartesian, lahirlah geometri analitik.

Pesawat Cartesian

Sekiranya dalam satah dua garis tegak lurus dipilih yang bersilang pada titik O; dan jika, sebagai tambahan, setiap garis diberi arah dan skala numerik antara titik-titik yang sama jaraknya, maka ada sistem Cartesian atau satah di mana setiap titik satah dihubungkan dengan sepasang yang disusun dengan dua nombor nyata yang merupakan unjuran masing-masing pada paksi X dan Y.

Titik A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) dan D = (3, -3) diwakili dalam satah Cartes seperti yang ditunjukkan di bawah:

Rajah 2. Titik dalam satah Cartes. (Penjelasan sendiri)

Perhatikan bahawa dua paksi X dan Y membahagi satah menjadi empat sektor yang disebut kuadran. Titik A berada di kuadran pertama, titik B berada di kuadran kedua, titik C berada di kuadran ketiga, dan titik D berada di kuadran keempat.

Jarak antara dua titik

Jarak antara dua titik A dan B pada satah Cartes adalah panjang segmen yang bergabung dengannya. Jarak ini dapat dikira secara analitik seperti berikut:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (Oleh - Ay) ^ 2)

Formula di atas diperoleh dengan menerapkan teorem Pythagoras.

Menerapkan formula ini ke titik A, B dalam gambar 2 kita mempunyai:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Iaitu, d (A, B) = 5.10 unit. Perhatikan bahawa jarak diperoleh tanpa perlu mengukur dengan pembaris, prosedur aljabar sepenuhnya telah diikuti.

Ungkapan analisis garis

Koordinat segi empat tepat membolehkan perwakilan analitik objek geometri asas seperti titik dan garis. Dua titik A dan B menentukan satu baris. Lereng garis didefinisikan sebagai hasil bagi perbezaan koordinat Y titik B tolak A, dibahagikan dengan perbezaan koordinat X titik B tolak A:

cerun = (Oleh - Ay) / (Bx - Kapak)

Sebarang titik P koordinat (x, y) yang tergolong dalam garisan (AB) mesti mempunyai cerun yang sama:

cerun = (y - Ay) / (x - Kapak)

Persamaan yang diperoleh melalui persamaan lereng adalah perwakilan analitik atau algebra garis yang melewati titik A dan B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (Oleh - Ay) / (Bx - Ax).

Sekiranya kita mengambil A dan B, koordinat segi empat tepat pada rajah 2 kita mempunyai:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

Dalam kes ini, kita mempunyai garis dengan cerun negatif -⅕, yang bermaksud bahawa dengan mencari titik pada garis dan meningkatkan koordinat x oleh satu unit, koordinat-y menurun sebanyak 0,2 unit.

Kaedah yang paling biasa untuk menulis persamaan garis dalam satah ialah dengan koordinat y dibersihkan sebagai fungsi pemboleh ubah x:

y = - (1/5) x + 13/5

Contoh

Contoh 1

Dapatkan dengan kaedah analisis jarak antara titik C dan A, menjadi koordinat segi empat tepat C = (-2, -3) dan titik A = (3,2).

Rumus untuk jarak Euclidean antara dua titik ini ditulis seperti ini:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Menggantikan koordinat segiempat tepat yang sesuai yang kita ada:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

Contoh 2

Dapatkan persamaan garis yang melalui titik C koordinat (-2, -3) dan titik P koordinat (2, 0).

Pertama, cerun garis CP diperoleh:

cerun = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Mana-mana titik Q koordinat segi empat tepat generik (x, y) yang tergolong dalam garis CP mesti mempunyai cerun yang sama:

cerun = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Dengan kata lain, persamaan garis CP adalah:

(y +3) / (x +2) = ¾

Kaedah alternatif untuk menulis persamaan garis CP ialah menyelesaikan y:

y = ¾ x - 3/2

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Dapatkan koordinat segi empat tepat dari titik persilangan antara garis y = - (1/5) x + 13/5 dan garis y = ¾ x - 3/2.

Penyelesaian: Secara definisi, titik persilangan kedua-dua garis mempunyai koordinat segi empat tepat yang sama. Oleh itu, koordinat-y di titik persimpangan adalah sama untuk kedua-dua garis:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

yang membawa kepada ungkapan berikut:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

menyelesaikan jumlah pecahan yang kami perolehi:

19/20 x = 41/10

Menyelesaikan x:

x = 82/19 = 4.32

Untuk mendapatkan nilai y dari persimpangan, nilai x yang diperoleh digantikan dalam salah satu baris:

y = ¾ 4.32 - 3/2 = 1.74

Ini bermaksud bahawa garis yang diberi bersilang pada titik koordinat I = (4.32, 1.74).

Latihan 2

Dapatkan persamaan lilitan yang melewati titik R koordinat segi empat tepat (3, 4) dan yang mempunyai pusatnya pada titik asal koordinat.

Penyelesaian: Jejari R adalah jarak dari titik R ke asal koordinat O (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Iaitu, lingkaran bulatan 5 berpusat pada (0,0).

Sebarang titik P (x, y) pada lilitan mesti mempunyai jarak 5 yang sama dari pusat (0, 0) sehingga dapat ditulis:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Maksudnya:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Untuk menghilangkan punca kuasa dua, kedua-dua anggota persamaan itu kuasa dua, memperoleh:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Apakah persamaan lilitan.

Contoh ini menggambarkan kekuatan sistem koordinat segi empat tepat, yang memungkinkan untuk menentukan objek geometri, seperti lilitan, tanpa perlu menggunakan kertas, pensil dan kompas. Lingkaran yang diminta telah ditentukan sepenuhnya dengan kaedah algebra.

Rujukan

Arfken G dan Weber H. (2012). Kaedah matematik untuk ahli fizik. Panduan komprehensif. Edisi ke-7. Akhbar Akademik. ISBN 978-0-12-384654-9
Pengiraan cc. Menyelesaikan masalah koordinat segi empat tepat. Dipulihkan dari: calculo.cc
Weisstein, Eric W. "Koordinat Cartesian." Dari MathWorld-A Wolfram Web. Dipulihkan dari: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Sistem koordinat Cartesian. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com

KOORDINAT SEGI EMPAT TEPAT: CONTOH DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2026