KURTOSIS: DEFINISI, JENIS, FORMULA, APA MAKSUDNYA, CONTOHNYA - DUDAS - 2026

The kurtosis atau kurtosis adalah parameter statistik yang digunakan untuk mencirikan taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak, menunjukkan tahap kepekatan nilai sekitar ukuran pusat. Ini juga dikenali sebagai "kelas puncak."

Istilah ini berasal dari bahasa Yunani "kurtos" yang bermaksud melengkung, oleh itu kurtosis menunjukkan tahap menunjuk atau meratakan pengedaran, seperti yang terlihat pada gambar berikut:

Rajah 1. pelbagai jenis kurtosis. Sumber: F. Zapata.

Hampir semua nilai pemboleh ubah rawak cenderung berkumpul di sekitar nilai pusat seperti min. Tetapi dalam sebilangan pengedaran, nilainya lebih tersebar daripada yang lain, menghasilkan lekukan yang lebih rata atau lebih ramping.

Definisi

Kurtosis adalah nilai berangka khas dari setiap taburan frekuensi, yang, menurut kepekatan nilai di sekitar min, diklasifikasikan menjadi tiga kumpulan:

- Leptokurtik: di mana nilainya sangat berkerumun di sekitar rata-rata, sehingga pengedarannya agak runcing dan langsing (gambar 1, kiri).

- Mesocúrtic: ia mempunyai kepekatan nilai yang sederhana di sekitar min (gambar 1 di tengah).

- Platicúrtica: taburan ini mempunyai bentuk yang lebih luas, kerana nilainya cenderung lebih tersebar (gambar 1 di sebelah kanan).

Formula dan persamaan

Kurtosis boleh mempunyai nilai apa pun, tanpa batasan. Pengiraannya dilakukan bergantung pada cara penyampaian data. Notasi yang digunakan dalam setiap kes adalah sebagai berikut:

-Pekali kurtosis: g ₂

-Maksud aritmetik: X atau x dengan bar

-Nilai i-th: x _i

-Penyimpangan standard: σ

-Bilangan data: N

-Kekerapan nilai i-th: f _i

Jenama -kelas: mx _i

Dengan notasi ini, kami menyajikan beberapa formula yang paling banyak digunakan untuk mencari kurtosis:

- Kurtosis mengikut penyampaian data

Data tidak dikumpulkan atau dikelompokkan dalam frekuensi

Data dikumpulkan dalam selang masa

Kurtosis berlebihan

Juga disebut pekali penargetan Fisher atau ukuran Fisher, ia digunakan untuk membandingkan taburan yang dikaji dengan taburan normal.

Apabila kurtosis berlebihan adalah 0, kita berada di hadapan taburan normal atau loceng Gaussian. Dengan cara ini, setiap kali kurtosis kelebihan pengedaran dihitung, kita sebenarnya membandingkannya dengan taburan normal.

Untuk data yang tidak dikelompokkan dan dikumpulkan, pekali penunjuk Fisher, yang dilambangkan oleh K, adalah:

K = g ₂ - 3

Sekarang, dapat ditunjukkan bahawa kurtosis taburan normal adalah 3, oleh itu jika pekali penunjuk Fisher adalah 0 atau hampir dengan 0 dan terdapat taburan mesokruktik. Sekiranya K> 0 taburannya leptokurtik dan jika K <0 itu adalah platik.

Untuk apa kurtosis?

Kurtosis adalah ukuran kebolehubahan yang digunakan untuk mencirikan morfologi sebaran. Dengan cara ini, pembahagian simetri dengan purata yang sama dan penyebaran yang sama (diberikan oleh sisihan piawai) dapat dibandingkan.

Mempunyai ukuran kebolehubahan memastikan bahawa purata boleh dipercayai dan membantu mengawal variasi pengedaran. Sebagai contoh, mari kita lihat dua keadaan ini.

Gaji 3 jabatan

Katakan bahawa graf berikut menunjukkan pengagihan gaji 3 jabatan syarikat yang sama:

Rajah 2. Tiga taburan dengan kurtosis berbeza menggambarkan situasi praktikal. (Disediakan oleh Fanny Zapata)

Kurva A adalah yang paling tipis dari semua, dan dari bentuknya dapat disimpulkan bahawa sebahagian besar gaji jabatan itu hampir mendekati rata-rata, oleh itu kebanyakan pekerja menerima pampasan yang serupa.

Sebaliknya, di jabatan B, kurva upah mengikuti taburan normal, kerana kurva itu bersifat mesocúrtic, di mana kita menganggap bahawa upah diagihkan secara rawak.

Dan akhirnya kita mempunyai lekuk C yang sangat rata, tanda bahawa di jabatan ini julat gaji jauh lebih luas daripada yang lain.

Keputusan peperiksaan

Sekarang anggap bahawa ketiga-tiga lengkung dalam Rajah 2 mewakili keputusan peperiksaan yang diterapkan kepada tiga kumpulan pelajar subjek yang sama.

Kumpulan yang penilaiannya ditunjukkan oleh lekuk leptokurtik A cukup homogen, majoriti memperoleh penilaian rata-rata atau dekat.

Mungkin juga hasilnya disebabkan oleh soalan ujian yang mempunyai tahap kesukaran yang lebih kurang sama.

Sebaliknya, hasil kumpulan C menunjukkan heterogenitas yang lebih besar dalam kumpulan, yang mungkin mengandungi rata-rata pelajar, beberapa pelajar yang lebih maju dan pastinya sama kurang perhatian.

Atau ini bermaksud bahawa soalan ujian mempunyai tahap kesukaran yang sangat berbeza.

Lengkung B bersifat mesokutik, menunjukkan bahawa keputusan ujian mengikuti taburan normal. Ini adalah kes yang paling kerap berlaku.

Contoh kurtosis yang berfungsi

Cari pekali pemarkahan Fisher untuk gred berikut, yang diperoleh dalam peperiksaan Fizik kepada sekumpulan pelajar, dengan skala 1 hingga 10:

Penyelesaian

Ungkapan berikut akan digunakan untuk data yang tidak dikelompokkan, yang diberikan pada bahagian sebelumnya:

K = g ₂ - 3

Nilai ini membolehkan anda mengetahui jenis pengedaran.

Untuk mengira g ₂ adalah lebih mudah untuk melakukannya dengan teratur, langkah demi langkah, kerana beberapa operasi aritmetik harus diselesaikan.

Langkah 1

Pertama, purata nilai dikira. Terdapat data N = 11.

Langkah 2

Sisihan piawai dijumpai, yang mana persamaan ini digunakan:

σ = 1.992

Atau anda juga boleh membina jadual, yang juga diperlukan untuk langkah berikutnya dan di mana setiap sebutan penjumlahan yang diperlukan ditulis, bermula dengan (x _i - X), kemudian (x _i - X) ² dan kemudian (x _i - X) ⁴ :

Langkah 3

Menjalankan jumlah yang ditunjukkan dalam pengangka rumus untuk g ₂ . Untuk ini, hasil lajur kanan jadual sebelumnya digunakan:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290.15

Oleh itu:

g ₂ = (1/11) x 290.15 /1.992 ⁴ = 1.675

Pekali penunjuk Fisher adalah:

K = g ₂ - 3 = 1.675 - 3 = -1.325

Apa yang menarik adalah tanda hasilnya, yang, sebagai negatif, sesuai dengan sebaran platik, yang dapat ditafsirkan seperti yang dilakukan pada contoh sebelumnya: mungkin itu adalah kursus yang heterogen dengan pelajar dari pelbagai tahap minat atau soalan peperiksaannya adalah tahap kesukaran yang berbeza.

Penggunaan spreadsheet seperti Excel sangat memudahkan penyelesaian jenis masalah ini dan juga menawarkan pilihan untuk membuat grafik sebaran.

Rujukan

1. Levin, R. 1988. Statistik untuk Pentadbir. Ke-2. Edisi. Dewan Prentice.
2. Marco, F. Curtosis. Dipulihkan dari: economipedia.com.
3. Oliva, J. Asimetri dan kurtosis. Dipulihkan dari: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Membuat Keputusan dalam Pengurusan. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtosis. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.