DERIVATIF KOTANGEN: PENGIRAAN, BUKTI, LATIHAN - MATEMATIK

The terbitan kotangen yang adalah sama dengan yang bertentangan dengan kuasa dua kosekan "-Csc yang ² ". Formula ini mematuhi undang-undang derivatif mengikut definisi dan pembezaan fungsi trigonometri. Ia dilambangkan sebagai berikut:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Di mana "du" melambangkan ungkapan yang berasal dari fungsi argumen, berkenaan dengan pemboleh ubah bebas.

Sumber: Pixabay.com

Bagaimana ia dikira?

Prosedur untuk mengembangkan derivatif ini agak mudah. Cukup sekadar mengenal pasti argumen dan jenis fungsi yang diwakilinya dengan betul.

Contohnya, ungkapan Ctg (f / g) mempunyai pembahagian dalam hujahnya. Ini memerlukan pembezaan mengenai U / V, setelah mengembangkan turunan kotangen.

Cotangent adalah timbal balik dari tangen. Secara aljabar ini bermaksud:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Kos x / Sen x

Tidak betul mengatakan bahawa fungsi kotangen adalah "songsang" tangen. Ini kerana fungsi tangen songsang mengikut definisi adalah tangen arka.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Menurut trigonometri Pythagoras, kotangen terlibat dalam bahagian berikut:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Menurut trigonometri analitik, ia bertindak balas terhadap identiti berikut:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Ciri-ciri fungsi kotangen

Adalah perlu untuk menganalisis pelbagai ciri fungsi f (x) = ctg x untuk menentukan aspek yang diperlukan untuk mengkaji kebezaan dan aplikasinya.

Asimptot menegak

Fungsi cotangent tidak ditentukan pada nilai-nilai yang menjadikan ungkapan "Senx" sifar. Kerana Ctg x = (cos x) / (sin x) yang setara, ia akan mempunyai ketidakpastian dalam semua "nπ" dengan n milik bilangan bulat.

Maksudnya, dalam setiap nilai x = nπ ini akan ada asimptot menegak. Ketika anda menghampiri dari kiri, nilai kotangen akan menurun dengan cepat, dan ketika anda menghampiri dari kanan, fungsinya akan meningkat selama-lamanya.

Domain

Domain fungsi kotangen dinyatakan dengan set {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Ini dibaca sebagai "x tergolong dalam kumpulan nombor nyata sehingga x berbeza dari nπ, dengan n tergolong dalam kumpulan bilangan bulat".

Pangkat

Julat fungsi kotangen adalah dari minus hingga plus infinity. Oleh itu, dapat disimpulkan bahawa pangkatnya adalah kumpulan nombor nyata R.

Kekerapan

Fungsi kotangen berkala dan tempohnya sama dengan π. Dengan cara ini, persamaan Ctg x = Ctg (x + nπ) dipenuhi, di mana n milik Z.

Kelakuan

Ini adalah fungsi ganjil, kerana Ctg (-x) = - Ctg x. Dengan cara ini diketahui bahawa fungsi tersebut menunjukkan simetri berkenaan dengan asal koordinat. Ini juga menunjukkan penurunan dalam setiap selang yang terletak di antara 2 asimptot menegak berturut-turut.

Ia tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum, kerana fakta bahawa pendekatannya ke asimptot menegak menunjukkan tingkah laku di mana fungsi tersebut meningkat atau menurun selama-lamanya.

Sifar atau akar fungsi kotangen dijumpai pada gandaan π / 2 ganjil. Ini bermaksud bahawa Ctg x = 0 berlaku untuk nilai bentuk x = nπ / 2 dengan bilangan bulat n ganjil.

Demonstrasi

Terdapat 2 cara untuk membuktikan turunan fungsi kotangen.

Bukti pembezaan trigonometri

Derivatif fungsi kotangen dari yang setara dengan sinus dan kosinus terbukti.

Ia dianggap sebagai turunan dari pembahagian fungsi

Setelah memperoleh faktor dikumpulkan dan tujuannya adalah untuk meniru identiti Pythagoras

Mengganti identiti dan menerapkan timbal balik, ungkapan

Bukti berdasarkan definisi terbitan

Ungkapan berikut sesuai dengan derivatif mengikut definisi. Di mana jarak antara 2 titik fungsi menghampiri sifar.

Menggantikan cotangent yang kita ada:

Identiti digunakan untuk jumlah hujah dan timbal balik

Pecahan pembilang dikendalikan secara tradisional

Menghilangkan unsur-unsur yang bertentangan dan mengambil faktor yang sama, kita dapat

Kita harus menerapkan identiti dan timbal balik Pythagoras

Unsur-unsur yang dinilai dalam x adalah tetap sehubungan dengan had, oleh itu mereka boleh meninggalkan hujah ini. Kemudian sifat had trigonometri digunakan.

Had dinilai

Kemudian difaktorkan sehingga nilai yang diinginkan tercapai

Derivatif dari cotangent ditunjukkan sebagai kebalikan dari segiempat sama kosen.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Berdasarkan fungsi f (x), tentukan ungkapan f '(x)

Derivasi yang sesuai digunakan sesuai dengan peraturan rantai

Memperoleh hujah

Kadang-kadang perlu menerapkan identiti timbal balik atau trigonometri untuk menyesuaikan penyelesaiannya.

Latihan 2

Tentukan ungkapan pembezaan yang sepadan dengan F (x)

Mengikut formula terbitan dan menghormati peraturan rantai

Hujah diturunkan, sementara yang lain tetap sama

Menurunkan semua elemen

Beroperasi dengan cara tradisional produk dari pangkalan yang sama

Unsur yang sama ditambahkan dan faktor sepunya diambil

Tanda dipermudahkan dan dikendalikan. Memberi jalan kepada ungkapan yang berasal sepenuhnya

Rujukan

Siri Trigonometri, Jilid 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
Kiraan Pembolehubah Tunggal. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Pembelajaran Cengage, 10 Nov 2008
Kalkulus dengan trigonometri dan geometri analitik. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Penerbit Saxon, 1988
Analisis Multivariabel. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 Dis. 2010
Dinamika Sistem: Pemodelan, Simulasi, dan Pengendalian Sistem Mekatronik. Dekan C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 Mac 2012
Kalkulus: Matematik dan Pemodelan. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 Jan. 1999

DERIVATIF KOTANGEN: PENGIRAAN, BUKTI, LATIHAN - MATEMATIK - 2026