- Bagaimana derivatif tersirat diselesaikan?
- Peraturan rantai
- Urutan operasi
- Tersirat
- Sejarah
- Permohonan
- Latihan yang diselesaikan
- Latihan 1
- Latihan 2
- Rujukan
The derivatif tersirat adalah alat yang digunakan dalam teknik pembezaan digunakan untuk fungsi. Mereka diterapkan apabila tidak mungkin, dengan kaedah biasa, untuk menyelesaikan pemboleh ubah bersandar yang dihasilkan. Pelepasan ini dijalankan sebagai fungsi pemboleh ubah bebas.
Contohnya, dalam ungkapan 3xy 3 - 2y + xy 2 = xy, ungkapan yang mendefinisikan "y" sebagai fungsi "x" tidak dapat diperoleh. Sehingga dengan memperoleh ungkapan pembezaan dy / dx dapat diperoleh.
Bagaimana derivatif tersirat diselesaikan?
Untuk menyelesaikan turunan tersirat, kita mulakan dengan ungkapan tersirat. Contohnya: 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0. Ini sudah dapat diselesaikan dengan betul, namun melakukannya bukanlah syarat yang diperlukan untuk memperoleh terbitan y berkenaan dengan x. Kemudian, setiap elemen diturunkan dengan menghormati peraturan rantai untuk fungsi campuran:
3xy 3 terdiri daripada 2 pemboleh ubah, oleh itu d (3xy 3 ) akan dianggap sebagai turunan produk fungsi.
d (3xy 3 ) / dx = 3y 3 + 3y 2. (3x) y '= 3y 3 + 9xy 2 y'
Di mana elemen y 'dikenali sebagai "y prime" dan mewakili dy / dx
-2y Ia diturunkan menurut hukum KU = K.U '
d (-2y) = -2 y '
xy 2 menganggap perbezaan lain yang disusun oleh produk fungsi
d (xy 2 ) = y 2 + 2xy y '
-xy dirawat secara homolog
d (-xy) = -y - x y '
Mereka diganti dengan persamaan, mengetahui bahawa terbitan sifar adalah sifar.
3y 3 + 9xy 2 y '- 2 y' + y 2 + 2xy y '- y - x y' = 0
Unsur-unsur yang mempunyai istilah y 'dikelompokkan pada satu sisi persamaan
3y 3 + y 2 - y = -9xy 2 y '+ 2 y' + x y '
Faktor sepunya y 'diekstrak dari sebelah kanan persamaan
3y 3 + y 2 - y = y '(-9xy 2 + x + 2)
Akhirnya istilah yang mengalikan y 'dibersihkan. Dengan demikian memperoleh ungkapan yang sesuai dengan derivatif tersirat dari y berkenaan dengan x.
y '= dy / dx = (3y 3 + y 2 - y) / (- 9xy 2 + x + 2)
Peraturan rantai
Dalam derivatif tersirat, peraturan rantai selalu dipatuhi. Semua ungkapan pembezaan akan diberikan sebagai fungsi pemboleh ubah bebas X. Jadi setiap pemboleh ubah θ selain X, mesti memasukkan istilah dθ / dx setelah diturunkan.
Istilah ini akan muncul hanya pada darjah satu atau dengan eksponen sama dengan 1. Kualiti ini menjadikannya jelas sepenuhnya dengan kaedah pemfaktoran tradisional. Oleh itu, adalah mungkin untuk mendapatkan ungkapan yang menentukan perbezaan dθ / dx.
Peraturan rantai menunjukkan sifat progresif pembezaan atau proses terbitan. Di mana untuk setiap fungsi sebatian f, kita mempunyai ungkapan pembezaan f
Urutan operasi
Dalam setiap formula atau undang-undang terbitan yang diterapkan, urutan pemboleh ubah mesti diambil kira. Kriteria yang berkaitan dengan pemboleh ubah bebas dihormati, tanpa mengubah korelasi dengan pemboleh ubah bersandar.
Hubungan pemboleh ubah bersandar pada masa derivasi diambil secara langsung; Dengan pengecualian bahawa ini akan dianggap sebagai fungsi kedua, itulah sebabnya kriteria peraturan rantai untuk fungsi campuran diterapkan.
Ini dapat dikembangkan dalam ekspresi dengan lebih dari 2 pemboleh ubah. Di bawah prinsip yang sama, semua perbezaan yang merujuk kepada pemboleh ubah bersandar akan dilambangkan.
Secara grafik, kriteria yang sama yang menentukan derivatif dikendalikan. Walaupun turunannya adalah cerun garis tangen ke lengkung dalam satah, selebihnya selebihnya yang tergolong dalam pemboleh ubah bersandar (dy / dx, dz / dx) mewakili satah yang bersinggungan dengan badan vektor yang dijelaskan oleh fungsi pelbagai pemboleh ubah.
Tersirat
Fungsi dikatakan didefinisikan secara implisit jika ungkapan y = f (x) dapat diwakili sebagai fungsi pemboleh ubah berganda F (x, y) = 0 selagi F ditakrifkan dalam satah R 2 .
3xy 3 - 2y + xy 2 = xy boleh ditulis dalam bentuk 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0
Memandangkan kemustahilan menjadikan fungsi y = f (x) eksplisit.
Sejarah
Kalkulus pembezaan mula dinamakan oleh pelbagai penyelidik matematik sekitar abad ketujuh belas. Kali pertama disebutkan adalah melalui sumbangan Newton dan Leibniz. Kedua-duanya memperlakukan kalkulus pembezaan dari sudut pandang yang berbeza, tetapi menyimpulkan hasilnya.
Walaupun Newton memfokuskan pada pembezaan sebagai kelajuan atau laju perubahan, pendekatan Leibniz lebih geometri. Boleh dikatakan bahawa Newton menyerang dugaan yang ditinggalkan oleh Apollonius dari Perge dan Leibniz idea geometri Fermat.
Derivasi tersirat segera muncul ketika mempertimbangkan persamaan pembezaan dan kamiran. Ini memperluas konsep geometri Leibniz ke R 3 dan bahkan ruang multidimensi.
Permohonan
Derivatif tersirat digunakan dalam pelbagai situasi. Mereka biasa berlaku dalam masalah kadar pertukaran antara pemboleh ubah yang berkaitan, di mana, bergantung pada rasa kajian, pemboleh ubah akan dianggap bergantung atau tidak bergantung pada.
Mereka juga mempunyai aplikasi geometri yang menarik, seperti masalah bayangan atau bayangan, pada angka yang bentuknya dapat dimodelkan secara matematik.
Mereka sering digunakan dalam bidang ekonomi dan kejuruteraan, serta dalam berbagai penyelidikan fenomena alam dan bangunan eksperimen.
Latihan yang diselesaikan
Latihan 1
Tentukan ungkapan tersirat yang mentakrifkan dy / dx
Setiap unsur ungkapan dibezakan
Menetapkan peraturan rantai dalam setiap kes yang kompeten
Mengelompokkan pada satu sisi persamaan elemen yang mempunyai dy / dx
Ia difaktorkan menggunakan faktor sepunya
Ia diselesaikan dengan memperoleh ungkapan yang dicari
Latihan 2
Tentukan ungkapan tersirat yang mentakrifkan dy / dx
Menyatakan derivatif yang akan dijalankan
Berasal secara tersirat mengikut peraturan rantai
Memfaktorkan unsur sepunya
Mengelompokkan istilah dy / dx pada satu sisi persamaan
Faktor biasa untuk elemen pembezaan
Kami mengasingkan dan mendapatkan ungkapan yang dicari
Rujukan
- Kiraan Pembolehubah Tunggal. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Pembelajaran Cengage, 10 Nov 2008
- Teorema Fungsi Tersirat: Sejarah, Teori, dan Aplikasi. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 Nov. 2012
- Analisis Multivariabel. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 Dis. 2010
- Dinamika Sistem: Pemodelan, Simulasi, dan Pengendalian Sistem Mekatronik. Dekan C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 Mac 2012
- Kalkulus: Matematik dan Pemodelan. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 Jan. 1999