DERIVATIF SEPARA: NOTASI, CONTOH DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2026

The terbitan separa daripada fungsi beberapa pembolehubah adalah mereka yang menentukan kadar perubahan fungsi apabila salah satu pembolehubah yang mempunyai variasi yang sangat kecil, manakala pemboleh ubah lain kekal tidak berubah.

Untuk menjadikan idea lebih konkrit, anggap kes fungsi dua pemboleh ubah: z = f (x, y). Derivatif separa fungsi f berkenaan dengan pemboleh ubah x dikira sebagai terbitan biasa berkenaan dengan x, tetapi mengambil pemboleh ubah y seolah-olah ia tetap.

Rajah 1. Fungsi f (x, y) dan terbitan separa ∂ _x f y ∂ _y f pada titik P. (Dihuraikan oleh R. Pérez dengan geogebra)

Notasi terbitan separa

Operasi terbitan separa fungsi f (x, y) pada pemboleh ubah x dilambangkan dengan salah satu cara berikut:

Dalam terbitan separa simbol ∂ (sejenis huruf bulat d juga disebut Jacobi d) digunakan, berbanding dengan derivatif biasa untuk fungsi pemboleh ubah tunggal di mana huruf d digunakan untuk derivatif.

Secara umum, turunan separa fungsi multivariate, berkenaan dengan salah satu pembolehubahnya, menghasilkan fungsi baru dalam pemboleh ubah yang sama dari fungsi asalnya:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Pengiraan dan makna terbitan separa

Untuk menentukan kadar perubahan atau kemiringan fungsi untuk titik tertentu (x = a, y = b) dalam arah selari dengan paksi X:

1- Fungsi ∂ _x f (x, y) = g (x, y) dikira , mengambil terbitan biasa dalam pemboleh ubah x dan meninggalkan pemboleh ubah y tetap atau tetap.

2- Kemudian nilai titik x = a dan y = b diganti di mana kita ingin mengetahui kadar perubahan fungsi dalam arah x:

{Cerun ke arah x pada titik (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Untuk mengira kadar perubahan arah y pada titik koordinat (a, b), hitung dahulu ∂ _dan f (x, y) = h (x, y).

4- Maka titik (x = a, y = b) diganti pada hasil sebelumnya untuk mendapatkan:

{Lereng ke arah y pada titik (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Contoh terbitan separa

Beberapa contoh terbitan separa adalah seperti berikut:

Contoh 1

Memandangkan fungsi:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Cari terbitan separa fungsi f berkenaan dengan pemboleh ubah x dan pemboleh ubah y.

Penyelesaian:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Perhatikan bahawa untuk mengira terbitan separa fungsi f berkenaan dengan pemboleh ubah x, terbitan biasa berkenaan dengan x dilakukan tetapi pemboleh ubah y telah diambil seolah-olah ia tetap. Begitu juga, dalam mengira terbitan separa f berkaitan dengan y, pemboleh ubah x telah diambil seolah-olah ia adalah pemalar.

Fungsi f (x, y) adalah permukaan yang disebut paraboloid ditunjukkan pada gambar 1 dalam warna oker.

Contoh 2

Cari kadar perubahan (atau cerun) fungsi f (x, y) dari Contoh 1, dalam arah paksi X dan paksi Y untuk titik (x = 1, y = 2).

Penyelesaian: Untuk mencari cerun dalam arah x dan y pada titik yang ditentukan, ganti nilai titik ke fungsi ∂ _x f (x, y) dan ke fungsi ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _dan f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Rajah 1 menunjukkan garis singgung (dalam warna merah) ke lengkung yang ditentukan oleh persilangan fungsi f (x, y) dengan satah y = 2, cerun garis ini ialah -2. Rajah 1 juga menunjukkan garis tangen (berwarna hijau) ke lengkung yang menentukan persilangan fungsi f dengan satah x = 1; Garisan ini mempunyai cerun -4.

Latihan

Latihan 1

Gelas kerucut pada waktu tertentu berisi air sehingga permukaan air mempunyai radius r dan kedalaman h. Tetapi gelas itu mempunyai lubang kecil di bahagian bawah di mana air hilang pada kadar C sentimeter padu sesaat. Tentukan kadar penurunan dari permukaan air dalam sentimeter sesaat.

Penyelesaian:

Pertama sekali, perlu diingat bahawa isipadu air pada saat tertentu adalah:

Isipadu adalah fungsi dari dua pemboleh ubah, radius r dan kedalaman h: V (r, h).

Apabila isipadu berubah dengan jumlah tak terhingga dV, radius r permukaan air dan kedalaman h air juga berubah mengikut hubungan berikut:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Kami terus mengira terbitan separa V masing-masing berkenaan dengan r dan h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Selanjutnya, jejari r dan kedalaman memenuhi hubungan berikut:

Membahagi kedua-dua anggota dengan pembezaan masa dt memberikan:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Tetapi dV / dt adalah isipadu air yang hilang per satuan waktu yang diketahui C sentimeter per saat, sedangkan dh / dt adalah laju penurunan permukaan air bebas, yang akan disebut v. Maksudnya, permukaan air pada waktu yang ditentukan turun pada kelajuan v (dalam cm / s) yang diberikan oleh:

v = C / (π r ^ 2).

Sebagai aplikasi berangka, anggaplah r = 3 cm, h = 4 cm, dan kadar kebocoran C adalah 3 cm ^ 3 / s. Kemudian kelajuan penurunan permukaan pada saat itu adalah:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0.11 cm / s = 1.1 mm / s.

Latihan 2

Teorema Clairaut-Schwarz menyatakan bahawa jika fungsi berterusan dalam pemboleh ubah bebasnya dan terbitan separa berkenaan dengan pemboleh ubah bebas juga berterusan, maka derivatif campuran tertib kedua dapat ditukar. Periksa teorema ini untuk fungsinya

f (x, y) = x ^ 2 y, iaitu, mestilah benar bahawa f _xy f = ∂ _yx f.

Penyelesaian:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) manakala ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Teorema Schwarz telah terbukti berlaku, kerana fungsi f dan terbitan separanya berterusan untuk semua nombor nyata.

Rujukan

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Pengiraan 5ed. Bukit Mc Graw.
2. Leithold, L. (1992). Pengiraan dengan geometri analitik. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Pengiraan. Mexico: Pendidikan Pearson.
4. Saenz, J. (2005). Kalkulus berbeza. Hypotenuse.
5. Saenz, J. (2006). Kalkulus integral. Hypotenuse.
6. Wikipedia. Derivatif separa. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com