The penguraian bahan tambahan daripada integer positif terdiri daripada menyatakan ia sebagai hasil tambah dua atau lebih bilangan bulat positif. Oleh itu, kita mempunyai bahawa nombor 5 dapat dinyatakan sebagai 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 atau 5 = 1 + 2 + 2. Setiap cara menulis nombor 5 inilah yang akan kita panggil penguraian aditif.

Sekiranya kita memperhatikan kita dapat melihat bahawa ungkapan 5 = 2 + 3 dan 5 = 3 + 2 mewakili komposisi yang sama; mereka berdua mempunyai nombor yang sama. Namun, hanya untuk kemudahan, setiap tambahan biasanya ditulis mengikut kriteria dari yang paling rendah hingga yang paling tinggi.

Penguraian aditif

Sebagai contoh lain kita boleh mengambil nombor 27, yang dapat kita nyatakan sebagai:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Penguraian aditif adalah alat yang sangat berguna yang membolehkan kita memperkukuhkan pengetahuan kita mengenai sistem penomboran.

Penguraian aditif kanonik

Apabila kita mempunyai nombor dengan lebih dari dua digit, cara tertentu untuk menguraikannya adalah dalam gandaan 10, 100, 1000, 10 000, dll, yang membentuknya. Cara menulis nombor ini disebut penguraian aditif kanonik. Contohnya, nombor 1456 dapat diuraikan seperti berikut:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Sekiranya kita mempunyai nombor 20 846 295, penguraian aditif kanonisnya adalah:

20 846 295 = 20,000,000 + 800,000 + 40,000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Berkat penguraian ini, kita dapat melihat bahawa nilai digit yang diberikan diberikan oleh kedudukan yang didudukinya. Mari kita ambil nombor 24 dan 42 sebagai contoh:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Di sini kita dapat melihat bahawa dalam 24 2 mempunyai nilai 20 unit dan 4 nilai 4 unit; Sebaliknya, dalam 42 4 mempunyai nilai 40 unit dan 2 dari dua unit. Oleh itu, walaupun kedua-dua nombor menggunakan digit yang sama, nilainya sama sekali berbeza kerana kedudukannya.

Permohonan

Salah satu aplikasi yang dapat kita berikan untuk penguraian aditif adalah dalam jenis bukti tertentu, di mana sangat berguna untuk melihat bilangan bulat positif sebagai jumlah yang lain.

Teorema contoh

Mari kita ambil contoh teorema berikut dengan bukti masing-masing.

- Biarkan Z menjadi bilangan bulat 4 digit, maka Z boleh dibahagi dengan 5 jika angka yang sesuai dengan unit adalah sifar atau lima.

Demonstrasi

Mari kita ingat apa itu pembahagi. Sekiranya kita mempunyai bilangan bulat "a" dan "b", kita mengatakan bahawa "a" membahagi "b" jika ada bilangan bulat "c" sehingga b = a * c.

Salah satu sifat pembahagian memberitahu kita bahawa jika "a" dan "b" dibahagi dengan "c", maka pengurangan "ab" juga dapat dibahagikan.

Biarkan Z menjadi bilangan bulat 4 digit; oleh itu, kita boleh menulis Z sebagai Z = ABCD.

Dengan menggunakan penguraian aditif kanonik, kita mempunyai:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Jelas bahawa A * 1000 + B * 100 + C * 10 boleh dibahagi dengan 5. Untuk ini kita mempunyai Z yang boleh dibahagi dengan 5 jika Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) dibahagi dengan 5.

Tetapi Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D dan D adalah nombor satu digit, jadi satu-satunya cara untuk dapat dibahagi dengan 5 adalah untuk menjadi 0 atau 5.

Oleh itu, Z boleh dibahagi dengan 5 jika D = 0 atau D = 5.

Perhatikan bahawa jika Z mempunyai n digit buktinya sama, ia hanya berubah bahawa sekarang kita akan menulis Z = A ₁ A ₂ … A _n dan objektifnya adalah untuk membuktikan bahawa A _n adalah sifar atau lima.

Partition

Kami mengatakan bahawa pembahagian bilangan bulat positif adalah salah satu cara untuk kita menulis nombor sebagai jumlah bilangan bulat positif.

Perbezaan antara penguraian aditif dan partisi adalah bahawa, sementara yang pertama meminta sekurang-kurangnya ia dapat diuraikan menjadi dua tambahan atau lebih, partisi tidak mempunyai batasan ini.

Oleh itu, kami mempunyai perkara berikut:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Di atas adalah bahagian 5.

Artinya, kita mempunyai bahawa setiap penguraian aditif adalah partisi, tetapi tidak setiap partisi semestinya penguraian aditif.

Dalam teori nombor, teorem asas aritmetik menjamin bahawa setiap bilangan bulat dapat ditulis secara unik sebagai produk bilangan prima.

Semasa mempelajari partisi, tujuannya adalah untuk menentukan berapa banyak bilangan bulat positif dapat ditulis sebagai jumlah bilangan bulat yang lain. Oleh itu, kami menentukan fungsi partisi seperti yang ditunjukkan di bawah.

Definisi

Fungsi partisi p (n) didefinisikan sebagai bilangan cara bilangan bulat positif n dapat ditulis sebagai jumlah bilangan bulat positif.

Kembali ke contoh 5, kita mempunyai bahawa:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Oleh itu, p (5) = 7.

Grafik

Kedua-dua partisi dan penguraian aditif nombor n dapat ditunjukkan secara geometri. Katakan kita mempunyai penguraian aditif n. Dalam penguraian ini, penambahan dapat disusun supaya anggota jumlahnya diperintahkan dari yang paling sedikit hingga yang paling besar. Jadi, baiklah:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r dengan

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r .

Kita dapat membuat grafik penguraian ini dengan cara berikut: pada baris pertama kita menandakan _1- titik, kemudian pada yang berikutnya kita menandakan _2- titik, dan seterusnya sehingga kita mencapai _r .

Contohnya, nombor 23 dan penguraian berikut:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Kami memerintahkan penguraian ini dan kami mempunyai:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Grafik yang sesuai adalah: