KETIDAKSAMAAN SEGITIGA: BUKTI, CONTOH, LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2026

Ia dipanggil harta segitiga tidak sama yang memenuhi dua nombor nyata yang terdiri daripada nilai mutlak jumlahnya selalu kurang dari atau sama dengan jumlah nilai mutlaknya. Harta ini juga dikenali sebagai ketaksamaan Minkowski atau ketaksamaan segitiga.

Sifat nombor ini disebut ketaksamaan segitiga kerana dalam segitiga berlaku bahawa panjang satu sisi selalu kurang dari atau sama dengan jumlah dua yang lain, walaupun ketaksamaan ini tidak selalu berlaku di kawasan segitiga.

Rajah 1. Nilai mutlak jumlah dua nombor selalu kurang daripada atau sama dengan jumlah nilai mutlaknya. (Disediakan oleh R. Pérez)

Terdapat beberapa bukti ketaksamaan segitiga dalam bilangan nyata, tetapi dalam kes ini kita akan memilih satu berdasarkan sifat nilai mutlak dan kuasa dua binomial.

Teorema: Untuk setiap pasangan nombor a dan b yang tergolong dalam nombor nyata kita mempunyai:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstrasi

Kita mulakan dengan mempertimbangkan anggota pertama ketaksamaan, yang akan menjadi kuasa dua:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Pers. 1)

Pada langkah sebelumnya, kami menggunakan sifat bahawa nombor kuasa dua sama dengan nilai mutlak bilangan kuasa dua tersebut, iaitu: -x- ^ 2 = x ^ 2. Pengembangan binomial segiempat juga telah digunakan.

Setiap nombor x kurang daripada atau sama dengan nilai mutlaknya. Sekiranya nombor itu positif, ia adalah sama, tetapi jika nombor itu negatif, maka akan selalu kurang daripada bilangan positif. Dalam hal ini nilai mutlaknya sendiri, iaitu, dapat dinyatakan bahawa x ≤ - x -.

Produk (ab) adalah nombor, oleh itu ia menggunakan (ab) ≤ - ab -. Apabila harta tanah ini digunakan (Pers. 1) kita mempunyai:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Pers. 2)

Dengan mengambil kira bahawa - ab - = - a - b - la (Pers. 2) boleh ditulis seperti berikut:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Persamaan 3)

Tetapi sejak kita katakan sebelumnya bahawa kuadrat nombor sama dengan nilai mutlak nombor kuasa dua, maka persamaan 3 dapat ditulis semula seperti berikut:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Pers. 4)

Pada anggota kedua ketidaksamaan itu, produk yang luar biasa dikenali, yang apabila diterapkan membawa kepada:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Persamaan 5)

Dalam ungkapan sebelumnya harus diperhatikan bahawa nilai-nilai yang harus dijelaskan dalam kedua-dua anggota ketidaksamaan itu positif, oleh itu ia juga harus berpuas hati bahawa:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Persamaan 6)

Ungkapan sebelumnya adalah persis seperti yang anda ingin tunjukkan.

Contoh

Seterusnya kita akan memeriksa ketaksamaan segitiga dengan beberapa contoh.

Contoh 1

Kami mengambil nilai a = 2 dan nilai b = 5, iaitu kedua-dua nombor positif dan kami memeriksa sama ada ketaksamaan itu berpuas hati atau tidak.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Kesaksamaan disahkan, oleh itu teorema ketaksamaan segitiga telah dipenuhi.

Contoh 2

Nilai-nilai berikut a = 2 dan b = -5 dipilih, iaitu, nombor positif dan negatif yang lain, kami memeriksa sama ada ketidaksamaan itu berpuas hati atau tidak.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Ketidaksamaan berpuas hati, oleh itu teorema ketaksamaan segitiga telah disahkan.

Contoh 3

Kami mengambil nilai a = -2 dan nilai b = 5, iaitu nombor negatif dan positif lain, kami memeriksa sama ada ketidaksamaan itu berpuas hati atau tidak.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Ketidaksamaan tersebut disahkan, oleh itu teorema telah dipenuhi.

Contoh 4

Nilai-nilai berikut a = -2 dan b = -5 dipilih, iaitu kedua-dua nombor negatif dan kami memeriksa sama ada ketidaksamaan itu dipenuhi atau tidak.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Kesaksamaan disahkan, oleh itu teorema ketaksamaan Minkowski telah dipenuhi.

Contoh 5

Kami mengambil nilai a = 0 dan nilai b = 5, iaitu angka sifar dan positif lain, kemudian kami periksa sama ada ketaksamaan itu berpuas hati atau tidak.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Kesaksamaan dipenuhi, oleh itu teorema ketaksamaan segitiga telah disahkan.

Contoh 6

Kami mengambil nilai a = 0 dan nilai b = -7, iaitu angka sifar dan positif lainnya, kemudian kami memeriksa sama ada ketidaksamaan itu berpuas hati atau tidak.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Kesaksamaan disahkan, oleh itu teorema ketaksamaan segitiga telah dipenuhi.

Latihan yang diselesaikan

Dalam latihan berikut, gambarkan secara geometri ketaksamaan segitiga atau ketaksamaan Minkowski untuk nombor a dan b.

Nombor a akan ditunjukkan sebagai segmen pada paksi X, asalnya O bertepatan dengan sifar paksi X dan hujung segmen yang lain (pada titik P) akan berada di arah positif (ke kanan) paksi X jika > 0, tetapi jika <0, ia akan menuju arah negatif paksi X, seberapa banyak unit yang ditunjukkan oleh nilai mutlaknya.

Begitu juga, angka b akan ditunjukkan sebagai segmen yang asalnya berada pada titik P. Ekstrem lain, iaitu, titik Q akan berada di sebelah kanan P jika b positif (b> 0) dan titik Q akan menjadi -b - unit di sebelah kiri P jika b <0.

Latihan 1

Grafkan ketaksamaan segitiga untuk a = 5 dan b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, di mana c = a + b.

Latihan 2

Grafkan ketaksamaan segitiga untuk a = 5 dan b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, di mana c = a + b.

Latihan 3

Secara grafik menunjukkan ketaksamaan segitiga untuk a = -5 dan b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, di mana c = a + b.

Latihan 4

Secara grafik membina ketaksamaan segitiga untuk a = -5 dan b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, di mana c = a + b.

Rujukan

1. E. Whitesitt. (1980). Aljabar Boolean dan aplikasinya. Syarikat Pengarang Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elemen Analisis Abstrak. . Jabatan matematik. Kolej universiti Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematik dan Kejuruteraan dalam Sains Komputer. Institut Sains dan Teknologi Komputer. Biro Piawaian Negara. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematik untuk Sains Komputer. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Kalkulus. Jabatan Matematik dan Makmal Sains Komputer dan AI, Institut Teknologi Massachussetts.
6. Akademi Khan. Teorema Ketaksamaan Segi Tiga. Dipulihkan dari: khanacademy.org
7. Wikipedia. Ketaksamaan segi tiga. Dipulihkan dari: es. wikipedia.com