PERBEZAAN KUBUS: FORMULA, PERSAMAAN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK

The perbezaan kiub adalah ungkapan algebra binomial dalam bentuk a ³ - b ³ , di mana syarat-syarat a dan b boleh menjadi nombor nyata atau ungkapan algebra pelbagai jenis. Contoh perbezaan kubus ialah: 8 - x ³ , kerana 8 boleh ditulis sebagai 2 ³ .

Secara geometri kita dapat memikirkan sebuah kubus besar, dengan sisi a, dari mana kubus kecil dengan sisi b dikurangkan, seperti yang digambarkan pada gambar 1:

Rajah 1. Perbezaan kubus. Sumber: F. Zapata.

Isipadu angka yang dihasilkan adalah perbezaan kubus:

V = a ³ - b ³

Untuk mencari ungkapan alternatif, diperhatikan bahawa angka ini dapat diuraikan menjadi tiga prisma, seperti yang ditunjukkan di bawah:

Rajah 2. Perbezaan kubus (kiri persamaan) sama dengan jumlah isi parsial (kanan). Sumber: F. Zapata.

Prisma mempunyai isipadu yang diberikan oleh produk dari tiga dimensinya: lebar x tinggi x kedalaman. Dengan cara ini, jumlah yang dihasilkan adalah:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

Faktor b adalah biasa di sebelah kanan. Selanjutnya, dalam gambar yang ditunjukkan di atas, sangat benar bahawa:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Oleh itu dapat dikatakan bahawa: b = a - b. Oleh itu:

Cara untuk menyatakan perbezaan kubus ini terbukti sangat berguna dalam banyak aplikasi dan ia akan diperoleh dengan cara yang sama, walaupun sisi kubus yang hilang di sudut berbeza dengan b = a / 2.

Perhatikan bahawa tanda kurung kedua menyerupai produk yang terkenal dari segiempat sama, tetapi istilah silang tidak didarabkan dengan 2. Pembaca dapat mengembangkan sisi kanan untuk mengesahkan bahawa ³ - b ³ sememangnya diperoleh .

Contoh

Terdapat beberapa perbezaan kiub:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² dan ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

Mari analisa masing-masing. Dalam contoh pertama, 1 boleh ditulis sebagai 1 = 1 ³ dan istilah m ⁶ menjadi: (m ² ) ³ . Kedua-dua istilah adalah kubus yang sempurna, oleh itu perbezaannya adalah:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

Dalam contoh kedua, istilah ditulis semula:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Perbezaan kubus ini adalah: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Akhirnya, pecahan (1/125) ialah (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ^3, dan y ⁹ = (y ³ ) ³ . Menggantikan semua ini dalam ungkapan asal, anda mendapat:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Memfaktorkan perbezaan kubus

Memfaktorkan perbezaan kiub memudahkan banyak operasi algebra. Untuk melakukan ini, gunakan formula yang disimpulkan di atas:

Rajah 3. Pemfaktoran perbezaan kubus dan ekspresi bagi hasil yang luar biasa. Sumber: F. Zapata.

Sekarang, prosedur untuk menerapkan formula ini terdiri daripada tiga langkah:

- Di tempat pertama akar kubus setiap sebutan perbezaan diperoleh.

- Kemudian binomial dan trinomial yang muncul di sebelah kanan formula dibina.

- Akhirnya, binomial dan trinomial diganti untuk mendapatkan pemfaktoran akhir.

Mari kita gambarkan penggunaan langkah-langkah ini dengan masing-masing contoh perbezaan kubus yang dicadangkan di atas dan dengan itu memperoleh setara faktornya.

Contoh 1

Faktorkan ungkapan 1 - m ⁶ mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan. Kita mulakan dengan menulis semula ungkapan sebagai 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³ untuk mengekstrak akar kubus masing-masing istilah:

Seterusnya, binomial dan trinomial dibina:

a = 1

b = m ²

Jadi:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Akhirnya, ia diganti dalam formula ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Contoh 2

Faktorkan:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Oleh kerana ini adalah kubus yang sempurna, akar kubus langsung: a ² b dan 2z ⁴ dan ² , oleh itu ia berikut:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ dan ²

- Trinomial: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

Dan sekarang faktorisasi yang diinginkan dibina:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Pada prinsipnya, pemfaktoran sudah siap, tetapi selalunya perlu untuk menyederhanakan setiap istilah. Kemudian produk yang luar biasa -square of a sum- yang muncul di akhir dikembangkan dan kemudian seperti istilah ditambahkan. Mengingat bahawa kuasa dua adalah:

Produk terkenal di sebelah kanan dikembangkan seperti ini:

(a ² b + 2z ⁴ dan ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ dan ² + 4z ⁸ dan ⁴

Menggantikan pengembangan yang diperoleh dalam pemfaktoran perbezaan kubus:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Akhirnya, mengelompokkan seperti istilah dan memfaktorkan pekali berangka, yang sama rata, kami memperoleh:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Contoh 3

Pemfaktoran (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ jauh lebih mudah daripada kes sebelumnya. Pertama setara a dan b dikenal pasti:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Kemudian mereka diganti secara langsung dalam formula:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ =.

Latihan diselesaikan

Perbezaan kubus mempunyai, seperti yang telah kita katakan, berbagai aplikasi di Aljabar. Mari lihat beberapa:

Latihan 1

Selesaikan persamaan berikut:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Penyelesaian untuk

Mula-mula persamaan dibuat seperti ini:

x ² (x ³ - 125) = 0

Oleh kerana 125 adalah kubus yang sempurna, tanda kurung ditulis sebagai perbezaan kiub:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Penyelesaian pertama adalah x = 0, tetapi kita dapati lebih banyak lagi jika kita membuat x ³ - 5 ³ = 0, maka:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Penyelesaian b

Bahagian kiri persamaan ditulis semula sebagai 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Oleh itu:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Oleh kerana eksponennya sama:

9x = 4 → x = 9/4

Latihan 2

Faktorkan ungkapan:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Penyelesaian

Ungkapan ini adalah perbezaan kubus, jika dalam formula pemfaktoran kita perhatikan bahawa:

a = x + y

b = x- y

Kemudian binomial dibina terlebih dahulu:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Dan sekarang trinomial:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Produk terkenal dibangunkan:

Seterusnya anda harus menggantikan dan mengurangkan istilah seperti:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Hasil pemfaktoran dalam:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

Rujukan

Baldor, A. 1974. Algebra. Kebudayaan Editorial Venezolana SA
Yayasan CK-12. Jumlah dan perbezaan kubus. Dipulihkan dari: ck12.org.
Akademi Khan. Pemfaktoran perbezaan kubus. Dipulihkan dari: es.khanacademy.org.
Matematik adalah Fun Advanced. Perbezaan dua kubus. Dipulihkan dari: mathsisfun.com
UNAM. Memfaktorkan perbezaan kubus. Dipulihkan dari: dcb.fi-c.unam.mx.

PERBEZAAN KUBUS: FORMULA, PERSAMAAN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2026