JARAK EUCLIDEAN: KONSEP, FORMULA, PENGIRAAN, CONTOH - MATEMATIK - 2026

Yang jarak Euclidean adalah nombor positif yang menunjukkan pemisahan antara dua titik dalam ruang di mana aksiom dan teorem geometri Euclid dipenuhi.

Jarak antara dua titik A dan B di ruang Euclidean adalah panjang vektor AB yang tergolong dalam satu-satunya garis yang melewati titik-titik ini.

Rajah 1 . Ruang Euclidean satu dimensi yang dibentuk oleh garis (OX). Beberapa titik ditunjukkan pada ruang tersebut, koordinat dan jaraknya. (Disediakan oleh Ricardo Pérez).

Ruang yang dirasakan manusia dan di mana kita bergerak adalah ruang tiga dimensi (3-D), di mana aksioma dan teorema geometri Euclid dipenuhi. Ruang bawah dua dimensi (satah) dan ruang bawah tanah (dimensi) satu dimensi terdapat di ruang ini.

Ruang Euclidean boleh menjadi satu dimensi (1-D), dua dimensi (2-D), tiga dimensi (3-D), atau n-dimensi (nD).

Titik dalam ruang satu dimensi X adalah titik yang tergolong dalam garis berorientasi (OX), arah dari O ke X adalah arah positif. Untuk mencari titik-titik pada garis ini, sistem Cartesian digunakan, yang terdiri dari menetapkan nombor ke setiap titik garis.

Formula

Jarak Euclidean d (A, B) antara titik A dan B, yang terletak di garis, ditakrifkan sebagai punca kuasa dua bagi perbezaan koordinat X mereka:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

Definisi ini menjamin bahawa: jarak antara dua titik selalu menjadi kuantiti positif. Dan bahawa jarak antara A dan B sama dengan jarak antara B dan A.

Rajah 1 menunjukkan ruang Euclidean satu dimensi yang terbentuk oleh garis (OX) dan beberapa titik pada garis tersebut. Setiap titik mempunyai koordinat:

Titik A mempunyai koordinat XA = 2.5, titik B koordinat XB = 4 dan titik C koordinat XC = -2.5

d (A, B) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5

d (B, A) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5

d (A, C) = √ ((- 2.5 - 2.5) 2) = 5.0

Jarak Euclidean dalam dua dimensi

Ruang Euclidean dua dimensi ialah satah. Titik satah Euclidean memenuhi aksioma geometri Euclidean, misalnya:

- Satu baris melepasi dua titik.

- Tiga titik pada satah membentuk segitiga yang sudut dalamannya sentiasa bertambah hingga 180º.

- Dalam segitiga kanan, segiempat sama hipotenus sama dengan jumlah kuadrat kakinya.

Dalam dua dimensi, titik mempunyai koordinat X dan Y.

Contohnya titik P mempunyai koordinat (XP, YP) ​​dan koordinat titik Q (XQ, YQ).

Jarak Euclidean antara titik P dan Q ditentukan dengan formula berikut:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

Harus diingat bahawa formula ini setara dengan teorema Pythagoras, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.

Rajah 2. Jarak antara dua titik P dan Q dalam satah memenuhi teorem Pythagoras. (Disediakan oleh Ricardo Pérez).

Permukaan Bukan Euclidean

Tidak semua ruang dua dimensi sesuai dengan geometri Euclidean. Permukaan sfera adalah ruang dua dimensi.

Sudut segitiga pada permukaan sfera tidak bertambah hingga 180º dan dengan ini teorema Pythagoras tidak terpenuhi, oleh itu permukaan sfera tidak memenuhi aksioma Euclid.

Jarak Euclidean dalam dimensi n

Konsep koordinat dapat diperluas ke dimensi yang lebih besar:

- Dalam titik 2-D, P mempunyai koordinat (XP, YP)

- Dalam 3-D titik Q mempunyai koordinat (XQ, YQ, ZQ)

- Dalam 4-D titik R akan mempunyai koordinat (XR, YR, ZR, WR)

- Dalam nD titik P akan mempunyai koordinat (P1, P2, P3,… .., Pn)

Jarak antara dua titik P dan Q ruang Euclidean n-dimensi dikira dengan formula berikut:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)

Lokus semua titik Q dalam ruang Euclidean n-dimensi yang sama jarak dari titik tetap P lain (pusat) membentuk hipersfera n-dimensi.

Cara mengira jarak Euclidean

Berikut menunjukkan bagaimana jarak antara dua titik yang terletak di ruang tiga dimensi Euclidean dikira.

Andaikan titik A koordinat Cartesian x, y, z yang diberikan oleh A :( 2, 3, 1) dan titik B koordinat B :( -3, 2, 2).

Kami ingin menentukan jarak antara titik-titik ini, yang digunakan untuk hubungan umum:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )

d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196

Contohnya

Terdapat dua titik P dan Q. Titik P koordinat Cartesian x, y, z yang diberikan oleh P :( 2, 3, 1) dan titik Q koordinat Q :( -3, 2, 1).

Ia diminta untuk mencari koordinat titik tengah M segmen yang menghubungkan dua titik tersebut.

Titik M yang tidak diketahui diandaikan mempunyai koordinat (X, Y, Z).

Oleh kerana M adalah titik tengah, maka mestilah benar bahawa d (P, M) = d (Q, M), jadi d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 juga mesti benar:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

Seperti dalam kes ini, istilah ketiga sama di kedua-dua anggota, ungkapan sebelumnya menyederhanakan untuk:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2

Kami kemudian mempunyai persamaan dengan dua X dan Y yang tidak diketahui. Persamaan lain diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

Titik M tergolong dalam garis yang melewati titik P dan Q, yang dapat kita hitung seperti berikut:

Mula-mula kita dapati vektor pengarah PQ garis: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

Kemudian PM = OP + a PQ , di mana OP adalah vektor kedudukan titik P dan merupakan parameter yang termasuk dalam nombor nyata.

Persamaan di atas dikenali sebagai persamaan vektor garis, yang dalam koordinat Cartesian mengambil bentuk berikut:

<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

Menyamakan komponen yang sesuai yang kita ada:

X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0

Iaitu, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, akhirnya Z = 1.

Ia diganti dalam ungkapan kuadratik yang menghubungkan X dengan Y:

(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2

Ia dipermudahkan:

(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2

Sekarang terungkap:

4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a

Ia dipermudahkan, membatalkan syarat seperti di kedua-dua ahli:

4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

Parameter a dihapus:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 menghasilkan a = 1.

Maksudnya, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, akhirnya Z = 1.

Akhirnya kami memperoleh koordinat Cartesian titik tengah M segmen:

M: (-1, 5, 1).

Rujukan

1. Lehmann C. (1972) Geometri Analitik. UTEHA.
2. Superprof. Jarak antara dua titik. Dipulihkan dari: superprof.es
3. UNAM. Jarak antara manifold sublinear afin. Dipulihkan dari: prometeo.matem.unam.mx/
4. wikipedia. Jarak Euclidean. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Ruang Euclidean. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com