The taburan binomial ialah taburan kebarangkalian yang mana kebarangkalian berlakunya peristiwa dikira, dengan syarat bahawa ia berlaku di bawah dua kaedah: kejayaan atau kegagalan.
Penunjukan ini (kejayaan atau kegagalan) sepenuhnya sewenang-wenang, kerana tidak semestinya bermaksud perkara baik atau buruk. Semasa artikel ini kita akan menunjukkan bentuk matematik taburan binomial dan kemudian makna setiap istilah akan dijelaskan secara terperinci.
Gambar 1. Roll of die adalah fenomena yang boleh dimodelkan menggunakan taburan binomial. Sumber: Pixabay.
Persamaan
Persamaannya adalah seperti berikut:
Dengan x = 0, 1, 2, 3… .n, di mana:
- P (x) adalah kebarangkalian untuk memperoleh kejayaan x antara n percubaan atau percubaan.
- x adalah pemboleh ubah yang menerangkan fenomena minat, sesuai dengan jumlah kejayaan.
- n bilangan percubaan
- p adalah kebarangkalian kejayaan dalam 1 percubaan
- q adalah kebarangkalian kegagalan dalam 1 percubaan, oleh itu q = 1 - p
Tanda seru "!" digunakan untuk notasi faktorial, jadi:
0! = 1
satu! = 1
dua! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Dan sebagainya.
Konsep
Pembahagian binomial sangat sesuai untuk menerangkan situasi di mana suatu peristiwa berlaku atau tidak berlaku. Sekiranya ia berlaku, itu adalah kejayaan dan jika tidak, maka itu adalah kegagalan. Selanjutnya, kebarangkalian kejayaan mesti sentiasa kekal.
Terdapat fenomena yang sesuai dengan keadaan ini, contohnya melemparkan duit syiling. Dalam kes ini, kita dapat mengatakan bahawa "kejayaan" mendapat wajah. Kebarangkalian adalah ½ dan tidak berubah, tidak kira berapa kali duit syiling dilemparkan.
Gulungan mati yang jujur adalah contoh lain yang baik, serta mengkategorikan pengeluaran tertentu menjadi kepingan yang baik dan cacat dan menjadi merah dan bukannya hitam ketika memutar roda rolet.
ciri
Kita dapat meringkaskan ciri-ciri taburan binomial seperti berikut:
- Sebarang peristiwa atau pemerhatian diambil dari populasi yang tidak terbatas tanpa penggantian atau dari populasi yang terbatas dengan penggantian.
- Hanya dua pilihan yang dipertimbangkan, saling eksklusif: kejayaan atau kegagalan, seperti yang dijelaskan pada awalnya.
- Kebarangkalian kejayaan mesti berterusan dalam setiap pemerhatian yang dibuat.
- Hasil dari sebarang acara tidak bergantung kepada acara lain.
- Purata taburan binomial adalah np
- Sisihan piawai adalah:
Contoh aplikasi
Mari ikuti acara sederhana, yang mungkin mendapat 2 kepala 5 dengan melancarkan die yang jujur sebanyak 3 kali. Apakah kebarangkalian dalam 3 lemparan 2 kepala 5 akan diperoleh?
Terdapat beberapa cara untuk mencapainya, misalnya:
- Dua pelancaran pertama adalah 5 dan yang terakhir tidak.
- Yang pertama dan terakhir adalah 5 tetapi bukan yang tengah.
- Dua lontaran terakhir adalah 5 dan yang pertama tidak.
Mari ambil urutan pertama yang dijelaskan sebagai contoh dan hitung kebarangkalian kejadiannya. Kebarangkalian mendapat 5 kepala pada gulungan pertama adalah 1/6, dan juga pada yang kedua, kerana itu adalah acara bebas.
Kebarangkalian mendapat kepala lain selain 5 pada gulungan terakhir adalah 1 - 1/6 = 5/6. Oleh itu, kebarangkalian urutan ini keluar adalah hasil kebarangkalian:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023
Bagaimana dengan dua urutan yang lain? Mereka mempunyai kebarangkalian yang sama: 0.023.
Dan kerana kita mempunyai 3 urutan yang berjaya, kemungkinan besar adalah:
Contoh 2
Satu universiti mendakwa bahawa 80% pelajar lulusan pasukan bola keranjang kolej. Siasatan meneliti rekod akademik 20 pelajar dari pasukan bola keranjang yang mendaftar di universiti beberapa waktu lalu.
Daripada 20 pelajar ini, 11 menamatkan pengajian dan 9 putus sekolah.
Gambar 2. Hampir semua pelajar yang bermain untuk lulusan pasukan kolej. Sumber: Pixabay.
Sekiranya kenyataan universiti itu benar, bilangan pelajar yang bermain bola keranjang dan lulus, daripada 20, harus mempunyai taburan binomial dengan n = 20 dan p = 0.8. Berapakah kemungkinan bahawa 11 daripada 20 pemain akan lulus?
Penyelesaian
Dalam pengedaran binomial:
Contoh 3
Para penyelidik melakukan kajian untuk menentukan sama ada terdapat perbezaan yang signifikan dalam kadar kelulusan antara pelajar perubatan yang diterima melalui program khas dan pelajar perubatan yang diterima melalui kriteria kemasukan biasa.
Kadar kelulusan didapati 94% bagi doktor pelajar yang diterima masuk melalui program khas (berdasarkan data dari Jurnal Persatuan Perubatan Amerika).
Sekiranya 10 daripada program khas pelajar dipilih secara rawak, cari kebarangkalian sekurang-kurangnya 9 dari mereka lulus.
b) Adakah tidak biasa memilih 10 pelajar dari program khas secara rawak dan mendapati bahawa hanya 7 dari mereka yang telah lulus?
Penyelesaian
Kebarangkalian bahawa pelajar yang diterima melalui program khas akan lulus adalah 94/100 = 0.94. Kami memilih n = 10 pelajar dari program khas dan kami ingin mengetahui kebarangkalian sekurang-kurangnya 9 dari mereka akan lulus.
Nilai berikut kemudian diganti dalam taburan binomial:
b)
Rujukan
- Berenson, M. 1985. Statistik untuk Pengurusan dan Ekonomi. Interamericana SA
- MathWorks. Taburan Binomial. Dipulihkan dari: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistik untuk Pengurusan dan Ekonomi. Ke-3. edisi. Pengarang Grupo Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Statistik Asas Gunaan. Ke-2. Edisi.
- Triola, M. 2012. Elemen Statistik. Ke-11. Ed. Pearson Pendidikan.
- Wikipedia. Taburan Binomial. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org