TABURAN POISSON: FORMULA, PERSAMAAN, MODEL, SIFAT - DUDAS - 2024

The taburan Poisson adalah taburan kebarangkalian diskret, yang mana ia adalah mungkin untuk mengetahui kebarangkalian bahawa, dalam saiz sampel yang besar dan semasa tempoh tertentu, satu peristiwa yang kebarangkalian adalah kecil akan berlaku.

Sering kali, pengedaran Poisson dapat digunakan sebagai pengganti pengedaran binomial, selagi syarat berikut dipenuhi: sampel besar dan kebarangkalian kecil.

Rajah 1. Graf taburan Poisson untuk parameter yang berbeza. Sumber: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) membuat sebaran ini dengan namanya, sangat berguna ketika datang ke peristiwa yang tidak dapat diramalkan. Poisson menerbitkan hasilnya pada tahun 1837, sebuah karya penyiasatan mengenai kemungkinan berlakunya hukuman jenayah yang salah.

Kemudian penyelidik lain menyesuaikan pengedaran di kawasan lain, misalnya, jumlah bintang yang dapat dijumpai dalam jumlah ruang tertentu, atau kebarangkalian bahawa seorang askar akan mati akibat tendangan kuda.

Formula dan persamaan

Bentuk matematik taburan Poisson adalah seperti berikut:

- μ (juga kadang-kadang dilambangkan sebagai λ) adalah min atau parameter taburan

- Nombor Euler: e = 2.71828

- Kebarangkalian memperoleh y = k adalah P

- k adalah jumlah kejayaan 0, 1,2,3 …

- n adalah bilangan ujian atau peristiwa (ukuran sampel)

Pemboleh ubah rawak diskrit, seperti namanya, bergantung pada peluang dan hanya mengambil nilai diskrit: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Purata pengagihan diberikan oleh:

Varian σ, yang mengukur penyebaran data, adalah parameter penting yang lain. Untuk pengedaran Poisson adalah:

σ = μ

Poisson menentukan bahawa apabila n → ∞, dan p → 0, min μ - juga disebut nilai yang diharapkan - cenderung kepada pemalar:

-Peristiwa atau peristiwa yang dipertimbangkan adalah bebas antara satu sama lain dan berlaku secara rawak.

-Kemungkinan P peristiwa tertentu yang berlaku dalam jangka masa tertentu sangat kecil: P → 0.

-Kemungkinan lebih daripada satu peristiwa berlaku dalam selang waktu adalah 0.

-Nilai purata mendekati pemalar yang diberikan oleh: μ = np (n adalah ukuran sampel)

-Sebab penyebaran σ sama dengan μ, kerana menggunakan nilai yang lebih besar, kebolehubahan juga menjadi lebih besar.

-Peristiwa mesti diedarkan secara merata dalam selang masa yang digunakan.

-Peraturan nilai yang mungkin bagi peristiwa y ialah: 0,1,2,3,4….

-Jumlah pemboleh ubah i yang mengikuti taburan Poisson juga merupakan pemboleh ubah Poisson yang lain. Nilai purata adalah jumlah nilai purata pemboleh ubah ini.

Perbezaan dengan taburan binomial

Taburan Poisson berbeza dengan taburan binomial dengan cara penting berikut:

-Pembahagian binomial dipengaruhi oleh ukuran sampel n dan kebarangkalian P, tetapi taburan Poisson hanya dipengaruhi oleh min μ.

-Dalam taburan binomial, kemungkinan nilai pemboleh ubah rawak y adalah 0,1,2,…, N, sedangkan dalam taburan Poisson tidak ada had atas untuk nilai-nilai ini.

Contoh

Poisson pada mulanya menerapkan pengedarannya yang terkenal untuk kes-kes undang-undang, tetapi di peringkat perindustrian, salah satu kegunaannya yang paling awal adalah pembuatan bir. Dalam proses ini kultur ragi digunakan untuk penapaian.

Ragi terdiri daripada sel hidup, populasinya berubah dari masa ke masa. Dalam pembuatan bir perlu menambahkan jumlah yang diperlukan, oleh itu perlu mengetahui jumlah sel yang ada per unit isipadu.

Semasa Perang Dunia II penyebaran Poisson digunakan untuk mengetahui apakah Jerman sebenarnya mengarahkan London ke Calais, atau hanya menembak secara rawak. Ini penting bagi Sekutu untuk menentukan seberapa baik teknologi yang ada pada Nazi.

Aplikasi praktikal

Aplikasi pengedaran Poisson selalu merujuk kepada pengiraan masa atau pengiraan ruang. Dan kerana kebarangkalian kejadiannya kecil, ia juga dikenal sebagai "hukum kejadian langka."

Berikut adalah senarai peristiwa yang termasuk dalam salah satu kategori berikut:

-Pendaftaran zarah dalam peluruhan radioaktif, yang, seperti pertumbuhan sel ragi, adalah fungsi eksponensial.

-Jumlah lawatan ke laman web tertentu.

-Ketibaan orang ke talian untuk membayar atau dihadiri (teori giliran).

-Bilangan kereta yang melewati titik tertentu di jalan, dalam selang waktu tertentu.

Rajah 2. Bilangan kereta yang melalui titik kira-kira mengikuti taburan Poisson. Sumber: Pixabay.

-Mutasi yang dialami dalam rantai DNA tertentu setelah mendapat pendedahan kepada radiasi.

-Jumlah meteorit dengan diameter lebih daripada 1 m jatuh dalam setahun.

-Cacat per meter persegi kain.

-Kuantiti sel darah dalam 1 sentimeter padu.

- Panggilan seminit ke pertukaran telefon.

-Coklat coklat terdapat dalam 1 kg adunan kek.

-Bilangan pokok yang dijangkiti oleh parasit tertentu di hutan seluas 1 hektar.

Perhatikan bahawa pemboleh ubah rawak ini mewakili berapa kali peristiwa berlaku dalam jangka masa yang tetap (panggilan seminit ke pertukaran telefon), atau kawasan ruang tertentu (kecacatan kain per meter persegi).

Peristiwa-peristiwa ini, seperti yang telah ditetapkan, tidak bergantung pada masa yang telah berlalu sejak kejadian terakhir.

Mengira pengedaran binomial dengan taburan Poisson

Taburan Poisson adalah penghampiran yang baik untuk pengedaran binomial selagi:

-Saiz sampel besar: n ≥ 100

-Kebarangkalian p kecil: p ≤ 0.1

- μ adalah dalam urutan: np ≤ 10

Dalam kes sedemikian, pengedaran Poisson adalah alat yang sangat baik, kerana pengedaran binomial sukar diterapkan dalam kes-kes ini.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Kajian seismologi menentukan bahawa selama 100 tahun terakhir, terdapat 93 gempa bumi besar di seluruh dunia, dengan sekurang-kurangnya 6.0 pada skala Richter -logarithmic-. Katakan bahawa pengedaran Poisson adalah model yang sesuai dalam kes ini. Cari:

a) Purata kejadian gempa bumi besar setiap tahun.

b) Sekiranya P (y) adalah kebarangkalian gempa bumi berlaku pada tahun yang dipilih secara rawak, cari kebarangkalian berikut:

Ia jauh lebih rendah daripada P (2).

Hasilnya disenaraikan di bawah:

P (0) = 0.395, P (1) = 0.367, P (2) = 0.171, P (3) = 0.0529, P (4) = 0.0123, P (5) = 0.00229, P (6) = 0.000355, P (7) = 0.0000471.

Sebagai contoh, kita boleh mengatakan bahawa terdapat kemungkinan 39.5% bahawa tidak akan terjadi gempa besar pada tahun tertentu. Atau bahawa terdapat 5.29% daripada 3 gempa bumi besar yang berlaku pada tahun tersebut.

Penyelesaian c)

c) Kekerapan dianalisis, darab dengan n = 100 tahun:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1.23; 0.229; 0.0355 dan 0.00471.

Sebagai contoh:

- Frekuensi 39.5 menunjukkan bahawa 0 gempa besar terjadi dalam 39.5 dari 100 tahun, kita boleh mengatakan bahawa ia cukup dekat dengan hasil sebenar 47 tahun tanpa gempa besar.

Mari bandingkan hasil Poisson yang lain dengan hasil sebenar:

- Nilai yang diperoleh dari 36.7 bermaksud bahawa dalam jangka masa 37 tahun terdapat 1 gempa besar. Hasil sebenar adalah bahawa dalam 31 tahun terdapat 1 gempa besar, yang sesuai dengan model.

- 17.1 tahun dijangka dengan 2 gempa bumi besar dan diketahui bahawa dalam 13 tahun, yang merupakan nilai dekat, memang ada 2 gempa bumi besar.

Oleh itu model Poisson boleh diterima untuk kes ini.

Latihan 2

Satu syarikat menganggarkan bahawa jumlah komponen yang gagal sebelum mencapai 100 jam operasi mengikuti pengedaran Poisson. Sekiranya jumlah kegagalan rata-rata adalah 8 pada masa itu, cari kebarangkalian berikut:

a) Komponen itu gagal dalam 25 jam.

b) Kegagalan kurang dari dua komponen, dalam 50 jam.

c) Sekurang-kurangnya tiga komponen gagal dalam 125 jam.

Penyelesaian untuk)

a) Diketahui bahawa rata-rata kegagalan dalam 100 jam adalah 8, oleh itu dalam 25 jam seperempat kegagalan diharapkan, iaitu 2 kegagalan. Ini akan menjadi parameter μ.

Kebarangkalian 1 komponen gagal diminta, pemboleh ubah rawak adalah "komponen yang gagal sebelum 25 jam" dan nilainya adalah y = 1. Dengan menggantikan fungsi kebarangkalian:

Namun, persoalannya adalah kebarangkalian bahawa kurang dari dua komponen gagal dalam 50 jam, tidak tepat 2 komponen gagal dalam 50 jam, oleh itu kebarangkalian bahawa:

-Tiada gagal

- Kegagalan hanya 1

Parameter μ pengedaran dalam kes ini adalah:

μ = 8 + 2 = 10 kegagalan dalam 125 jam.

P (3 atau lebih komponen gagal) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Rujukan

1. MathWorks. Pengedaran Poisson. Dipulihkan dari: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Statistik untuk Pengurusan dan Ekonomi. Ke-3. edisi. Pengarang Grupo Iberoamérica.
3. Trek Stat. Ajar diri anda Statistik. Pembahagian Poisson. Dipulihkan dari: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Elemen Statistik. Ke-11. Ed. Pearson Pendidikan.
5. Wikipedia. Pengedaran Poisson. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org