TABURAN KEBARANGKALIAN DISKRIT: CIRI, LATIHAN - MATEMATIK - 2026

The taburan kebarangkalian diskret adalah fungsi yang penerima serah hak untuk setiap elemen X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, di mana X ialah pembolehubah rawak diskret diberikan dan S ruang sampel, kebarangkalian bahawa peristiwa tersebut berlaku. Fungsi f of X (S) yang didefinisikan sebagai f (xi) = P (X = xi) kadang-kadang dipanggil fungsi jisim kebarangkalian.

Jisim kebarangkalian ini secara umum ditunjukkan dalam bentuk jadual. Oleh kerana X adalah pemboleh ubah rawak diskrit, X (S) mempunyai bilangan peristiwa yang terbatas atau tak terhingga yang dapat dikira. Di antara taburan kebarangkalian diskrit yang paling biasa kita mempunyai taburan seragam, taburan binomial, dan taburan Poisson.

ciri

Fungsi taburan kebarangkalian mesti memenuhi syarat berikut:

Selanjutnya, jika X hanya mengambil sejumlah nilai yang terbatas (contohnya x1, x2,…, xn), maka p (xi) = 0 jika i> ny, oleh itu, siri keadaan b yang tidak terhingga menjadi siri terhingga.

Fungsi ini juga memenuhi sifat berikut:

Biarkan B menjadi peristiwa yang berkaitan dengan pemboleh ubah rawak X. Ini bermaksud bahawa B terkandung dalam X (S). Khususnya, anggaplah B = {xi1, xi2, …}. Oleh itu:

Dengan kata lain, kebarangkalian peristiwa B sama dengan jumlah kebarangkalian hasil individu yang berkaitan dengan B.

Dari ini kita dapat menyimpulkan bahawa jika a <b, peristiwa (X ≤ a) dan (a <X ≤ b) saling eksklusif dan, lebih jauh lagi, penyatuan mereka adalah peristiwa (X ≤ b), jadi kita mempunyai:

Jenis-Jenis

Pembahagian seragam melebihi titik n

Dikatakan bahawa pemboleh ubah rawak X mengikuti taburan yang dicirikan oleh keseragaman pada titik n jika setiap nilai diberikan kebarangkalian yang sama. Fungsi jisim kebarangkaliannya adalah:

Andaikan kita mempunyai eksperimen yang mempunyai dua hasil yang mungkin, itu adalah pelemparan koin yang kemungkinan hasilnya adalah kepala atau ekor, atau pilihan bilangan bulat yang hasilnya boleh menjadi bilangan genap atau ganjil; jenis eksperimen ini dikenali sebagai ujian Bernoulli.

Secara umum, dua kemungkinan hasil disebut kejayaan dan kegagalan, di mana p adalah kebarangkalian kejayaan dan 1-p adalah kemungkinan kegagalan. Kita dapat menentukan kebarangkalian kejayaan x dalam ujian Bernoulli yang saling bergantung antara satu sama lain dengan taburan berikut.

Taburan Binomial

Fungsi inilah yang menunjukkan kebarangkalian memperoleh kejayaan x dalam ujian Bernoulli bebas, yang kebarangkalian kejayaannya adalah hal. Fungsi jisim kebarangkaliannya adalah:

Grafik berikut menunjukkan fungsi jisim kebarangkalian untuk nilai yang berbeza dari parameter taburan binomial.

Sebaran berikut berhutang namanya kepada ahli matematik Perancis Simeon Poisson (1781-1840), yang memperolehnya sebagai had sebaran binomial.

Pengedaran Poisson

Pemboleh ubah rawak X dikatakan mempunyai taburan Poisson parameter λ apabila dapat mengambil nilai integer positif 0,1,2,3, … dengan kebarangkalian berikut:

Dalam ungkapan ini λ adalah bilangan purata yang sesuai dengan kejadian peristiwa untuk setiap unit waktu, dan x adalah berapa kali peristiwa itu berlaku.

Fungsi jisim kebarangkaliannya adalah:

Berikut adalah grafik yang mewakili fungsi jisim kebarangkalian untuk nilai yang berlainan dari parameter taburan Poisson.

Perhatikan bahawa, selagi jumlah kejayaan rendah dan jumlah ujian yang dilakukan pada taburan binomial tinggi, kita selalu dapat menghampiri pengedaran ini, kerana pengedaran Poisson adalah had sebaran binomial.

Perbezaan utama antara kedua pengedaran ini adalah bahawa, sementara binomial bergantung pada dua parameter, iaitu n dan p, Poisson hanya bergantung pada λ, yang kadang-kadang disebut intensitas pengedaran.

Sejauh ini kita hanya membincangkan pembahagian kebarangkalian untuk kes di mana percubaan yang berbeza saling bergantung antara satu sama lain; iaitu apabila keputusan seseorang tidak dipengaruhi oleh hasil yang lain.

Apabila berlaku percubaan yang tidak bebas, taburan hipergeometrik sangat berguna.

Taburan hipergeometrik

Biarkan N menjadi jumlah objek dari satu set yang terbatas, yang mana kita dapat mengenal pasti k dari beberapa perkara, sehingga membentuk subkumpulan K, yang pelengkapnya dibentuk oleh unsur-unsur Nk yang tersisa.

Sekiranya kita memilih objek n secara rawak, pemboleh ubah rawak X yang mewakili bilangan objek kepunyaan K dalam pilihan tersebut mempunyai taburan hipergeometrik parameter N, n dan k. Fungsi jisim kebarangkaliannya adalah:

Grafik berikut menunjukkan fungsi jisim kebarangkalian untuk nilai yang berlainan dari parameter taburan hipergeometrik.

Latihan yang diselesaikan

Latihan pertama

Anggaplah kebarangkalian tiub radio (diletakkan dalam jenis peralatan tertentu) untuk beroperasi lebih dari 500 jam adalah 0.2. Sekiranya 20 tiub diuji, berapakah kemungkinan k ini akan berjalan lebih dari 500 jam, k = 0, 1,2,…, 20?

Penyelesaian

Sekiranya X adalah bilangan tiub yang berfungsi lebih dari 500 jam, kita akan menganggap bahawa X mempunyai taburan binomial. Jadi

Dan juga:

Untuk k≥11, kebarangkaliannya kurang dari 0.001

Oleh itu, kita dapat melihat bagaimana kebarangkalian k ini berfungsi selama lebih dari 500 jam meningkat, sehingga mencapai nilai maksimumnya (dengan k = 4) dan kemudian mula berkurang.

Latihan kedua

Duit syiling dilambung 6 kali. Apabila hasilnya mahal, kita akan mengatakan bahawa ia adalah kejayaan. Apakah kebarangkalian dua kepala akan muncul tepat?

Penyelesaian

Untuk kes ini kita mempunyai n = 6 dan kebarangkalian kejayaan dan kegagalan adalah p = q = 1/2

Oleh itu, kebarangkalian dua kepala diberikan (iaitu, k = 2) adalah

Latihan ketiga

Apakah kebarangkalian untuk menjumpai sekurang-kurangnya empat kepala?

Penyelesaian

Untuk kes ini kita mempunyai k = 4, 5 atau 6

Latihan ketiga

Katakan bahawa 2% barang yang dihasilkan di kilang mengalami kerosakan. Cari kebarangkalian P bahawa terdapat tiga item yang rosak dalam sampel 100 item.

Penyelesaian

Untuk kes ini, kita dapat menerapkan pembahagian binomial untuk n = 100 dan p = 0.02 yang diperoleh sebagai hasilnya:

Walau bagaimanapun, kerana p kecil, kami menggunakan pendekatan Poisson dengan λ = np = 2. Jadi,

Rujukan

1. Kai Lai Chung. Teori Kebolehlaksanaan Elemen dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen. Matematik diskrit dan aplikasinya. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Kebarangkalian dan Aplikasi Statistik. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Menyelesaikan Masalah Matematik Diskrit. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Masalah Teori dan Kebarangkalian. McGRAW-HILL.