- pendaraban beberapa α sebenar oleh vektor v : α v memberi vektor lain dan milik V .

Visi artistik ruang vektor. Sumber: Pixabay

Untuk menunjukkan vektor kita menggunakan huruf tebal ( v adalah vektor), dan untuk skalar atau angka Huruf Yunani (α adalah angka).

Aksioma dan sifat

Agar ruang vektor diberikan, lapan aksioma berikut mesti dipegang:

1-komutabiliti: u + v = v + u

2-Transitiviti: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Terdapat vektor nol 0 sehingga 0 + v = v

4-Adanya kebalikan: kebalikan dari v adalah (- v ), kerana v + (- v ) = 0

5-Keagihan produk berkenaan dengan jumlah vektor: α ( u + v ) = α u + α v

6-Keagihan produk berkenaan dengan jumlah skalar: (α + β) v = α v + β v

7-Keterkaitan produk skalar: α (β v ) = (α β) v

8-Nombor 1 adalah unsur neutral kerana: 1 v = v

Contoh ruang vektor

Contoh 1

Vektor dalam satah (R²) adalah contoh ruang vektor. Vektor dalam satah adalah objek geometri yang mempunyai magnitud dan arah. Ini diwakili oleh segmen berorientasi yang termasuk dalam bidang tersebut dan dengan ukuran yang sebanding dengan besarnya.

Jumlah dua vektor dalam satah dapat didefinisikan sebagai operasi terjemahan geometri vektor kedua selepas yang pertama. Hasil penjumlahan adalah segmen berorientasi yang bermula dari asal yang pertama dan sampai ke hujung yang kedua.

Dalam rajah tersebut dapat dilihat bahawa jumlah dalam R² adalah komutatif.

Rajah 2. Vektor di satah membentuk ruang vektor. Sumber: buatan sendiri.

Produk nombor α dan vektor juga ditakrifkan. Sekiranya nombor itu positif, arah vektor asal disimpan dan ukurannya adalah α kali ganda dari vektor asal. Sekiranya nombor itu negatif, arahnya adalah sebaliknya, dan ukuran vektor yang dihasilkan adalah nilai mutlak nombor tersebut.

Vektor yang berlawanan dengan vektor v adalah - v = (- 1) v .

Vektor nol adalah titik dalam satah R², dan bilangan sifar kali vektor memberikan vektor nol.

Semua yang diperkatakan digambarkan dalam Gambar 2.

Contoh 2

Set P semua polinomial darjah kurang dari atau sama dengan dua, termasuk darjah sifar, membentuk satu set yang memenuhi semua aksioma ruang vektor.

Biarkan polinomial P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Jumlah dua polinomial ditakrifkan: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Jumlah polinomial yang tergolong dalam set P adalah komutatif dan transitif.

Polinomial nol milik set P adalah salah satu yang mempunyai semua pekali sama dengan sifar:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Jumlah skalar α oleh polinomial ditakrifkan sebagai: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Polinomial berlawanan P (x) ialah -P (x) = (-1) P (x).

Dari semua perkara di atas menunjukkan bahawa set P bagi semua polinomial darjah kurang dari atau sama dengan dua adalah ruang vektor.

Contoh 3

Set M bagi semua matriks lajur baris xn yang unsurnya adalah nombor nyata membentuk ruang vektor nyata, berkenaan dengan operasi penambahan matriks dan produk nombor oleh matriks.

Contoh 4

Kumpulan F fungsi berterusan pemboleh ubah nyata, membentuk ruang vektor, kerana mungkin untuk menentukan jumlah dua fungsi, penggandaan skalar dengan fungsi, fungsi nol dan fungsi simetri. Mereka juga memenuhi aksioma yang menjadi ciri ruang vektor.

Asas dan dimensi ruang vektor

Pangkalan

Asas ruang vektor didefinisikan sebagai satu set vektor bebas linier sehingga dari gabungan liniernya mana-mana vektor ruang vektor itu dapat dihasilkan.

Menggabungkan dua atau lebih vektor secara linear terdiri daripada mengalikan vektor dengan beberapa skalar dan kemudian menambahkannya secara vektor.

Sebagai contoh, dalam ruang vektor vektor dalam tiga dimensi yang dibentuk oleh R³, asas kanonik yang ditentukan oleh vektor unit (magnitud 1) i , j , k digunakan .

Di mana i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Ini adalah vektor Cartesian atau kanonik.

Mana-mana vektor V milik R³ ditulis sebagai V = a i + b j + c k , yang merupakan gabungan linear dari vektor asas i , j , k . A skalar atau nombor a, b, c dikenali sebagai komponen Cartesian daripada V .

Dikatakan juga bahawa vektor dasar ruang vektor membentuk set penjana ruang vektor.

Dimensi

Dimensi ruang vektor adalah nombor kardinal asas vektor untuk ruang itu; iaitu, bilangan vektor yang membentuk asas tersebut.

Kardinal ini adalah bilangan maksimum vektor bebas linear dari ruang vektor itu, dan pada masa yang sama bilangan vektor minimum yang membentuk satu set penjana ruang tersebut.

Asas ruang vektor tidak unik, tetapi semua asas ruang vektor yang sama mempunyai dimensi yang sama.

Ruang bawah vektor

Ruang bawah vektor S ruang vektor V adalah subkumpulan V di mana operasi yang sama didefinisikan seperti di V dan memenuhi semua aksioma ruang vektor. Oleh itu, ruang bawah S juga akan menjadi ruang vektor.

Contoh ruang bawah vektor adalah vektor yang tergolong dalam satah XY. Ruang bawah ini adalah subkumpulan ruang vektor dimensi yang lebih besar daripada set vektor milik ruang tiga dimensi XYZ.

Contoh lain ruang vektor S1 ruang vektor S yang dibentuk oleh semua matriks 2 × 2 dengan elemen sebenar ditakrifkan di bawah:

Sebaliknya, S2 yang ditakrifkan di bawah, walaupun merupakan subset dari S, tidak membentuk ruang bawah vektor:

Latihan yang diselesaikan

-Latihan 1

Biarkan vektor V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) dan V3 = (0, 0, 3) dalam R³.

a) Tunjukkan bahawa mereka bebas secara linear.

b) Tunjukkan bahawa mereka membentuk dasar dalam R³, kerana setiap rangkap tiga (x, y, z) dapat ditulis sebagai gabungan linear V1, V2, V3.

c) Cari komponen triple V = (-3,5,4) di pangkalan V1 , V2 , V3 .

Penyelesaian

Kriteria untuk menunjukkan kebebasan linier terdiri dalam mewujudkan set persamaan berikut dalam α, β dan γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Sekiranya satu-satunya penyelesaian untuk sistem ini adalah α = β = γ = 0 maka vektor bebas secara linear, jika tidak.

Untuk mendapatkan nilai α, β dan γ, kami mencadangkan sistem persamaan berikut:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Yang pertama mengarah ke α = 0, yang kedua α = -2 ∙ β tetapi kerana α = 0 maka β = 0. Persamaan ketiga menyiratkan bahawa γ = (- 1/3) β, tetapi kerana β = 0 maka γ = 0.

Jawapan kepada

Disimpulkan bahawa ia adalah sekumpulan vektor bebas linear dalam R³.

Jawapan b

Sekarang mari kita tuliskan rangkap tiga (x, y, z) sebagai gabungan linear V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Di mana anda mempunyai:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Yang pertama menunjukkan α = x, yang kedua β = (yx) / 2 dan yang ketiga γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Dengan cara ini, kita telah menjumpai penjana α, β dan γ bagi sebarang triplet Ret

Jawapan c

Mari kita lanjutkan untuk mencari komponen triple V = (-3,5,4) di pangkalan V1 , V2 , V3 .

Kami menggantikan nilai yang sesuai dalam ungkapan yang terdapat di atas untuk penjana.

Dalam kes ini kita mempunyai: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Itu dia:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Oleh yang terakhir:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Kami menyimpulkan bahawa V1, V2, V3 menjadi asas dalam ruang vektor R³ dimensi 3.

-Latihan 2

Ungkapkan polinomial P (t) = t² + 4t -3 sebagai gabungan linear P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t dan P3 (t) = t + 3.

Penyelesaian

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

di mana nombor x, y, z akan ditentukan.

Dengan mengalikan dan mengelompokkan istilah dengan darjah yang sama dalam t, kita memperoleh:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Yang membawa kita ke sistem persamaan berikut:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Penyelesaian sistem persamaan ini adalah:

x = -3, y = 2, z = 4.

Itu dia:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Latihan 3

Tunjukkan bahawa vektor v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) dan v3 = (2, 1, -1, 1) dari R⁴ bebas secara linear.

Penyelesaian

Kami menggabungkan tiga vektor v1 , v2 , v3 secara linier dan menuntut bahawa gabungan itu menambah unsur nol R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Maksudnya,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Ini membawa kita ke sistem persamaan berikut:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Menolak yang pertama dan keempat kita mempunyai: -a + c = 0 yang menyiratkan a = c.

Tetapi jika kita melihat persamaan ketiga, kita mempunyai a = -c. Satu-satunya cara yang dipegang a = c = (- c) adalah c menjadi 0 dan oleh itu a juga akan menjadi 0.

a = c = 0

Sekiranya kita memasukkan hasil ini ke persamaan pertama maka kita menyimpulkan bahawa b = 0.

Akhirnya a = b = c = 0, sehingga dapat disimpulkan bahawa vektor v1, v2 dan v3 bebas linear.

Rujukan

1. Lipschutz, S. 1993. Aljabar linear. Edisi kedua. McGraw-Hill. 167-198.