HARAPAN MATEMATIK: FORMULA, SIFAT, CONTOH, LATIHAN - DUDAS - 2025

The jangkaan matematik atau yang dijangkakan nilai pemboleh ubah rawak X, ditandakan sebagai E (X) dan ditakrifkan sebagai jumlah produk antara kebarangkalian peristiwa rawak berlaku dan nilai acara tersebut.

Dalam bentuk matematik dinyatakan sebagai berikut:

Gambar 1. Harapan matematik banyak digunakan di pasaran saham dan insurans. Sumber: Pixabay.

Di mana x _i adalah nilai peristiwa dan P (x _i ) kebarangkalian kejadiannya. Penjumlahan merangkumi semua nilai yang diakui oleh X. Dan jika ini adalah terhingga, jumlah yang ditunjukkan akan berubah menjadi nilai E (X), tetapi jika jumlahnya tidak menyatu, maka pembolehubah tersebut tidak mempunyai nilai yang diharapkan.

Apabila ia adalah pemboleh ubah berterusan, pemboleh ubah boleh mempunyai nilai tak terbatas dan integral menggantikan penjumlahan:

Di sini f (x) mewakili fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Secara umum, jangkaan matematik (yang merupakan purata berwajaran) tidak sama dengan min atau purata aritmetik, melainkan kita berurusan dengan pembahagian diskrit di mana setiap peristiwa sama besar kemungkinannya. Kemudian, dan hanya selepas itu:

Di mana n adalah bilangan nilai yang mungkin.

Konsep ini sangat berguna di pasaran kewangan dan syarikat insurans, di mana kepastian sering kurang tetapi kemungkinan ada.

Sifat jangkaan matematik

Antara sifat terpenting dalam jangkaan matematik, yang berikut menonjol:

- Tanda: jika X positif, maka E (X) juga positif.

- Nilai pemalar yang diharapkan: nilai jangkaan bagi pemalar sebenar k ialah pemalar.

- Linearitas dalam jumlah: jangkaan pemboleh ubah rawak yang seterusnya jumlah dua pemboleh ubah X dan Y adalah jumlah jangkaan.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Pendaraban dengan pemalar : jika pemboleh ubah rawak berbentuk kX, di mana k adalah pemalar (nombor nyata), ia keluar di luar nilai yang diharapkan.

- Nilai produk yang diharapkan dan kebebasan antara pemboleh ubah : jika pemboleh ubah rawak adalah produk pemboleh ubah rawak X dan Y, yang tidak bersandar, maka nilai jangkaan produk adalah produk dari nilai yang diharapkan.

Secara amnya, jika Y = g (X):

- Susun dalam nilai yang diharapkan: jika X ≤ Y, maka:

Oleh kerana terdapat nilai yang diharapkan dari masing-masing.

Jangkaan matematik dalam pertaruhan

Ketika ahli astronomi terkenal Christian Huygens (1629-1695) tidak memerhatikan langit, dia mengabdikan dirinya untuk belajar, antara disiplin lain, kebarangkalian dalam permainan peluang. Dialah yang memperkenalkan konsep harapan matematik dalam karya 1656nya yang berjudul: Berpikir tentang permainan peluang.

Gambar 2. Christiaan Huygens (1629-1625) adalah seorang saintis yang cemerlang dan serba boleh, kepada siapa kita berhutang konsep nilai yang diharapkan.

Huygens mendapati bahawa taruhan dapat dikelaskan dalam tiga cara, berdasarkan nilai yang diharapkan:

-Games dengan kelebihan: E (X)> 0

- Pertaruhan adil: E (X) = 0

-Game pada kerugian: E (X) <0

Masalahnya adalah bahawa dalam permainan kebetulan jangkaan matematik tidak selalu mudah dikira. Dan apabila anda boleh, hasilnya kadang-kadang mengecewakan bagi mereka yang tertanya-tanya sama ada mahu bertaruh atau tidak.

Mari cuba pertaruhan sederhana: kepala atau ekor dan yang kalah membayar kopi $ 1. Berapakah jangkaan nilai pertaruhan ini?

Nah, kebarangkalian kepala digulung adalah ½, sama dengan ekor. Pemboleh ubah rawak adalah untuk memenangi $ 1 atau kehilangan $ 1, keuntungan dilambangkan dengan tanda + dan kekalahan dengan tanda -.

Kami menyusun maklumat dalam jadual:

Kami menggandakan nilai lajur: 1. ½ = ½ dan (-1). ½ = -½ dan akhirnya hasilnya ditambah. Jumlahnya adalah 0 dan ini adalah permainan yang adil, di mana peserta diharapkan tidak akan menang atau kalah.

Rolet Perancis dan loteri adalah permainan kecacatan di mana kebanyakan penjudi kalah. Kemudian ada pertaruhan yang sedikit lebih kompleks di bahagian latihan yang diselesaikan.

Contoh

Berikut adalah beberapa contoh mudah di mana konsep jangkaan matematik adalah intuitif dan menjelaskan konsepnya:

Contoh 1

Kita akan mulakan dengan membuat mati yang jujur. Berapakah jangkaan nilai pelancaran? Jika mati jujur ​​dan mempunyai 6 kepala, kebarangkalian nilai apa pun (X = 1, 2, 3… 6) akan bergulir adalah 1/6, seperti ini:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3.5

Gambar 3. Dalam roll mati yang jujur, nilai yang diharapkan bukanlah nilai yang mungkin. Sumber: Pixabay.

Nilai yang diharapkan dalam kes ini sama dengan rata-rata, kerana setiap wajah mempunyai kebarangkalian yang sama untuk keluar. Tetapi E (X) bukan nilai yang mungkin, kerana tidak ada kepala yang bernilai 3,5. Ini sangat mungkin dilakukan dalam sebilangan pengedaran, walaupun dalam kes ini hasilnya tidak banyak membantu si penjudi.

Mari kita lihat contoh lain dengan melemparkan dua syiling.

Contoh 2

Dua syiling jujur ​​dilemparkan ke udara dan kami menentukan pemboleh ubah rawak X sebagai bilangan kepala yang dilancarkan. Kejadian yang boleh berlaku adalah seperti berikut:

-Tiada kepala muncul: 0 kepala sama dengan 2 ekor.

- Ia keluar 1 kepala dan 1 setem atau ekor.

-Dua wajah keluar.

Biarkan C menjadi kepala dan T segel, ruang sampel yang menggambarkan peristiwa ini adalah berikut:

S _m = {Seal-Seal; Muka Segel; Penutup Muka; Muka-Muka} = {TT, TC, CT, CC}

Kebarangkalian kejadian yang berlaku adalah:

P (X = 0) = P (T) .P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C) .P (C) = ½. ½ = ¼

Jadual dibina dengan nilai yang diperoleh:

Menurut definisi yang diberikan pada awalnya, jangkaan matematik dikira sebagai:

Nilai pengganti:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Hasil ini ditafsirkan sebagai berikut: jika seseorang mempunyai cukup waktu untuk melakukan sebilangan besar eksperimen dengan melemparkan kedua-dua syiling itu, dia diharapkan dapat mengetuai setiap lemparan.

Namun, kita tahu bahawa pelepasan dengan 2 label sangat mungkin.

Latihan diselesaikan

Dalam melemparkan dua syiling jujur, pertaruhan berikut dibuat: jika 2 kepala keluar anda menang $ 3, jika 1 kepala keluar anda menang $ 1, tetapi jika dua setem keluar anda perlu membayar $ 5. Hitung jangkaan kemenangan pertaruhan.

Gambar 4. Bergantung pada pertaruhan, jangkaan matematik berubah ketika melemparkan dua duit syiling yang jujur. Sumber: Pixabay.

Penyelesaian

Pemboleh ubah rawak X adalah nilai yang diambil wang dalam pertaruhan dan kebarangkalian dikira dalam contoh sebelumnya, oleh itu jadual pertaruhan adalah:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Oleh kerana nilai yang dijangkakan adalah 0, ini adalah permainan yang adil, jadi di sini si penjudi diharapkan tidak akan menang dan juga tidak akan kalah. Walau bagaimanapun, jumlah pertaruhan boleh diubah untuk menjadikan taruhan sebagai permainan cacat atau permainan cacat.

Rujukan

1. Brase, C. 2009. Statistik yang dapat difahami. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Pengenalan konsep jangkaan nilai atau jangkaan matematik pemboleh ubah rawak. Dipulihkan dari: personal.us.es.
3. Statistik LibreTeks. Nilai yang diharapkan dari Pemboleh ubah Rawak Discrete. Dipulihkan dari: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementary Statistics. Ke-11. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Kebarangkalian dan Statistik untuk Sains dan Kejuruteraan. 8hb. Edisi. Pendidikan Pearson.