ACARA BEBAS: DEMONSTRASI, CONTOH, LATIHAN - DUDAS - 2026

Dua peristiwa tidak bersandar , apabila kebarangkalian salah satu daripadanya terjadi tidak dipengaruhi oleh fakta bahawa kejadian lain berlaku -atau tidak berlaku-, mengingat peristiwa-peristiwa ini berlaku secara rawak.

Keadaan ini berlaku setiap kali proses yang menghasilkan hasil peristiwa 1, tidak mengubah dengan cara apa pun kemungkinan kemungkinan hasil peristiwa 2. Tetapi jika ini tidak berlaku, peristiwa tersebut dikatakan bergantung.

Gambar 1. Kelereng berwarna sering digunakan untuk menjelaskan kebarangkalian kejadian bebas. Sumber: Pixabay.

Keadaan acara bebas adalah seperti berikut: Katakan dua dadu enam sisi digulung, satu biru dan yang lain berwarna merah jambu. Kebarangkalian bahawa 1 akan bergolek pada die biru tidak bergantung kepada kebarangkalian bahawa 1 akan bergolek-atau tidak bergulir- pada die merah jambu.

Kes lain dari dua peristiwa bebas ialah membuang duit syiling dua kali berturut-turut. Hasil lontaran pertama tidak akan bergantung pada keputusan lontaran kedua dan sebaliknya.

Bukti dua acara bebas

Untuk mengesahkan bahawa dua peristiwa adalah bebas, kami akan menentukan konsep kebarangkalian bersyarat dari satu peristiwa yang berkaitan dengan yang lain. Untuk ini, adalah perlu untuk membezakan antara acara eksklusif dan acara inklusif:

Dua peristiwa adalah eksklusif sekiranya nilai atau elemen peristiwa A yang mungkin tidak mempunyai persamaan dengan nilai atau elemen peristiwa B.

Oleh itu, dalam dua acara eksklusif, himpunan persimpangan A dengan B adalah kekosongan:

Tidak termasuk acara: A∩B = Ø

Sebaliknya, jika peristiwa itu inklusif, mungkin berlaku akibat peristiwa A juga bertepatan dengan peristiwa B yang lain, dengan A dan B adalah peristiwa yang berbeza. Dalam kes ini:

Acara inklusif: A∩B ≠ Ø

Ini membawa kita untuk menentukan kebarangkalian bersyarat dari dua peristiwa inklusif, dengan kata lain, kebarangkalian terjadinya peristiwa A, setiap kali peristiwa B terjadi:

P (A | B) = P (A∩B) / P (B)

Oleh itu, kebarangkalian bersyarat adalah kebarangkalian bahawa A dan B akan berlaku dibahagi dengan kebarangkalian bahawa B akan berlaku. Kebarangkalian bahawa B akan berlaku bersyarat pada A juga dapat ditakrifkan:

P (B | A) = P (A∩B) / P (A)

Kriteria untuk mengetahui sama ada dua peristiwa adalah bebas

Seterusnya kami akan memberikan tiga kriteria untuk mengetahui sama ada dua acara adalah bebas. Cukuplah salah satu dari ketiga itu dipenuhi, sehingga kemerdekaan acara ditunjukkan.

1.- Sekiranya kebarangkalian A berlaku setiap kali B berlaku sama dengan kebarangkalian A, maka itu adalah peristiwa bebas:

P (A | B) = P (A) => A tidak bergantung kepada B

2.- Sekiranya kebarangkalian B berlaku diberikan A, sama dengan kebarangkalian B, maka ada peristiwa bebas:

P (B | A) = P (B) => B tidak bergantung kepada A

3.- Sekiranya kebarangkalian A dan B berlaku sama dengan produk kebarangkalian A berlaku dan kebarangkalian B berlaku, maka itu adalah peristiwa bebas. Sebaliknya juga berlaku.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A dan B adalah peristiwa bebas.

Contohnya peristiwa bebas

Sol getah yang dihasilkan oleh dua pembekal berbeza dibandingkan. Sampel dari setiap pengeluar menjalani beberapa ujian yang dapat disimpulkan sama ada mengikut spesifikasi atau tidak.

Rajah 2. Pelbagai tapak kaki getah. Sumber: Pixabay.

Ringkasan yang dihasilkan dari 252 sampel adalah seperti berikut:

Pengilang 1; 160 memenuhi spesifikasi; 8 tidak memenuhi spesifikasi.

Pengilang 2; 80 memenuhi spesifikasi; 4 tidak memenuhi spesifikasi.

Acara A: "bahawa sampel adalah dari pengeluar 1".

Peristiwa B: "bahawa sampel memenuhi spesifikasi."

Kami ingin mengetahui sama ada peristiwa A dan B ini bebas atau tidak, yang mana kami menerapkan salah satu daripada tiga kriteria yang disebutkan di bahagian sebelumnya.

Kriteria: P (B | A) = P (B) => B tidak bergantung kepada A

P (B) = 240/252 = 0.9523

P (B | A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

Kesimpulan: Acara A dan B tidak bersendirian.

Katakan peristiwa C: "bahawa sampel berasal dari pengeluar 2"

Adakah peristiwa B akan bebas daripada peristiwa C?

Kami menerapkan salah satu kriteria.

Kriteria: P (B | C) = P (B) => B tidak bergantung kepada C

P (B | C) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P (B)

Oleh itu, berdasarkan data yang ada, kebarangkalian bahawa sol getah yang dipilih secara rawak memenuhi spesifikasi tidak bergantung kepada pengeluarnya.

Tukarkan Peristiwa Bebas ke Peristiwa Bergantung

Mari kita lihat contoh berikut untuk membezakan antara peristiwa bergantung dan bebas.

Kami mempunyai beg dengan dua bola coklat putih dan dua bola hitam. Kebarangkalian mendapatkan bola putih atau bola hitam adalah sama pada percubaan pertama.

Katakan hasilnya adalah bola isyarat. Sekiranya bola yang ditarik diganti di dalam beg, keadaan semula diulang: dua bola putih dan dua bola hitam.

Jadi dalam acara kedua atau seri, kemungkinan menggambar bola isyarat atau bola hitam sama dengan yang pertama kali. Oleh itu, mereka adalah acara bebas.

Tetapi jika bola isyarat yang ditarik pada acara pertama tidak diganti kerana kami telah memakannya, dalam undian kedua ada kemungkinan lebih besar untuk menarik bola hitam. Kebarangkalian bahawa pengekstrakan kedua akan memperoleh warna putih lagi berbeza dengan peristiwa pertama dan dikondisikan oleh hasil sebelumnya.

Latihan

- Latihan 1

Dalam kotak kami meletakkan 10 guli dari gambar 1, yang mana 2 berwarna hijau, 4 berwarna biru dan 4 berwarna putih. Dua guli akan dipilih secara rawak, satu pertama dan satu kemudian. Ia diminta untuk mencari
kebarangkalian bahawa tidak satu pun dari mereka berwarna biru, dalam keadaan berikut:

a) Dengan penggantian, iaitu mengembalikan guli pertama sebelum pilihan kedua ke kotak. Nyatakan sama ada peristiwa itu bebas atau bergantung.

b) Tanpa penggantian, sedemikian rupa sehingga guli pertama yang diekstrak ditinggalkan di luar kotak semasa membuat pilihan kedua. Begitu juga, nyatakan sama ada peristiwa itu bergantung atau tidak.

Penyelesaian untuk

Kami mengira kebarangkalian bahawa guli pertama yang diekstrak tidak berwarna biru, iaitu 1 tolak kebarangkalian bahawa ia berwarna biru P (A), atau secara langsung bahawa ia tidak berwarna biru, kerana ia berwarna hijau atau putih:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (jangan biru) = 1 - (2/5) = 3/5

Wahai:

P (hijau atau putih) = 6/10 = 3/5.

Sekiranya marmar yang diekstrak dikembalikan, semuanya seperti sebelumnya. Dalam cabutan kedua ini terdapat juga kebarangkalian 3/5 bahawa lukisan marmar tidak berwarna biru.

P (bukan biru, tidak biru) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Acara tidak bergantung, kerana marmar yang diekstrak dikembalikan ke kotak dan acara pertama tidak mempengaruhi kebarangkalian kejadian yang kedua.

Penyelesaian b

Untuk pengekstrakan pertama, teruskan seperti di bahagian sebelumnya. Kebarangkalian ia tidak berwarna biru adalah 3/5.

Untuk pengekstrakan kedua, kami mempunyai 9 biji guli di dalam beg, kerana yang pertama tidak kembali, tetapi tidak berwarna biru, oleh itu di dalam beg terdapat 9 biji guli dan 5 tidak berwarna biru:

P (hijau atau putih) = 5/9.

P (tidak ada yang berwarna biru) = P (pertama tidak berwarna biru). P (kedua tidak biru / pertama tidak biru) = (3/5). (5/9) = 1/3

Dalam kes ini, mereka bukan acara bebas, kerana peristiwa pertama menjadikan peristiwa kedua.

- Latihan 2

Sebuah kedai mempunyai 15 baju dalam tiga saiz: 3 kecil, 6 sederhana dan 6 besar. 2 baju dipilih secara rawak.

a) Apakah kebarangkalian kedua-dua kemeja yang dipilih itu kecil, jika satu baju diambil terlebih dahulu dan tanpa mengganti baju lain di lot?

b) Apakah kebarangkalian kedua-dua kemeja yang dipilih itu kecil, jika yang pertama digambar, diganti dalam kelompok, dan yang kedua dikeluarkan?

Penyelesaian untuk

Berikut adalah dua acara:

Acara A: baju pertama yang dipilih adalah kecil

Acara B: baju kedua dipilih kecil

Kebarangkalian peristiwa A berlaku adalah: P (A) = 3/15

Kebarangkalian peristiwa B berlaku adalah: P (B) = 2/14, kerana baju sudah ditanggalkan (ada 14 yang tersisa), tetapi juga peristiwa A yang ingin dipenuhi, baju pertama yang dikeluarkan mesti kecil dan oleh itu kedua-duanya berukuran 2 kecil.

Iaitu, kebarangkalian bahawa A dan B akan menjadi hasil kebarangkalian adalah:

P (A dan B) = P (B | A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0.029

Oleh itu, kebarangkalian peristiwa A dan B berlaku adalah sama dengan produk bahawa peristiwa A berlaku, kali kebarangkalian peristiwa B berlaku jika peristiwa A.

Perlu diingatkan bahawa:

P (B | A) = 2/14

Kebarangkalian peristiwa B berlaku tidak kira sama ada peristiwa A berlaku atau tidak akan:

P (B) = (2/14) jika yang pertama kecil, atau P (B) = 3/14 jika yang pertama tidak kecil.

Secara umum, perkara berikut dapat disimpulkan:

P (B | A) tidak sama dengan P (B) => B tidak bebas dari A

Penyelesaian b

Sekali lagi terdapat dua peristiwa:

Acara A: baju pertama yang dipilih adalah kecil

Acara B: baju kedua dipilih kecil

P (A) = 3/15

Ingatlah bahawa apa pun hasilnya, baju yang diambil dari kumpulan diganti dan sekali lagi baju dilukis secara rawak. Kebarangkalian peristiwa B berlaku, jika peristiwa A berlaku adalah:

P (B | A) = 3/15

Kebarangkalian peristiwa A dan B berlaku adalah:

P (A dan B) = P (B | A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0.04

Perhatikan bahawa:

P (B | A) sama dengan P (B) => B tidak bergantung kepada A.

- Latihan 3

Pertimbangkan dua peristiwa bebas A dan B. Telah diketahui bahawa kebarangkalian peristiwa A berlaku adalah 0.2 dan kebarangkalian peristiwa B berlaku adalah 0.3. Apakah kebarangkalian kedua-dua peristiwa itu berlaku?

Penyelesaian 2

Mengetahui bahawa peristiwa itu tidak bergantung, diketahui bahawa kebarangkalian kedua-dua peristiwa itu berlaku adalah hasil dari kebarangkalian individu. Maksudnya,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0.2 * 0.3 = 0.06

Perhatikan bahawa ini adalah kebarangkalian yang jauh lebih kecil daripada kebarangkalian bahawa setiap peristiwa akan berlaku tanpa mengira hasil yang lain. Atau dengan cara lain, jauh lebih rendah daripada kemungkinan individu.

Rujukan

1. Berenson, M. 1985. Statistik untuk pengurusan dan ekonomi. Interamericana SA 126-127.
2. Institut Monterrey. Kebarangkalian kejadian bebas. Dipulihkan dari: monterreyinstitute.org
3. Guru matematik. Acara bebas. Dipulihkan dari: youtube.com
4. Superprof. Jenis peristiwa, peristiwa bergantung. Dipulihkan dari: superprof.es
5. Tutor maya. Kebarangkalian. Dipulihkan dari: vitutor.net
6. Wikipedia. Kemerdekaan (kebarangkalian). Dipulihkan dari: wikipedia.com