FAKTOR UMUM DENGAN PENGELOMPOKAN ISTILAH: CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2026

The faktor yang sama dengan mengumpulkan istilah adalah prosedur algebra yang membolehkan anda untuk menulis beberapa ungkapan algebra dalam bentuk faktor. Untuk mencapai matlamat ini, anda mesti terlebih dahulu mengelompokkan ungkapan dengan betul dan memerhatikan bahawa setiap kumpulan yang dibentuk mempunyai, sebenarnya, faktor yang sama.

Menerapkan teknik dengan betul memerlukan beberapa latihan, tetapi dalam masa yang singkat anda menguasainya. Mari kita lihat contoh ilustrasi yang dijelaskan langkah demi langkah. Kemudian pembaca dapat mengaplikasikan apa yang telah mereka pelajari dalam setiap latihan yang akan muncul kemudian.

Gambar 1. Mengambil faktor sepunya dengan mengelompokkan istilah menjadikan kerja dengan ungkapan algebra lebih mudah. Sumber: Pixabay.

Sebagai contoh, anggap anda perlu memperhitungkan ungkapan berikut:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Ungkapan algebra ini terdiri daripada 4 monomial atau istilah, dipisahkan dengan tanda + dan -, iaitu:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Melihat dengan teliti, x adalah perkara biasa bagi tiga yang pertama, tetapi bukan yang terakhir, sedangkan y adalah umum untuk yang kedua dan keempat, dan z adalah biasa untuk yang ketiga dan keempat.

Jadi pada prinsipnya tidak ada faktor umum untuk keempat istilah tersebut pada waktu yang sama, tetapi jika mereka dikelompokkan seperti yang akan ditunjukkan di bahagian berikutnya, ada kemungkinan seseorang akan muncul yang membantu menulis ungkapan sebagai hasil dua atau lebih faktor.

Contoh

Faktorkan ungkapan: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Langkah 1 : Kumpulan

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Langkah 2: Cari faktor sepunya bagi setiap kumpulan

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Saya penting : tanda negatif juga merupakan faktor biasa yang mesti diambil kira.

Sekarang perhatikan bahawa tanda kurung (x + y) diulang dalam dua istilah yang diperoleh dengan mengelompokkan. Itulah faktor biasa yang dicari.

Langkah 3: Faktorkan keseluruhan ungkapan

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Dengan hasil sebelumnya, matlamat pemfaktoran telah tercapai, yang tidak lain adalah mengubah ungkapan algebra berdasarkan penambahan dan pengurangan istilah, menjadi produk dua atau lebih faktor, dalam contoh kami, iaitu: (x + y) dan (2x - 3z).

Soalan penting mengenai faktor sepunya dengan mengelompokkan

Soalan 1 : Bagaimana untuk mengetahui bahawa hasilnya betul?

Jawapan : Harta pengagihan diterapkan pada hasil yang diperoleh dan setelah mengurangkan dan mempermudah, ungkapan yang diperoleh harus sesuai dengan yang asli, jika tidak, ada kesalahan.

Dalam contoh sebelumnya, kami bekerja secara terbalik dengan hasilnya, untuk memastikan ia betul:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Oleh kerana urutan tambahan tidak mengubah jumlahnya, setelah menggunakan harta pengagihan semua syarat asal dikembalikan, tanda termasuk, oleh itu, pemfaktorannya betul.

Soalan 2: Mungkinkah dikelompokkan dengan cara lain?

Jawapan: Terdapat ungkapan algebra yang membenarkan lebih daripada satu bentuk pengelompokan dan yang lain tidak. Dalam contoh yang dipilih, pembaca boleh mencuba sendiri kemungkinan lain, misalnya mengelompokkan seperti ini:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Dan anda boleh memastikan bahawa hasilnya sama seperti yang diperoleh di sini. Mencari pengumpulan yang optimum adalah perkara praktik.

Soalan 3: Mengapa perlu mengambil faktor sepunya dari ungkapan algebra?

Jawapan : Kerana terdapat aplikasi di mana ungkapan faktor membuat pengiraan lebih mudah. Sebagai contoh, andaikan anda mahu menetapkan 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy sama dengan 0. Apakah kemungkinan?

Untuk menjawab soalan ini, versi faktor lebih berguna daripada perkembangan asalnya dari segi. Ia dinyatakan seperti ini:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Satu kemungkinan bahawa ungkapan bernilai 0 ialah x = -y, tanpa mengira nilai z. Dan yang lain ialah x = (3/2) z, tanpa mengira nilai y.

Latihan

- Latihan 1

Ekstrak faktor umum ungkapan berikut dengan mengelompokkan istilah:

ax + ay + bx + oleh

Penyelesaian

Dua yang pertama dikumpulkan, dengan faktor umum "a" dan dua yang terakhir dengan faktor umum "b":

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Setelah ini selesai, faktor umum baru dinyatakan, iaitu (x + y), sehingga:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Cara lain untuk berkumpulan

Ungkapan ini menyokong cara pengelompokan lain. Mari lihat apa yang berlaku jika istilah disusun semula dan kumpulan dibuat dengan yang mengandungi x dan yang lain dengan yang mengandungi y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Dengan cara ini faktor umum baru adalah (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Yang membawa kepada hasil yang sama dari pengelompokan pertama yang diuji.

- Latihan 2

Ungkapan algebra berikut diperlukan untuk ditulis sebagai hasil daripada dua faktor:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Penyelesaian

Ungkapan ini mengandungi 6 istilah. Mari cuba kumpulan pertama dan keempat, kedua dan ketiga dan akhirnya kelima dan keenam:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Sekarang setiap kurungan diambil kira:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

Pada pandangan pertama nampaknya keadaannya rumit, tetapi pembaca tidak boleh putus asa, kerana kita akan menulis semula istilah terakhir:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Dua istilah terakhir sekarang mempunyai faktor yang sama, iaitu (3b-a), sehingga mereka dapat difaktorkan. Adalah sangat penting untuk tidak melupakan istilah pertama ² (3a - 1), yang mesti terus menemani semuanya sebagai tambahan, walaupun anda tidak berusaha dengannya:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Ungkapan telah dikurangkan menjadi dua istilah dan faktor umum baru ditemui pada yang terakhir, iaitu "b". Sekarang tetap:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Faktor biasa yang akan muncul ialah 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Atau jika anda lebih suka tanpa tanda kurung:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Bolehkah pembaca mencari kaedah pengelompokan lain yang membawa kepada hasil yang sama?

Rajah 2. Latihan pemfaktoran yang dicadangkan. Sumber: F. Zapata.

Rujukan

1. Baldor, A. 1974. Algebra Elemen. Budaya Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dewan Prentice.
3. Kes utama pemfaktoran. Dipulihkan dari: julioprofe.net.
4. UNAM. Matematik Asas: Pemfaktoran dengan pengelompokan istilah. Fakulti Perakaunan dan Pentadbiran.
5. Zill, D. 1984. Algebra dan Trigonometri. Bukit MacGraw.