PECAHAN SEPARA: KES DAN CONTOH - MATEMATIK - 2026

The pecahan separa adalah pecahan dibentuk oleh polinomial, di mana penyebut boleh menjadi linear atau polinomial kuadratik dan, di samping itu, ia boleh dinaikkan kepada sedikit kuasa. Kadang-kadang apabila kita mempunyai fungsi rasional, sangat berguna untuk menulis semula fungsi ini sebagai jumlah pecahan separa atau pecahan sederhana.

Ini berlaku kerana dengan cara ini kita dapat memanipulasi fungsi-fungsi ini dengan cara yang lebih baik, terutama dalam kes-kes di mana perlu untuk mengintegrasikan aplikasi tersebut. Fungsi rasional hanyalah hasil bagi dua polinomial, dan fungsi tersebut boleh tepat atau tidak betul.

Sekiranya tahap polinomial pengangka kurang dari penyebut, ia dipanggil fungsi wajar yang rasional; jika tidak, ia dikenali sebagai fungsi rasional yang tidak betul.

Definisi

Apabila kita mempunyai fungsi rasional yang tidak betul, kita dapat membahagikan polinomial pembilang dengan polinomial penyebut dan dengan itu menulis semula pecahan p (x) / q (x), mengikuti algoritma pembahagian sebagai t (x) + s (x) / q (x), di mana t (x) adalah polinomial dan s (x) / q (x) adalah fungsi rasional yang betul.

Pecahan separa adalah fungsi polinomial yang betul, yang penyebutnya berupa (ax + b) ⁿ atau (ax ² + bx + c) ⁿ , jika ax polinomial ² + bx + c tidak mempunyai punca sebenar dan n adalah nombor semula jadi.

Untuk menulis semula fungsi rasional dalam pecahan separa, perkara pertama yang perlu dilakukan adalah faktor penyebut q (x) sebagai produk faktor linear dan / atau kuadratik. Setelah ini dilakukan, pecahan separa ditentukan, yang bergantung pada sifat faktor-faktor ini.

Kes

Kami mempertimbangkan beberapa kes secara berasingan.

Kes 1

Faktor q (x) semuanya linier dan tidak ada yang berulang. Maksudnya:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Tidak ada faktor linear yang serupa dengan yang lain. Apabila kes ini berlaku, kami akan menulis:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ )… + A _s / (a _s x + b _s ).

Di mana A ₁ , A ₂ , …, A _s adalah pemalar yang akan dijumpai.

Contohnya

Kami ingin menguraikan fungsi rasional menjadi pecahan sederhana:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Kami meneruskan faktor penyebutnya, iaitu:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Kemudian:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Dengan menggunakan gandaan paling sedikit, dapat diperoleh bahawa:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Kami ingin mendapatkan nilai pemalar A, B dan C, yang dapat dijumpai dengan menggantikan akar yang membatalkan setiap syarat. Menggantikan 0 untuk x kita mempunyai:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Mengganti - 1 untuk x kita ada:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Mengganti - 2 untuk x kita ada:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Dengan cara ini nilai A = –1/2, B = 2 dan C = –3/2 diperoleh.

Terdapat kaedah lain untuk mendapatkan nilai A, B dan C. Sekiranya di sebelah kanan persamaan x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x kita menggabungkan istilah, kita mempunyai:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Oleh kerana ini adalah persamaan polinomial, kita mempunyai pekali di sebelah kiri mestilah sama dengan yang ada di sebelah kanan. Ini menghasilkan sistem persamaan berikut:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Menyelesaikan sistem persamaan ini, kita memperoleh hasil A = –1/2, B = 2, dan C = -3/2.

Akhirnya, menggantikan nilai yang diperoleh kita mempunyai:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Kes 2

Faktor q (x) semuanya linier dan ada yang berulang. Katakan bahawa (ax + b) adalah faktor yang mengulangi "s" kali; kemudian, untuk faktor ini sesuai dengan jumlah pecahan separa «s».

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Di mana A _s , A _s-1 ,…, A ₁ adalah pemalar yang akan ditentukan. Dengan contoh berikut kita akan menunjukkan cara menentukan pemalar ini.

Contohnya

Terurai menjadi pecahan separa:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Kami menulis fungsi rasional sebagai jumlah pecahan separa seperti berikut:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2) ).

Kemudian:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Menggantikan 2 untuk x, kita mempunyai:

7 = 4C, iaitu, C = 7/4.

Menggantikan 0 untuk x kita mempunyai:

- 1 = –8A atau A = 1/8.

Menggantikan nilai-nilai ini dalam persamaan sebelumnya dan berkembang, kita mempunyai:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x) + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Dengan menyamakan pekali, kami memperoleh sistem persamaan berikut:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Menyelesaikan sistem, kami mempunyai:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Untuk ini, kita harus:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Kes 3

Faktor q (x) adalah kuadratik linier, tanpa faktor kuadratik berulang. Dalam kes ini, faktor kuadratik (ax ² + bx + c) akan sepadan dengan pecahan separa (Ax + B) / (ax ² + bx + c), di mana pemalar A dan B adalah yang harus ditentukan.

Contoh berikut menunjukkan cara untuk meneruskan kes ini

Contohnya

Terurai menjadi pecahan sederhana a (x + 1) / (x ³ - 1).

Mula-mula kita memfaktorkan penyebutnya, yang memberi kita hasilnya:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Kita dapat melihat bahawa (x ² + x + 1) adalah polinomial kuadratik yang tidak dapat direduksi; iaitu, ia tidak mempunyai akar yang sebenar. Penguraiannya menjadi pecahan separa adalah seperti berikut:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Dari ini kita memperoleh persamaan berikut:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Dengan menggunakan kesamaan polinomial, kami memperoleh sistem berikut:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Dari sistem ini kita mempunyai bahawa A = 2/3, B = - 2/3 dan C = 1/3. Mengganti, kita mempunyai:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Kes 4

Akhirnya, kes 4 adalah faktor di mana faktor q (x) adalah linear dan kuadratik, di mana beberapa faktor kuadratik linear diulang.

Dalam kes ini, jika (ax ² + bx + c) adalah faktor kuadratik yang mengulangi "s" kali, maka pecahan separa yang sesuai dengan faktor (ax ² + bx + c) adalah:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ax ² + bx + c) ^s

Di mana A _s , A _s-1 ,…, A dan B _s , B _s-1 ,…, B adalah pemalar yang akan ditentukan.

Contohnya

Kami ingin menguraikan fungsi rasional berikut menjadi pecahan separa:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Oleh kerana x ² - 4x + 5 adalah faktor kuadratik yang tidak dapat direduksi, kita mempunyai bahawa penguraiannya menjadi pecahan separa diberikan oleh:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Memudahkan dan mengembangkan, kami mempunyai:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Dari perkara di atas, kita mempunyai sistem persamaan berikut:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Semasa menyelesaikan sistem, kita dibiarkan dengan:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 dan E = - 3/5.

Dengan menggantikan nilai yang diperoleh, kita mempunyai:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Permohonan

Kalkulus integral

Pecahan separa digunakan terutamanya untuk kajian kalkulus integral. Berikut adalah beberapa contoh cara melakukan integrasi menggunakan pecahan separa.

Contoh 1

Kami ingin mengira kamiran:

Kita dapat melihat bahawa penyebut q (x) = (t + 2) ² (t + 1) terdiri daripada faktor linier di mana salah satunya berulang; Inilah sebabnya mengapa kita berada dalam kes 2.

Kita mesti:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Kami menulis semula persamaan dan kami mempunyai:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Sekiranya t = - 1, kita mempunyai:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Sekiranya t = - 2, ini memberi kita:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Kemudian, jika t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Menggantikan nilai A dan C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Dari perkara di atas kita mempunyai bahawa B = - 1.

Kami menulis semula kamiran sebagai:

Kami terus menyelesaikannya dengan kaedah penggantian:

Inilah hasilnya:

Contoh 2

Selesaikan kamiran berikut:

Dalam kes ini kita boleh faktor aq (x) = x ² - 4 sebagai q (x) = (x - 2) (x + 2). Kita jelas dalam kes 1. Oleh itu:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Ia juga dapat dinyatakan sebagai:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Sekiranya x = - 2, kita mempunyai:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Dan jika x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Oleh itu, kita dibiarkan menyelesaikan integral yang diberikan sama dengan menyelesaikan:

Ini memberi kita hasilnya:

Contoh 3

Selesaikan kamiran:

Kita mempunyai q (x) = 9x ⁴ + x ² , yang boleh kita pertimbangkan menjadi q (x) = x ² (9x ² + 1).

Kali ini kita mempunyai faktor linear berulang dan faktor kuadratik; iaitu, kita berada dalam kes 3.

Kita mesti:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Mengelompokkan dan menggunakan polinomial yang sama, kami mempunyai:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Dari sistem persamaan ini kita dapat:

D = - 9 dan C = 0

Dengan cara ini, kita mempunyai:

Dengan menyelesaikan perkara di atas, kami mempunyai:

Undang-undang tindakan massa

Aplikasi menarik dari pecahan separa yang digunakan pada kalkulus integral terdapat dalam kimia, lebih tepat lagi dalam hukum tindakan massa.

Anggaplah kita mempunyai dua zat, A dan B, yang bergabung dan membentuk suatu zat C, sehingga terbitan jumlah C sehubungan dengan masa sebanding dengan produk dengan jumlah A dan B pada waktu tertentu.

Kita dapat menyatakan hukum tindakan massa seperti berikut:

Dalam ungkapan ini α adalah bilangan gram awal yang sepadan dengan A dan β bilangan gram awal yang sepadan dengan B.

Selanjutnya, r dan s mewakili bilangan gram A dan B masing-masing yang bergabung membentuk r + s gram C. Untuk bahagiannya, x mewakili bilangan gram bahan C pada masa t, dan K adalah pemalar berkadar. Persamaan di atas boleh ditulis semula sebagai:

Membuat perubahan berikut:

Kami mempunyai persamaan yang menjadi:

Dari ungkapan ini kita dapat memperoleh:

Sekiranya jika ≠ b, pecahan separa boleh digunakan untuk penyatuan.

Contohnya

Mari kita ambil contoh suatu bahan C yang timbul dari penggabungan suatu zat A dengan B, sedemikian rupa sehingga hukum massa dipenuhi di mana nilai a dan b masing-masing adalah 8 dan 6. Berikan persamaan yang memberi kita nilai gram C sebagai fungsi masa.

Mengganti nilai dalam undang-undang massa yang diberikan, kami mempunyai:

Semasa memisahkan pemboleh ubah kita mempunyai:

Di sini 1 / (8 - x) (6 - x) boleh ditulis sebagai jumlah pecahan separa, seperti berikut:

Oleh itu, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Sekiranya kita menggantikan 6 dengan x, kita mempunyai B = 1/2; dan menggantikan 8 dengan x, kita mempunyai A = - 1/2.

Bersepadu dengan pecahan separa kita mempunyai:

Ini memberi kita hasilnya:

Persamaan pembezaan: persamaan logistik

Aplikasi lain yang boleh diberikan kepada pecahan separa adalah dalam persamaan pembezaan logistik. Dalam model sederhana kita mempunyai kadar pertumbuhan penduduk sebanding dengan ukurannya; iaitu:

Kes ini adalah ideal dan dianggap realistik sehingga berlaku bahawa sumber yang ada dalam sistem tidak mencukupi untuk menyokong penduduk.

Dalam situasi seperti ini, perkara yang paling masuk akal adalah dengan berfikir bahawa ada kapasiti maksimum, yang akan kita sebut L, agar sistem dapat bertahan, dan laju pertumbuhan sebanding dengan ukuran populasi dikalikan dengan ukuran yang tersedia. Hujah ini membawa kepada persamaan pembezaan berikut:

Ungkapan ini dipanggil persamaan pembezaan logistik. Ini adalah persamaan pembezaan yang dapat dipisahkan yang dapat diselesaikan dengan kaedah integrasi pecahan separa.

Contohnya

Contohnya ialah mempertimbangkan populasi yang tumbuh mengikut persamaan pembezaan logistik berikut y '= 0.0004y (1000 - y), yang data awalnya adalah 400. Kami ingin mengetahui ukuran populasi pada masa t = 2, di mana t diukur dalam beberapa tahun.

Sekiranya kita menulis y 'dengan notasi Leibniz sebagai fungsi yang bergantung pada t, kita mempunyai:

Bilangan integral di sebelah kiri dapat diselesaikan dengan kaedah integrasi pecahan separa:

Kami dapat menulis semula persamaan terakhir ini seperti berikut:

- Menggantikan y = 0 kita mempunyai nilai A sama dengan 1/1000.

- Menggantikan y = 1000 kita mempunyai B sama dengan 1/1000.

Dengan nilai-nilai ini kamiran adalah seperti berikut:

Penyelesaiannya ialah:

Menggunakan data awal:

Semasa membersihkan dan kami mempunyai:

Maka kita mempunyai itu pada t = 2:

Kesimpulannya, setelah 2 tahun ukuran populasi sekitar 597.37.

Rujukan

1. A, RA (2012). Matematik 1. Universidad de los Andes. Majlis Penerbitan.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Integrasi yang diselesaikan. Universiti Eksperimen Nasional Tachira.
3. Leithold, L. (1992). Pengiraan dengan geometri analitik. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Pengiraan. Mexico: Pendidikan Pearson.
5. Saenz, J. (nd). Kalkulus integral. Hypotenuse.