FUNGSI BIJEKTIF: APA ITU, BAGAIMANA IA DILAKUKAN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2026

A fungsi bijective adalah salah satu yang memenuhi syarat double menjadi injective dan surjective . Maksudnya, semua elemen domain mempunyai satu gambar dalam codomain, dan pada gilirannya codomain sama dengan peringkat fungsi ( R _f ).

Ia dipenuhi dengan mempertimbangkan hubungan satu lawan satu antara elemen domain dan codomain. Contoh mudah ialah fungsi F: R → R yang ditentukan oleh garis F (x) = x

Sumber: Pengarang

Telah diperhatikan bahawa untuk setiap nilai domain atau set permulaan (kedua-dua syarat berlaku sama) terdapat satu gambar dalam kumpulan kode atau set kedatangan. Selain itu, tidak ada unsur codomain selain gambar.

Dengan cara ini F: R → R ditakrifkan oleh garis F (x) = x adalah bijektif

Bagaimana anda melakukan fungsi bijektif?

Untuk menjawabnya, perlu jelas tentang konsep Injectivity and Overjectivity of a function , selain kriteria untuk fungsi pengkondisian untuk menyesuaikannya dengan keperluan.

Suntikan fungsi

Fungsi bersifat suntikan apabila setiap elemen domainnya berkaitan dengan satu elemen kodomain. Elemen codomain hanya boleh menjadi gambar satu elemen domain, dengan cara ini nilai pemboleh ubah bersandar tidak dapat diulang.

Untuk mempertimbangkan fungsi suntikan , perkara berikut mesti dipenuhi:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Kejelasan fungsi

Fungsi diklasifikasikan sebagai kata sifat , jika setiap elemen kodomennya adalah gambar sekurang-kurangnya satu elemen domain.

Untuk mempertimbangkan fungsi yang bersifat mendasar , berikut mesti dipenuhi:

Biarkan F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Ini adalah cara aljabar untuk menetapkan bahawa untuk setiap "b" yang termasuk dalam C _f ada "a" milik D _f sehingga fungsi yang dinilai dalam "a" sama dengan "b".

Penyaman fungsi

Kadang-kadang fungsi yang tidak bijektif boleh dikenakan syarat-syarat tertentu. Keadaan baru ini dapat menjadikannya fungsi bijektif. Semua jenis pengubahsuaian pada domain dan codomain fungsi berlaku, di mana tujuannya adalah untuk memenuhi sifat-sifat suntikan dan kejutan dalam hubungan yang sesuai.

Contoh: latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Biarkan fungsi F: R → R ditentukan oleh garis F (x) = 5x +1

J:

Telah diperhatikan bahawa untuk setiap nilai domain terdapat gambar di codomain. Gambar ini unik yang menjadikan F berfungsi sebagai suntikan . Dengan cara yang sama, kita melihat bahawa codomain fungsi sama dengan peringkatnya. Oleh itu memenuhi syarat surjectivity .

Menjadi suntikan dan menduga pada masa yang sama kita dapat menyimpulkan bahawa

F: R → R yang ditentukan oleh garis F (x) = 5x +1 adalah fungsi bijektif.

Ini berlaku untuk semua fungsi linier (Fungsi yang tahap tertinggi pemboleh ubahnya adalah satu).

Latihan 2

Biarkan fungsi F: R → R ditentukan oleh F (x) = 3x ² - 2

Semasa melukis garis mendatar, diperhatikan bahawa grafik dijumpai pada lebih dari satu kesempatan. Oleh kerana itu, fungsi F tidak suntik dan oleh itu ia tidak akan bersifat bijektif selagi ditentukan dalam R → R

Begitu juga, terdapat nilai-nilai codomain yang bukan merupakan gambar dari elemen domain apa pun. Oleh kerana itu, fungsi ini tidak bersifat menduga, yang juga layak untuk mengatur set kedatangan.

Kami meneruskan syarat domain dan codomain fungsi

F: →

Di mana diperhatikan bahawa domain baru merangkumi nilai dari sifar hingga tak terhingga positif. Mengelakkan pengulangan nilai yang mempengaruhi suntikan.

Demikian juga, codomain telah diubah, menghitung dari "-2" menjadi positif tak terhingga, menghilangkan dari codomain nilai yang tidak sesuai dengan elemen domain apa pun

Dengan cara ini dapat dipastikan bahawa F : → ditakrifkan oleh F (x) = 3x ² - 2

Ia bersifat bijektif

Latihan 3

Biarkan fungsi F: R → R ditentukan oleh F (x) = Sen (x)

Pada selang waktu , fungsi sinus berbeza hasilnya antara sifar dan satu.

Sumber: Pengarang.

Fungsi F tidak sesuai dengan kriteria suntikan dan kejutan, kerana nilai pemboleh ubah bersandar diulang setiap selang π. Tambahan pula, istilah codomain di luar selang bukanlah gambaran unsur mana-mana domain.

Semasa mengkaji graf fungsi F (x) = Sen (x) , selang diperhatikan di mana tingkah laku lengkung memenuhi kriteria bijektiviti . Sebagai contoh selang D _f = untuk domain. Dan C _f = untuk kodomain.

Di mana fungsi berbeza hasil dari 1 hingga -1, tanpa mengulangi sebarang nilai dalam pemboleh ubah bersandar. Dan pada masa yang sama codomain sama dengan nilai yang diguna pakai oleh ungkapan Sen (x)

Oleh itu fungsi F: → ditakrifkan oleh F (x) = Sen (x). Ia bersifat bijektif

Latihan 4

Nyatakan syarat yang diperlukan untuk D _f dan C _f . Jadi ungkapan

F (x) = -x ² menjadi bijektif.

Sumber: Pengarang

Pengulangan hasil diperhatikan apabila pemboleh ubah mengambil nilai yang bertentangan:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Domain dikondisikan, menghadkannya ke sebelah kanan garis sebenar.

D _f =

Dengan cara yang sama, diperhatikan bahawa rentang fungsi ini adalah selang, yang ketika bertindak sebagai codomain memenuhi syarat-syarat kejutan.

Dengan cara ini kita dapat menyimpulkan bahawa

Ungkapan F: → ditakrifkan oleh F (x) = -x ² Ia adalah bijektif

Latihan yang dicadangkan

Periksa sama ada fungsi berikut bersifat bijektif:

F: → R ditentukan oleh F (x) = 5ctg (x)

F: → R ditentukan oleh F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R ditakrifkan oleh garis F (x) = -5x + 4

Rujukan

1. Pengenalan Logik dan Pemikiran Kritikal. Merrilee H. Salmon. Universiti Pittsburgh
2. Masalah dalam Analisis Matematik. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universiti Wroclaw. Poland.
3. Elemen Analisis Abstrak. Mícheál O'Searcoid PhD. Jabatan matematik. Kolej universiti Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Pengenalan Logik dan Metodologi Sains Deduktif. Alfred Tarski, New York Oxford. Akhbar Universiti Oxford.
5. Prinsip analisis matematik. Enrique Linés Escardó. Editor Reverté A. A 1991. Barcelona Sepanyol.