FUNGSI HOMOGRAFI: CARA MEMBUAT GRAFIK, LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2025

Yang fungsi homographic atau ng rasional adalah sejenis fungsi matematik terdiri daripada polinomial bahagian dua komponen. Ini mematuhi bentuk P (x) / Q (x), di mana Q (x) tidak dapat mengambil bentuk nol.

Contohnya ungkapan (2x - 1) / (x + 3) sesuai dengan fungsi homografi dengan P (x) = 2x - 1 dan Q (x) = x + 3.

Sumber: pixabay.com

Fungsi homografi merupakan bahagian kajian fungsi analitik, yang dirawat dari pendekatan grafik dan dari kajian domain dan rentang. Ini disebabkan oleh sekatan dan alasan yang mesti diterapkan untuk ketetapan anda.

Apakah fungsi homografi?

Mereka adalah ungkapan rasional dari satu pemboleh ubah, walaupun ini tidak bermaksud bahawa tidak ada ungkapan serupa untuk dua atau lebih pemboleh ubah, di mana ia sudah ada di hadapan badan di ruang yang mematuhi corak yang sama dengan fungsi homografi di dalam pesawat.

Mereka mempunyai akar yang nyata dalam beberapa kes, tetapi keberadaan asimtot menegak dan mendatar selalu dipertahankan, serta selang pertumbuhan dan penurunan. Pada kebiasaannya hanya ada salah satu trend ini, tetapi terdapat ungkapan yang dapat menunjukkan kedua-duanya dalam perkembangannya.

Domainnya dibatasi oleh akar penyebut, kerana tidak ada pembahagian dengan sifar nombor nyata.

Fungsi homografi bercampur

Mereka sangat kerap dalam perhitungan, terutama pembezaan dan integral, yang diperlukan untuk memperoleh dan anti-derivatif dalam formula tertentu. Beberapa yang paling biasa disenaraikan di bawah.

Punca fungsi homograf ke-9

Kecualikan semua elemen domain yang menjadikan argumen negatif. Akar yang terdapat dalam setiap nilai hasil polinomial adalah sifar ketika dinilai.

Nilai-nilai ini diterima oleh radikal, walaupun pembatasan asas fungsi homografi mesti dipertimbangkan. Di mana Q (x) tidak dapat menerima nilai nol.

Penyelesaian selang mesti dipintas:

Untuk mencapai penyelesaian persimpangan, kaedah tanda antara lain dapat digunakan.

Logaritma fungsi homografi

Adalah biasa juga untuk menemukan kedua ungkapan dalam satu, antara kombinasi lain yang mungkin.

Bagaimana membuat grafik fungsi homografi?

Fungsi homografik berkaitan secara grafik dengan hiperbola dalam satah. Yang diangkut secara mendatar dan menegak mengikut nilai-nilai yang menentukan polinomial.

Terdapat beberapa elemen yang mesti kita tentukan untuk membuat grafik fungsi rasional atau homografi.

Estet

Yang pertama akan menjadi akar atau nol fungsi P dan Q.

Nilai yang dicapai akan dilambangkan pada paksi-x grafik. Menunjukkan persilangan graf dengan paksi.

Asimptot menegak

Mereka sesuai dengan garis menegak, yang membezakan grafik mengikut tren yang mereka tunjukkan. Mereka menyentuh paksi-x pada nilai-nilai yang menjadikan penyebutnya sifar dan tidak akan pernah disentuh oleh grafik fungsi homografi.

Asimptot mendatar

Diwakili oleh garis jahitan mendatar, ia menetapkan had yang mana fungsi tersebut tidak akan ditentukan pada titik yang tepat. Trend akan diperhatikan sebelum dan selepas garis ini.

Untuk menghitungnya, kita mesti menggunakan kaedah yang serupa dengan kaedah L'Hopital, yang digunakan untuk menyelesaikan had fungsi rasional yang cenderung tidak terhingga. Kita mesti mengambil pekali kuasa tertinggi dalam pengangka dan penyebut fungsi.

Sebagai contoh, ungkapan berikut mempunyai asimptot mendatar pada y = 2/1 = 2.

Selang pertumbuhan

Nilai ordinat akan mempunyai tren yang ditandai pada grafik kerana asimptot. Dalam kes pertumbuhan, fungsi akan meningkat dalam nilai sebagai elemen domain dinilai dari kiri ke kanan.

Kurangkan selang

Nilai ordinat akan berkurang apabila elemen domain dinilai dari kiri ke kanan.

Lompatan yang terdapat dalam nilai tidak akan diambil kira semasa kenaikan atau penurunan. Ini berlaku apabila grafik hampir dengan asimptot menegak atau mendatar, di mana nilainya boleh berbeza dari tak terhingga hingga tak terhingga negatif dan sebaliknya.

Persimpangan Y

Dengan menetapkan nilai x ke sifar, kita dapati pintasan dengan paksi ordinat. Ini adalah data yang sangat berguna untuk mendapatkan grafik fungsi rasional.

Contoh

Tentukan graf ungkapan berikut, cari akarnya, asimtot menegak dan mendatar, selang kenaikan dan penurunan dan persimpangan dengan paksi ordinat.

Latihan 1

Ungkapan tidak mempunyai akar, kerana ia mempunyai nilai tetap dalam pengangka. Sekatan yang akan dikenakan akan berbeza dengan sifar x. Dengan asimptot mendatar pada y = 0, dan asimptot menegak pada x = 0. Tidak ada titik persilangan dengan paksi-y.

Diperhatikan bahawa tidak ada selang pertumbuhan walaupun dengan lonjakan dari minus ke plus infinity pada x = 0.

Selang penurunan adalah

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Latihan 1.2

2 polinomial diperhatikan seperti dalam definisi awal, jadi kami meneruskan langkah yang telah ditetapkan.

Akar yang dijumpai adalah x = 7/2, yang dihasilkan dari menetapkan fungsi sama dengan sifar.

Asimptot menegak berada pada x = - 4, yang merupakan nilai yang dikecualikan dari domain oleh keadaan fungsi rasional.

Asimptot mendatar berada pada y = 2, ini setelah membahagi 2/1, pekali pemboleh ubah darjah 1.

Ia mempunyai pintasan-y = - 7/4. Nilai dijumpai setelah menyamakan x hingga sifar.

Fungsi ini terus berkembang, dengan lompatan dari tambah ke tak terhingga di sekitar akar x = -4.

Selang pertumbuhannya adalah (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Apabila nilai x mendekati tolak, fungsi mengambil nilai mendekati 2. Perkara yang sama berlaku apabila x menghampiri lebih banyak tak terhingga.

Ungkapan mendekati tambah tak terhingga ketika menilai ke - 4 dari kiri, dan tolak tak terhingga ketika menilai ke - 4 dari kanan.

Latihan 2

Grafik fungsi homografi berikut diperhatikan:

Huraikan tingkah lakunya, akar, asimtot menegak dan mendatar, selang pertumbuhan dan penurunan dan persimpangan dengan paksi ordinat.

Penyebut ungkapan memberitahu kita dengan memfaktorkan perbezaan kuasa dua (x + 1) (x - 1) nilai punca. Dengan cara ini, kedua-dua asimptot menegak dapat didefinisikan sebagai:

x = -1 dan x = 1

Asimptot mendatar sepadan dengan paksi absis kerana daya tertinggi berada pada penyebut.

Satu-satunya akarnya ditentukan oleh x = -1/3.

Ungkapan selalu menurun dari kiri ke kanan. Ia menghampiri sifar ketika menghampiri infiniti. Minus infiniti semasa anda menghampiri -1 dari kiri. Tak terhingga tambah ketika menghampiri -1 dari kanan. Kurang infiniti ketika menghampiri 1 dari kiri dan lebih tidak terhingga ketika menghampiri 1 dari kanan.

Rujukan

1. Pendekatan dengan Fungsi Rasional. Donald J. Newman. Persatuan Matematik Amerika, 31 Dis. 1979
2. Fungsi Rasional Ortogonal. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 Februari. 1999
3. Pendekatan Rasional Fungsi Nyata. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 Mac. 2011
4. Fungsi Algebra. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1 Jan. 2004
5. Jurnal Persatuan Matematik Sepanyol, Jilid 5-6. Persatuan Matematik Sepanyol, Madrid 1916