Yang fungsi logaritma hubungan matematik yang bersekutu setiap positif x nombor nyata dengan y logaritma pada yang asas. Hubungan ini memenuhi syarat untuk menjadi fungsi: setiap elemen x milik domain mempunyai gambar yang unik.
Oleh itu:
Oleh kerana logaritma berdasarkan nombor x adalah nombor y yang asasnya mesti dinaikkan untuk mendapatkan x.
-Logaritma asas selalu 1. Oleh itu, graf f (x) = log a x selalu memotong paksi-x pada titik (1,0)
-Fungsi logaritmik transenden dan tidak dapat dinyatakan sebagai polinomial atau sebagai hasil dari ini. Sebagai tambahan kepada logaritma, kumpulan ini merangkumi fungsi trigonometri dan eksponen, antara lain.
Contoh
Fungsi logaritmik dapat dibuat oleh pelbagai asas, tetapi yang paling banyak digunakan adalah 10 dan e, di mana e adalah nombor Euler sama dengan 2.71828….
Apabila asas 10 digunakan, logaritma disebut logaritma perpuluhan, logaritma biasa, Briggs 'atau hanya logaritma biasa.
Dan jika nombor e digunakan, maka itu disebut logaritma semula jadi, setelah John Napier, ahli matematik Skotlandia yang menemukan logaritma.
Notasi yang digunakan untuk masing-masing adalah sebagai berikut:
-Darimal logaritma: log 10 x = log x
-Logaritma Nepal: ln x
Apabila anda akan menggunakan pangkalan lain, sangat mustahak untuk menunjukkannya sebagai langganan, kerana logaritma setiap nombor berbeza bergantung pada pangkalan yang akan digunakan. Contohnya, jika logaritma di pangkalan 2, tulis:
y = log 2 x
Mari kita lihat logaritma nombor 10 dalam tiga asas yang berbeza, untuk menggambarkan perkara ini:
log 10 = 1
ln 10 = 2.30259
log 2 10 = 3.32193
Kalkulator biasa hanya membawa logaritma perpuluhan (fungsi log) dan logaritma semula jadi (fungsi ln). Di Internet terdapat kalkulator dengan pangkalan lain. Walau apa pun, pembaca dapat mengesahkan, dengan pertolongannya, bahawa nilai sebelumnya dipenuhi:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Perbezaan perpuluhan kecil disebabkan oleh bilangan tempat perpuluhan yang diambil dalam mengira logaritma.
Kelebihan logaritma
Antara kelebihan menggunakan logaritma adalah kemudahan yang mereka berikan untuk bekerja dengan bilangan yang banyak, menggunakan logaritma mereka dan bukannya nombor secara langsung.
Ini mungkin kerana fungsi logaritma tumbuh lebih perlahan apabila nombor semakin besar, seperti yang dapat kita lihat dalam grafik.
Jadi walaupun dengan bilangan yang sangat besar, logaritma mereka jauh lebih kecil, dan memanipulasi bilangan kecil selalu lebih mudah.
Di samping itu, logaritma mempunyai sifat berikut:
- Produk : log (ab) = log a + log b
- Quotient : log (a / b) = log a - log b
- Kuasa : log a b = b.log a
Dan dengan cara ini, produk dan kuota menjadi penambahan dan pengurangan bilangan yang lebih kecil, sementara pemberdayaan menjadi produk sederhana walaupun kekuatannya tinggi.
Itulah sebabnya logaritma membolehkan kita mengekspresikan nombor yang bervariasi dalam julat nilai yang sangat besar, seperti intensiti suara, pH larutan, kecerahan bintang, rintangan elektrik dan intensiti gempa pada skala Richter.
Rajah 2. Logaritma digunakan pada skala Richter untuk mengukur besarnya gempa bumi. Gambar menunjukkan bangunan yang runtuh di Concepción, Chile, semasa gempa 2010. Sumber: Wikimedia Commons.
Mari lihat contoh pengendalian sifat logaritma:
Contohnya
Cari nilai x dalam ungkapan berikut:
Balas
Kita ada persamaan logaritma, kerana yang tidak diketahui ada dalam hujah logaritma. Ia diselesaikan dengan meninggalkan satu logaritma di setiap sisi persamaan.
Kami mulakan dengan meletakkan semua istilah yang mengandungi "x" di sebelah kiri persamaan, dan istilah yang hanya mengandungi nombor di sebelah kanan:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Di sebelah kiri kita mempunyai pengurangan dua logaritma, yang boleh ditulis sebagai logaritma bagi hasil tambah:
log = 1
Namun, di sebelah kanan adalah nombor 1, yang dapat kita nyatakan sebagai log 10, seperti yang kita lihat sebelumnya. Jadi:
log = log 10
Agar kesetaraan menjadi kenyataan, hujah logaritma mesti sama:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Latihan aplikasi: skala Richter
Pada tahun 1957, gempa bumi berlaku di Mexico dengan skala 7.7 pada skala Richter. Pada tahun 1960 gempa lain dengan kekuatan lebih besar berlaku di Chile, iaitu 9.5.
Hitung berapa kali gempa bumi di Chile lebih kuat daripada gempa di Mexico, dengan mengetahui bahawa magnitud M R pada skala Richter diberikan oleh formula:
M R = log (10 4 I)
Penyelesaian
Besarnya skala Richter dari gempa bumi adalah fungsi logaritma. Kami akan mengira intensiti setiap gempa bumi, kerana kita mempunyai magnitud Richter. Mari lakukan langkah demi langkah:
- Mexico : 7.7 = log (10 4 I)
Oleh kerana fungsi logaritma terbalik adalah eksponensial, kami menerapkannya pada kedua-dua sisi persamaan dengan tujuan menyelesaikan untuk I, yang terdapat dalam argumen logaritma.
Oleh kerana mereka adalah logaritma perpuluhan, asasnya adalah 10. Kemudian:
10 7.7 = 10 4 I
Keamatan gempa bumi Mexico adalah:
I M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- Chile : 9.5 = log (10 4 I)
Prosedur yang sama membawa kita ke intensiti gempa Chili I Ch :
I Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
Sekarang kita dapat membandingkan kedua-dua intensiti tersebut:
I Ch / I M = 10 5.5 / 10 3.7 = 10 1.8 = 63.1
I Ch = 63.1. Saya M
Gempa bumi di Chile sekitar 63 kali lebih kuat daripada yang berlaku di Mexico. Oleh kerana magnitud logaritmik, ia bertambah lebih perlahan daripada intensiti, jadi perbezaan 1 dalam magnitud, bermaksud amplitud gelombang seismik 10 kali lebih besar.
Perbezaan antara magnitud kedua gempa bumi adalah 1,8, oleh itu kami dapat menjangkakan perbezaan intensiti mendekati 100 daripada hingga 10, kerana sebenarnya terjadi.
Sebenarnya, jika perbezaannya tepat 2, gempa Chili akan 100 kali lebih kuat daripada yang terjadi di Mexico.
Rujukan
- Carena, M. 2019. Manual Matematik Pra-Universiti. Universiti Kebangsaan Litoral.
- Figuera, J. 2000. Matematik 1st. Tahun Berpelbagai. Edisi CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Dewan Prentice.
- Larson, R. 2010. Pengiraan pemboleh ubah. 9hb. Edisi. Bukit McGraw.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematik untuk Kalkulus. 5hb. Edisi. Pembelajaran Cengage.