GEOMETRI EUCLIDEAN: SEJARAH, KONSEP ASAS, DAN CONTOHNYA - MATEMATIK - 2026

The geometri Euclid sepadan dengan kajian sifat-sifat ruang geometri mana aksiom Euclid berpuas hati. Walaupun istilah ini kadang-kadang digunakan untuk merangkumi geometri yang mempunyai dimensi yang lebih tinggi dengan sifat yang serupa, secara amnya sinonim dengan geometri klasik atau geometri satah.

Pada abad III a. C. Euclides dan murid-muridnya menulis Elemen, sebuah karya yang merangkumi pengetahuan matematik pada masa itu yang dikurniakan struktur logik-deduktif. Sejak itu, geometri menjadi sains, pada mulanya untuk menyelesaikan masalah klasik dan berkembang menjadi sains formatif yang menolong akal.

Sejarah

Untuk membincangkan sejarah geometri Euclidean, adalah mustahak untuk bermula dengan Euclid dari Alexandria dan Elemen.

Ketika Mesir ditinggalkan di tangan Ptolemy I, setelah kematian Alexander the Great, dia memulakan projeknya di sebuah sekolah di Alexandria.

Antara orang bijak yang mengajar di sekolah itu ialah Euclid. Diperkirakan bahawa kelahirannya berasal dari sekitar 325 SM. C. dan kematiannya 265 a. C. Kita dapat mengetahui dengan pasti bahawa dia pergi ke sekolah Plato.

Selama lebih dari tiga puluh tahun Euclid mengajar di Alexandria, membangun unsur-unsurnya yang terkenal: dia mula menulis perihalan lengkap mengenai matematik pada zamannya. Ajaran Euclid menghasilkan murid yang sangat baik, seperti Archimedes dan Apollonius dari Perga.

Euclid bertugas menyusun penemuan yang berbeza dari orang Yunani kuno di Unsur, tetapi tidak seperti pendahulunya, dia tidak membataskan dirinya untuk menegaskan bahawa teorema itu benar; Euclid mengadakan demonstrasi.

The Elements adalah ringkasan dari tiga belas buku. Selepas Alkitab, ia adalah buku yang paling banyak diterbitkan, dengan lebih dari seribu edisi.

Elemen Euclid

The Elements adalah karya agung Euclid dalam bidang geometri, dan menawarkan perlakuan pasti geometri dua dimensi (satah) dan tiga dimensi (ruang), ini menjadi asal-usul dari apa yang sekarang kita ketahui sebagai geometri Euclidean .

Konsep asas

Unsur-unsur terdiri dari definisi, pengertian umum dan postulat (atau aksioma) diikuti oleh teorema, konstruksi dan bukti.

- Maksudnya adalah yang tidak mempunyai bahagian.

- Garisan adalah panjang yang tidak mempunyai lebar.

- Garis lurus adalah garis yang terletak sama dengan titik-titik yang ada di dalamnya.

- Sekiranya dua garis dipotong sehingga sudut bersebelahan sama, sudut disebut garis lurus dan garis disebut tegak lurus.

- Garis selari adalah garis yang, berada dalam satah yang sama, tidak pernah bersilang.

Selepas ini dan definisi lain, Euclid memberikan senarai lima postulat dan lima tanggapan kepada kita.

Pengertian biasa

- Dua perkara yang sama dengan satu pertiga adalah sama antara satu sama lain.

- Sekiranya perkara yang sama ditambahkan pada perkara yang sama, hasilnya sama.

- Sekiranya perkara yang sama dikurangkan perkara yang sama, hasilnya sama.

- Perkara yang sepadan antara satu sama lain.

- Jumlahnya lebih besar daripada bahagian.

Postulat atau aksioma

- Satu dan satu baris melewati dua titik yang berbeza.

- Garis lurus boleh dilanjutkan selama-lamanya.

- Anda boleh melukis bulatan dengan pusat dan jejari apa pun.

- Semua sudut tepat sama.

- Sekiranya garis lurus melintasi dua garis lurus sehingga sudut dalaman sisi yang sama bertambah hingga kurang dari dua sudut kanan, maka kedua garis akan melintang di sisi itu.

Postulat terakhir ini dikenali sebagai postulat selari dan dirumuskan semula dengan cara berikut: "Untuk titik di luar garis, satu selari dengan garis yang diberikan dapat digambar."

Contoh

Seterusnya, beberapa teori Elemen akan berfungsi untuk menunjukkan sifat ruang geometri di mana lima postulat Euclid dipenuhi; Di samping itu, mereka akan menggambarkan penaakulan logik-deduktif yang digunakan oleh ahli matematik ini.

Contoh pertama

Cadangan 1.4. (LAL)

Sekiranya dua segitiga mempunyai dua sisi dan sudut di antara mereka sama, maka sisi dan sudut yang lain sama.

Demonstrasi

Biarkan ABC dan A'B'C 'menjadi dua segitiga dengan AB = A'B', AC = A'C 'dan sudut BAC dan B'A'C' sama. Mari bergerak segitiga A'B'C 'supaya A'B' bertepatan dengan AB dan sudut B'A'C 'bertepatan dengan sudut BAC.

Jadi garis A'C 'bertepatan dengan garis AC, jadi C' bertepatan dengan C. Kemudian, dengan postulat 1, garis BC mesti bertepatan dengan garis B'C '. Oleh itu, kedua-dua segitiga itu bertepatan dan, akibatnya, sudut dan sisi mereka sama.

Contoh kedua

Cadangan 1.5. (

Katakan segitiga ABC mempunyai sisi sama AB dan AC.

Jadi, segitiga ABD dan ACD mempunyai dua sisi yang sama dan sudut di antara mereka sama. Oleh itu, dengan Proposisi 1.4, sudut ABD dan ACD adalah sama.

Contoh ketiga

Cadangan 1.31

Anda boleh membina garis selari dengan garis yang diberikan oleh titik tertentu.

Bangunan

Diberi garis L dan titik P, garis M ditarik melalui P dan memotong L. Kemudian garis N ditarik melalui P yang memotong L. Sekarang, garis N ditarik melalui P, yang memotong M, membentuk sudut yang sama dengan yang L bentuk dengan M.

Peneguhan

N selari dengan L.

Demonstrasi

Katakan L dan N tidak selari dan bersilang pada titik A. Biarkan B menjadi titik di L di luar A. Pertimbangkan garis O yang melintasi B dan P. Kemudian, O memotong M pada sudut yang menambah hingga kurang daripada dua lurus.

Kemudian dengan garis 1.5 O mesti memotong garis L di sisi M yang lain, jadi L dan O berpotongan pada dua titik, yang bertentangan dengan Postulat 1. Oleh itu, L dan N mesti selari.

Rujukan

1. Euclid Elemen Geometri. Universiti Autonomi Negara Mexico
2. Euclid. Enam buku pertama dan kesebelas dan kedua belas unsur Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktik dan sejarah geometri Euclidean, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Sejarah Matematik. Pengarang Mir
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Geometri Analitik Pesawat. Editorial Venezolana CA