IDENTITI PYTHAGORAS: DEMONSTRASI, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2026

Identiti Pythagoras adalah semua persamaan trigonometri yang mempunyai nilai sudut apa pun dan berdasarkan teorema Pythagoras. Identiti Pythagoras yang paling terkenal adalah identiti trigonometri asas:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Rajah 1. Identiti trigonometri Pythagoras.

Seterusnya penting dan saya menggunakan identiti Pythagoras dari tangen dan secant:

Tan ² (α) + 1 = Bahagian ² (α)

Dan identiti trigonometri Pythagoras yang melibatkan kotangen dan kosekant:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstrasi

Nisbah trigonometri sinus dan kosinus diwakili pada lingkaran jejari satu (1) yang dikenali sebagai bulatan trigonometri. Lingkaran tersebut mempunyai pusatnya pada titik asal koordinat O.

Sudut diukur dari paksi separuh positif Xs, misalnya sudut α pada rajah 2 (lihat di bawah). Berlawanan arah jam jika sudut positif, dan mengikut arah jam jika sudut negatif.

Sinar dengan asal O dan sudut α dilukis, yang memintas bulatan unit pada titik P. Titik P diproyeksikan secara ortogonis pada paksi mendatar X yang menimbulkan titik C. Begitu juga P diproyeksikan secara tegak lurus pada paksi tegak Y yang memberi tempat ke titik S.

Kami mempunyai OCP segitiga yang betul pada C.

Sinus dan kosinus

Perlu diingat bahawa sinus nisbah trigonometri didefinisikan pada segitiga kanan seperti berikut:

Sinus sudut segitiga adalah nisbah atau hasil bagi kaki yang bertentangan dengan sudut dan hipotenus segitiga.

Diterapkan pada segitiga OCP gambar 2 akan kelihatan seperti ini:

Sen (α) = CP / OP

tetapi CP = OS dan OP = 1, sehingga:

Sen (α) = OS

Yang bermaksud bahawa OS unjuran pada paksi Y mempunyai nilai yang sama dengan sinus sudut yang dipaparkan. Perlu diingatkan bahawa nilai maksimum sinus sudut (+1) berlaku apabila α = 90º dan minimum (-1) apabila α = -90º atau α = 270º.

Rajah 2. Lingkaran trigonometri yang menunjukkan hubungan antara teorema Pythagoras dan identiti trigonometri asas. (Penjelasan sendiri)

Begitu juga, kosinus sudut adalah hasil bagi antara kaki yang bersebelahan dengan sudut dan hipotenus segitiga.

Diterapkan pada segitiga OCP gambar 2 akan kelihatan seperti ini:

Cos (α) = OC / OP

tetapi OP = 1, supaya:

Cos (α) = OC

Ini bermaksud bahawa unjuran OC pada paksi X mempunyai nilai yang sama dengan sinus sudut yang ditunjukkan. Perlu diingatkan bahawa nilai maksimum kosinus (+1) berlaku apabila α = 0º atau α = 360º, sementara nilai minimum kosinus adalah (-1) ketika α = 180º.

Identiti asas

Untuk OCP segitiga kanan di C, teorema Pythagoras diterapkan, yang menyatakan bahawa jumlah segi empat kaki sama dengan segiempat hipotenus:

CP ² + OC ² = OP ²

Tetapi telah dikatakan bahawa CP = OS = Sen (α), bahwa OC = Cos (α) dan OP = 1, sehingga ungkapan sebelumnya dapat ditulis ulang sebagai fungsi sinus dan kosinus sudut:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Paksi tangen

Sama seperti paksi X dalam bulatan trigonometri adalah paksi kosinus dan paksi Y paksi sinus, dengan cara yang sama ada paksi tangen (lihat gambar 3) yang tepat adalah garis tangen ke bulatan unit pada titik B koordinat (1, 0).

Sekiranya anda ingin mengetahui nilai tangen sudut, sudut diambil dari paksi separa positif X, persimpangan sudut dengan paksi tangen menentukan titik Q, panjang segmen OQ adalah tangen dari sudut.

Ini kerana menurut definisi, tangen sudut α adalah kaki QB yang berlawanan antara kaki OB yang bersebelahan. Maksudnya, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Rajah 3. Lingkaran trigonometri yang menunjukkan paksi tangen dan identiti Pythagoras tangen. (Penjelasan sendiri)

Identiti Pythagoras mengenai tangen

Identiti tangen Pythagoras dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan segi tiga tepat OBQ di B (Rajah 3). Menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga ini kita mempunyai BQ ² + OB ² = OQ ² . Tetapi telah dikatakan bahawa BQ = Tan (α), bahawa OB = 1 dan OQ = Sec (α), sehingga menggantikan dalam persamaan Pythagoras untuk segitiga OBQ yang betul kita ada:

Tan ² (α) + 1 = Bahagian ² (α).

Contohnya

Periksa sama ada identiti Pythagoras dipenuhi di segitiga kaki kanan AB = 4 dan BC = 3.

Penyelesaian: Kaki diketahui, hipotenus perlu ditentukan, iaitu:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Sudut ∡BAC akan disebut α, ∡BAC = α. Kini nisbah trigonometri ditentukan:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Jadi α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Ia bermula dengan identiti trigonometri asas:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Disimpulkan bahawa ia dipenuhi.

- Identiti Pythagoras seterusnya adalah identiti:

Tan ² (α) + 1 = Bahagian ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Dan disimpulkan bahawa identiti tangen disahkan.

- Dengan cara yang serupa dengan kotangen:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Disimpulkan bahawa ia juga dipenuhi, dengan tugas untuk mengesahkan identiti Pythagoras untuk segitiga yang diberikan telah selesai.

Latihan yang diselesaikan

Buktikan identiti berikut, berdasarkan definisi nisbah trigonometri dan identiti Pythagoras.

Latihan 1

Buktikan bahawa Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Penyelesaian: Di sebelah kanan kita mengenali produk luar biasa penggandaan binomial dengan konjugatnya, yang, seperti yang kita ketahui, adalah perbezaan kuasa dua:

Cos ² x = 1 ² - Dosa ² x

Kemudian istilah dengan sinus di sebelah kanan berlalu ke sebelah kiri dengan tanda berubah:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Memperhatikan bahawa identiti trigonometri asas telah dicapai, sehingga dapat disimpulkan bahawa ungkapan yang diberikan adalah identiti, yaitu, itu benar untuk nilai x.

Latihan 2

Bermula dari identiti trigonometri asas dan menggunakan definisi nisbah trigonometri, tunjukkan identiti Pythagoras pada cosecant.

Penyelesaian: Identiti asas adalah:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Kedua-dua ahli dibahagi dengan Sen ² (x) dan penyebutnya diedarkan pada ahli pertama:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Ia dipermudahkan:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) adalah identiti (bukan Pythagoras) yang disahkan oleh definisi nisbah trigonometri. Perkara yang sama berlaku dengan identiti berikut: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Akhirnya anda perlu:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Rujukan

1. Baldor J. (1973). Geometri satah dan ruang dengan pengenalan trigonometri. Budaya Amerika Tengah. AC
2. CEA (2003). Unsur geometri: dengan latihan dan geometri kompas. Universiti Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (sf). Semester Pertama Matematik Tacaná. IGER.
5. Geometri Jr. (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematik: Penaakulan Dan Aplikasi (Edisi Kesepuluh). Pendidikan Pearson.
7. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Progreso Editorial.
8. Wikipedia. Identiti dan formula trigonometri. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com