UNDANG-UNDANG MORGAN

Pandangan Morgan adalah peraturan inferensi yang digunakan dalam logik proposisional, yang menentukan apa hasil dari penolakan gangguan dan penyatuan cadangan atau pemboleh ubah proposisi. Undang-undang ini ditakrifkan oleh ahli matematik Augustus De Morgan.

Undang-undang Morgan mewakili alat yang sangat berguna untuk menunjukkan kesahan penaakulan matematik. Kemudian mereka digeneralisasikan dalam konsep set oleh ahli matematik George Boole.

Generalisasi yang dibuat oleh Boole ini sama dengan undang-undang Morgan awal, tetapi dikembangkan secara khusus untuk set dan bukan untuk cadangan. Generalisasi ini juga dikenal sebagai undang-undang Morgan.

Kajian semula logik cadangan

Sebelum melihat secara spesifik undang-undang Morgan dan bagaimana undang-undang tersebut digunakan, ada baiknya anda mengingat beberapa konsep asas mengenai logik cadangan. (Untuk lebih jelasnya, lihat artikel mengenai logik cadangan).

Dalam bidang logik matematik (atau proposisional), kesimpulan adalah kesimpulan yang dikeluarkan dari satu set premis atau hipotesis. Kesimpulan ini, bersama dengan premis yang disebutkan di atas, menimbulkan apa yang dikenali sebagai penaakulan matematik.

Alasan sedemikian mesti ditunjukkan atau ditolak; iaitu, tidak semua kesimpulan atau kesimpulan dalam penaakulan matematik adalah sah.

Kesalahan

Kesimpulan palsu yang dibuat dari hipotesis tertentu yang dianggap benar dikenali sebagai kesalahan. Kekeliruan mempunyai keistimewaan sebagai hujah yang nampaknya betul, tetapi secara matematik tidak.

Logik cadangan bertanggungjawab tepat untuk mengembangkan dan menyediakan kaedah dengan kaedah yang, tanpa kesamaran, penalaran matematik dapat disahkan atau dibantah; iaitu, membuat kesimpulan yang sah dari premis. Kaedah ini dikenali sebagai peraturan inferensi, di antaranya undang-undang Morgan.

Cadangan

Unsur-unsur penting dari logik proposisi adalah proposisi. Cadangan adalah pernyataan yang boleh dikatakan sah atau tidak, tetapi tidak boleh benar atau salah pada masa yang sama. Seharusnya tidak ada kesamaran dalam hal ini.

Sama seperti nombor dapat digabungkan melalui operasi penambahan, pengurangan, pendaraban dan pembahagian, cadangan dapat dikendalikan dengan menggunakan penyambung logik (atau penyambung) yang terkenal: penolakan (¬, "bukan"), pemutusan (V , "Atau"), konjungsi (Ʌ, "dan"), bersyarat (→, "jika …, kemudian …") dan dua syarat (↔, "jika, dan hanya jika").

Untuk bekerja lebih umum, bukannya mempertimbangkan proposisi tertentu, pemboleh ubah proposisi yang mewakili sebarang cadangan dipertimbangkan, dan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, s, dll.

Rumus proposional adalah gabungan pemboleh ubah proposisi dengan menggunakan beberapa penghubung logik. Dengan kata lain, ia adalah komposisi pemboleh ubah proposisi. Mereka biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani.

Dikatakan bahawa formula cadangan secara logik menyiratkan yang lain apabila yang terakhir itu benar setiap kali yang pertama benar. Ini dilambangkan oleh:

Apabila implikasi logik antara dua formula cadangan adalah timbal balik - iaitu, ketika implikasi sebelumnya juga berlaku dalam pengertian yang berlainan - formula tersebut dikatakan setara secara logik, dan dilambangkan dengan

Kesetaraan logik adalah sejenis persamaan antara formula cadangan dan membolehkan satu diganti dengan yang lain apabila perlu.

Undang-undang Morgan terdiri daripada dua kesamaan logik antara dua bentuk cadangan, iaitu:

Undang-undang ini membenarkan memisahkan penolakan gangguan atau hubungan, sebagai penolakan pemboleh ubah yang terlibat.

Yang pertama boleh dibaca seperti berikut: penolakan gangguan sama dengan gabungan penolakan. Dan yang kedua berbunyi seperti ini: penolakan hubungan adalah pemisahan penolakan.

Dengan kata lain, menafikan pemisahan dua pemboleh ubah proposisional adalah sama dengan gabungan penolakan kedua-dua pemboleh ubah tersebut. Begitu juga, menafikan penyatuan dua pemboleh ubah proposisional sama dengan pemisahan penolakan kedua-dua pemboleh ubah tersebut.

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, penggantian kesetaraan logik ini membantu membuktikan hasil yang penting, bersama dengan peraturan kesimpulan lain yang ada. Dengan ini, anda dapat mempermudah banyak formula cadangan, supaya lebih berguna untuk digunakan.

Berikut ini adalah contoh bukti matematik menggunakan peraturan inferensi, termasuk undang-undang Morgan. Secara khusus, ditunjukkan bahawa formula:

Ia bersamaan dengan:

Yang terakhir lebih mudah difahami dan dikembangkan.

Demonstrasi

Perlu disebutkan bahawa kesahihan undang-undang Morgan dapat ditunjukkan secara matematik. Salah satu caranya adalah dengan membandingkan jadual kebenaran anda.

Set

Peraturan inferensi yang sama dan pengertian logik yang diterapkan pada proposisi juga dapat dikembangkan dengan mempertimbangkan set. Inilah yang dikenali sebagai algebra Boolean, setelah ahli matematik George Boole.

Untuk membezakan kes, perlu mengubah notasi dan memindahkan ke set, semua konsep logik cadangan yang sudah dilihat.

Satu set adalah kumpulan objek. Set dilambangkan dengan huruf besar A, B, C, X, … dan unsur-unsur set dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, x, dll. Apabila elemen milik kumpulan X, elemen tersebut dilambangkan dengan:

Apabila bukan milik X, notasinya adalah:

Cara untuk mewakili set adalah dengan meletakkan elemen mereka di dalam pendakap. Sebagai contoh, sekumpulan nombor semula jadi ditunjukkan oleh:

Set juga dapat diwakili tanpa menulis senarai unsur-unsurnya secara jelas. Mereka boleh dinyatakan dalam bentuk {:}. Kolon dibaca "sedemikian". Di sebelah kiri dua titik, pemboleh ubah diletakkan yang mewakili unsur-unsur set, dan di sebelah kanan diletakkan harta atau keadaan yang mereka memuaskan. Ini adalah:

Sebagai contoh, kumpulan nombor bulat lebih besar daripada -4 dapat dinyatakan sebagai:

Atau setara, dan lebih disingkat, seperti:

Begitu juga, ungkapan berikut mewakili kumpulan nombor ganjil dan genap, masing-masing:

Kesatuan, persimpangan, dan pelengkap set

Selanjutnya kita akan melihat analog penyambung logik dalam kes set, yang merupakan sebahagian daripada operasi asas antara set.

Kesatuan dan persimpangan

Kesatuan dan persimpangan set ditakrifkan, masing-masing, seperti berikut:

Sebagai contoh, pertimbangkan set:

Jadi, anda mesti:

Pelengkap

Pelengkap satu set dibentuk oleh unsur-unsur yang bukan tergolong dalam set tersebut (dari jenis yang sama dengan yang asal). Pelengkap set A, dilambangkan dengan:

Sebagai contoh, dalam nombor semula jadi, pelengkap set nombor genap adalah nombor ganjil, dan sebaliknya.

Untuk menentukan pelengkap satu set, elemen universal atau prinsip utama yang dipertimbangkan mesti jelas sejak awal. Sebagai contoh, tidak sama untuk mempertimbangkan pelengkap set atas nombor semula jadi sebagai nombor rasional.

Jadual berikut menunjukkan hubungan atau analogi yang wujud antara operasi pada set yang telah ditentukan sebelumnya, dan penghubung logik cadangan: