ALJABAR VEKTOR: ASAS, MAGNITUD, VEKTOR - MATEMATIK

The vektor algebra ialah cabang matematik yang kajian sistem persamaan linear, vektor, matriks, ruang vektor dan transformasi linear. Ia berkaitan dengan bidang seperti kejuruteraan, menyelesaikan persamaan pembezaan, analisis fungsional, penyelidikan operasi, grafik komputer, dan lain-lain.

Bidang lain yang telah diterapkan aljabar linier adalah fizik, kerana melalui ini telah memungkinkan untuk mengembangkan kajian mengenai fenomena fizikal, yang menggambarkannya melalui penggunaan vektor. Ini telah memungkinkan pemahaman yang lebih baik mengenai alam semesta.

Asas

Aljabar vektor berasal dari kajian quaternions (peluasan nombor nyata) 1, i, j, dan k, serta dari geometri Cartesian yang dipromosikan oleh Gibbs dan Heaviside, yang menyedari bahawa vektor akan berfungsi sebagai instrumen untuk mewakili pelbagai fenomena fizikal.

Aljabar vektor dikaji melalui tiga asas:

Secara geometri

Vektor diwakili oleh garis yang mempunyai orientasi, dan operasi seperti penambahan, pengurangan dan pendaraban dengan nombor nyata ditentukan melalui kaedah geometri.

Secara analitik

Huraian vektor dan operasi mereka dilakukan dengan nombor, yang disebut komponen. Jenis keterangan ini adalah hasil perwakilan geometri kerana sistem koordinat digunakan.

Secara aksiomatik

Penerangan mengenai vektor dibuat, tanpa mengira sistem koordinat atau jenis perwakilan geometri.

Kajian mengenai angka di ruang dilakukan melalui perwakilannya dalam sistem rujukan, yang dapat dalam satu atau lebih dimensi. Antara sistem utama adalah:

- Sistem satu dimensi, yang merupakan garis lurus di mana satu titik (O) mewakili asal dan titik lain (P) menentukan skala (panjang) dan arahnya:

- Sistem koordinat segi empat tepat (dua dimensi), yang terdiri daripada dua garis tegak lurus yang disebut paksi-x dan paksi-y, yang melewati titik (O) asal; dengan cara ini pesawat dibahagikan kepada empat wilayah yang disebut kuadran. Dalam kes ini titik (P) dalam satah diberikan oleh jarak yang ada antara paksi dan P.

- Sistem koordinat kutub (dua dimensi). Dalam hal ini sistem terdiri dari titik O (asal) yang disebut kutub dan sinar dengan asal di O disebut sumbu kutub. Dalam hal ini titik P satah, dengan merujuk pada tiang dan sumbu kutub, diberikan oleh sudut (Ɵ), yang terbentuk oleh jarak antara asal dan titik P.

- Sistem tiga dimensi segi empat tepat, dibentuk oleh tiga garis tegak lurus (x, y, z) yang asalnya adalah titik O di ruang angkasa. Tiga satah koordinat terbentuk: xy, xz dan yz; ruang akan dibahagikan kepada lapan kawasan yang disebut oktan. Rujukan titik P di angkasa diberikan oleh jarak yang ada antara satah dan P.

Magnitud

Besarnya ialah kuantiti fizikal yang dapat dihitung atau diukur melalui nilai berangka, seperti dalam beberapa fenomena fizikal; namun, berkali-kali perlu untuk dapat menggambarkan fenomena ini dengan faktor selain daripada angka. Itulah sebabnya besarnya dikelaskan kepada dua jenis:

Skala besar

Mereka adalah kuantiti yang ditentukan dan ditunjukkan secara berangka; iaitu dengan modul bersama dengan unit ukuran. Sebagai contoh:

a) Masa: 5 saat.

b) Jisim: 10 kg.

c) Isipadu: 40 ml.

d) Suhu: 40 ºC.

Besarnya vektor

Ini adalah kuantiti yang ditentukan dan diwakili oleh modul bersama-sama dengan unit, serta oleh akal dan arah. Sebagai contoh:

a) Kecepatan: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Pecutan: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Daya: 280 N, 120º.

d) Berat: -40 ĵ kg-f.

Kuantiti vektor ditunjukkan secara grafik oleh vektor.

Apakah vektor?

Vektor adalah gambaran grafik kuantiti vektor; iaitu, mereka adalah segmen garis di mana ujung akhir mereka adalah hujung anak panah.

Ini ditentukan oleh modul atau panjang segmennya, arahnya yang ditunjukkan oleh hujung anak panahnya dan arahnya sesuai dengan garis di mana ia berada. Asal vektor juga dikenali sebagai titik aplikasi.

Unsur vektor adalah seperti berikut:

Modul

Ini adalah jarak dari asal hingga akhir vektor, yang diwakili oleh nombor nyata bersama dengan satu unit. Sebagai contoh:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Alamat

Ini adalah ukuran sudut yang wujud antara paksi x (dari positif) dan vektor, serta titik kardinal (utara, selatan, timur dan barat) digunakan.

Rasa

Ini diberikan oleh anak panah yang terletak di hujung vektor, menunjukkan ke mana ia pergi.

Pengelasan vektor

Secara amnya, vektor dikelaskan sebagai:

Vektor tetap

Ia adalah titik yang digunakan (asal) tetap; iaitu, ia tetap dihubungkan dengan titik di ruang, sehingga tidak dapat bergerak di dalamnya.

Vektor percuma

Ia boleh bergerak bebas di angkasa kerana asalnya bergerak ke titik mana pun tanpa mengubah modul, arah atau arahnya.

Vektor gelangsar

Ia adalah yang dapat memindahkan asal usulnya sepanjang garis tindakannya tanpa mengubah modul, arah atau arahnya.

Sifat vektor

Antara sifat utama vektor adalah seperti berikut:

Kacamata pasukan vektor

Mereka adalah vektor bebas yang mempunyai modul, arah yang sama (atau selari) dan bererti sebagai vektor gelongsor atau vektor tetap.

Vektor yang sama

Ia berlaku apabila dua vektor mempunyai arah yang sama (atau sejajar), pengertian yang sama, dan walaupun mempunyai modul dan titik aplikasi yang berlainan, ia menyebabkan kesan yang sama.

Persamaan vektor

Ini mempunyai modul, arah dan akal yang sama, walaupun titik permulaannya berbeza, yang membolehkan vektor selari menerjemahkan sendiri tanpa mempengaruhinya.

Vektor Bertentangan

Mereka adalah modul yang mempunyai arah dan arah yang sama, tetapi maknanya berlawanan.

Vektor unit

Ia adalah modul di mana modulnya sama dengan unit (1). Ini diperoleh dengan membahagikan vektor dengan modulnya dan digunakan untuk menentukan arah dan rasa vektor, sama ada di satah atau di ruang angkasa, menggunakan dasar atau vektor unit normal, yang:

Vektor kosong

Ia adalah modulus sama dengan 0; iaitu titik asal dan akhir bertepatan pada titik yang sama.

Komponen vektor

Komponen vektor adalah nilai unjuran vektor pada paksi sistem rujukan; Bergantung pada penguraian vektor, yang boleh berada pada paksi dua atau tiga dimensi, masing-masing dua atau tiga komponen akan diperoleh.

Komponen vektor adalah nombor nyata, yang boleh menjadi positif, negatif, atau bahkan sifar (0).

Oleh itu, jika kita mempunyai vektor Ā, dengan asal dalam sistem koordinat segi empat tepat dalam satah xy (dua dimensi), unjuran pada paksi x adalah Āx dan unjuran pada paksi y adalah Āy. Oleh itu, vektor akan dinyatakan sebagai jumlah vektor komponennya.

Contoh

Contoh pertama

Kami mempunyai vektor Ā yang bermula dari asal dan koordinat hujungnya diberikan. Oleh itu, vektor Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Sekiranya vektor Ā bertindak pada asal sistem koordinat segitiga tiga dimensi (dalam ruang) x, y, z, hingga titik lain (P), unjuran pada paksinya akan Āx, Āy dan Āz; oleh itu, vektor akan dinyatakan sebagai jumlah tiga vektor komponennya.

Contoh kedua

Kami mempunyai vektor Ā yang bermula dari asal dan koordinat hujungnya diberikan. Oleh itu, vektor Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Vektor yang mempunyai koordinat segi empat tepatnya dapat dinyatakan dalam bentuk vektor dasarnya. Untuk itu, setiap koordinat hanya boleh didarabkan dengan vektor unit masing-masing, sedemikian rupa sehingga untuk satah dan ruang mereka akan menjadi berikut:

Untuk kapal terbang: Ā = A _x i + A _y j.

Untuk ruang: x = A _x i + A _y j + A _z k.

Operasi vektor

Terdapat banyak kuantiti yang mempunyai modul, akal, dan arah, seperti pecutan, kelajuan, anjakan, daya, antara lain.

Ini diterapkan dalam pelbagai bidang sains, dan untuk menerapkannya, perlu dalam beberapa kes untuk melakukan operasi seperti penambahan, pengurangan, pendaraban dan pembahagian vektor dan skalar.

penambahan dan pengurangan vektor

Penambahan dan pengurangan vektor dianggap sebagai operasi aljabar tunggal kerana pengurangan boleh ditulis sebagai jumlah; sebagai contoh, pengurangan vektor Ā dan Ē boleh dinyatakan sebagai:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Terdapat kaedah yang berbeza untuk melakukan penambahan dan pengurangan vektor: ia boleh berbentuk grafik atau analitik.

Kaedah grafik

Digunakan apabila vektor mempunyai modul, arah dan arah. Untuk ini, garis dilukis yang membentuk angka yang kemudiannya membantu menentukan hasilnya. Antara yang paling terkenal adalah seperti berikut:

Kaedah selari

Untuk membuat penambahan atau pengurangan dua vektor, titik umum dipilih pada paksi koordinat-yang akan mewakili titik asal vektor-, menjaga modul, arah dan arahnya.

Garisan kemudian dilukis selari dengan vektor untuk membentuk parallelogram. Vektor yang dihasilkan adalah pepenjuru yang bergerak dari titik asal kedua vektor ke puncak paralelogram:

Kaedah segitiga

Dalam kaedah ini vektor diletakkan satu demi satu, menjaga modul, arah dan arahnya. Vektor yang dihasilkan akan menjadi penyatuan asal vektor pertama dengan akhir vektor kedua:

Kaedah analisis

Dua atau lebih vektor boleh ditambah atau dikurangkan melalui kaedah geometri atau vektor:

Kaedah geometri

Apabila dua vektor membentuk segitiga atau parallelogram, m) .push ({});

- Properti pembahagian skalar: jika vektor dikalikan dengan jumlah dua skalar, ia sama dengan pendaraban vektor untuk setiap skalar.

Pendaraban vektor

Pendaraban atau produk vektor boleh dilakukan sebagai penambahan atau pengurangan, tetapi melakukannya dengan cara kehilangan makna fizikal dan hampir tidak pernah ditemui dalam aplikasi. Atas sebab ini, jenis produk yang paling biasa digunakan adalah produk skalar dan vektor.

Produk skalar

Ia juga dikenali sebagai produk titik dua vektor. Apabila modul dua vektor dikalikan dengan kosinus sudut terkecil yang terbentuk di antara mereka, skalar diperolehi. Untuk menyatakan produk skalar antara dua vektor, titik diletakkan di antara mereka, dan ini dapat didefinisikan sebagai:

Nilai sudut yang wujud di antara dua vektor akan bergantung pada sama ada selari atau tegak lurus; dengan itu, anda harus:

- Sekiranya vektor selari dan mempunyai pengertian yang sama, kosinus 0º = 1.

- Sekiranya vektor selari dan mempunyai arah yang bertentangan, kosinus 180º = -1.

- Sekiranya vektor tegak lurus, kosinus 90º = 0.

Sudut itu juga dapat dikira dengan mengetahui bahawa:

Produk titik mempunyai sifat berikut:

- Properti komutatif: susunan vektor tidak mengubah skalar.

-Distributive properti: jika skalar dikalikan dengan jumlah dua vektor, ia sama dengan pendaraban skalar untuk setiap vektor.

Produk vektor

Pendaraban vektor, atau hasil silang dua vektor A dan B, akan menghasilkan vektor C baru dan dinyatakan menggunakan persilangan antara vektor:

Vektor baru akan mempunyai ciri tersendiri. Jalan itu:

- Arah: vektor baru ini akan berserenjang dengan satah, yang ditentukan oleh vektor asal.

- Arah: ini ditentukan dengan aturan tangan kanan, di mana vektor A dipusingkan ke arah B, menunjukkan arah putaran dengan jari, dan arah vektor ditandai dengan ibu jari.

- Modul: ditentukan oleh pendaraban modul vektor AxB, dengan sinus sudut terkecil yang ada di antara vektor ini. Ia dinyatakan:

Nilai sudut yang wujud di antara dua vektor akan bergantung pada sama ada selari atau tegak lurus. Oleh itu, adalah mungkin untuk menyatakan perkara berikut:

- Sekiranya vektor selari dan mempunyai pengertian yang sama, sinus 0º = 0.

- Sekiranya vektor selari dan mempunyai arah yang bertentangan, sinus 180º = 0.

- Sekiranya vektor tegak lurus, sinus 90º = 1.

Apabila produk vektor dinyatakan dalam bentuk vektor dasarnya, kita mempunyai: