KAEDAH EULER: UNTUK APA, PROSEDUR DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2026

The kaedah Euler adalah prosedur yang paling asas dan mudah digunakan untuk mencari penyelesaian berangka anggaran kepada satu persamaan kebezaan biasa yang tertib pertama, dengan syarat keadaan awal diketahui.

Persamaan pembezaan biasa (ODE) adalah persamaan yang mengaitkan fungsi tidak diketahui pemboleh ubah bebas tunggal dengan derivatifnya.

Pendekatan berturut-turut dengan kaedah Euler. Sumber: Oleg Alexandrov

Sekiranya terbitan terbesar yang muncul dalam persamaan adalah darjah satu, maka itu adalah persamaan pembezaan biasa darjah pertama.

Kaedah paling umum untuk menulis persamaan darjah pertama ialah:

x = x ₀

y = y ₀

Apakah kaedah Euler?

Idea kaedah Euler adalah untuk mencari penyelesaian berangka untuk persamaan pembezaan dalam selang antara X ₀ dan X _f .

Pertama, selang masa diskresifkan dalam n + 1 mata:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Yang diperoleh seperti ini:
x _i = x ₀ + ih

Di mana h adalah lebar atau langkah subinterval:

Dengan keadaan awal, maka mungkin juga untuk mengetahui turunannya pada awalnya:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Derivatif ini mewakili kemiringan garis singgung ke lengkung fungsi y (x) tepat pada titik:

Ao = (x _o , y _o )

Kemudian ramalan anggaran nilai fungsi y (x) dibuat pada titik berikut:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Titik anggaran penyelesaian seterusnya telah diperoleh, yang sesuai dengan:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Prosedur diulang untuk mendapatkan titik berturut-turut

A ₂ , A ₃ …, x _n

Dalam gambar yang ditunjukkan pada awalnya, lengkung biru mewakili penyelesaian persamaan pembezaan yang tepat, dan yang merah mewakili titik-titik perkiraan berturut-turut yang diperoleh dengan prosedur Euler.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

I ) Biarkan persamaan pembezaan:

Dengan keadaan awal x = a = 0; dan _a = 1

Dengan menggunakan kaedah Euler, dapatkan perkiraan penyelesaian y pada koordinat X = b = 0.5, bahagikan selang menjadi n = 5 bahagian.

Penyelesaian

Hasil berangka dirangkum seperti berikut:

Dari mana disimpulkan bahawa penyelesaian Y untuk nilai 0.5 adalah 1.4851.

Catatan: Smath Studio, program percuma untuk penggunaan percuma, telah digunakan untuk menjalankan pengiraan.

Latihan 2

II ) Teruskan dengan persamaan pembezaan dari latihan I), cari penyelesaian yang tepat dan bandingkan dengan hasil yang diperoleh dengan kaedah Euler. Cari ralat atau perbezaan antara hasil tepat dan anggaran.

Penyelesaian

Penyelesaian yang tepat tidak begitu sukar dicari. Derivatif fungsi sin (x) dikenali sebagai fungsi cos (x). Oleh itu, penyelesaian y (x) adalah:

y (x) = sin x + C

Untuk syarat awal dipenuhi dan (0) = 1, pemalar C mestilah sama dengan 1. Hasil tepat kemudian dibandingkan dengan yang hampir:

Disimpulkan bahawa dalam selang yang dikira, penghampiran mempunyai tiga angka ketepatan yang signifikan.

Latihan 3

III ) Pertimbangkan persamaan pembezaan dan keadaan awalnya yang diberikan di bawah:

y '(x) = - y ²

Dengan keadaan awal x ₀ = 0; dan ₀ = 1

Gunakan kaedah Euler untuk mencari nilai anggaran larutan y (x) pada selang x =. Gunakan langkah h = 0.1.

Penyelesaian

Kaedah Euler sangat sesuai digunakan dengan hamparan. Dalam kes ini, kami akan menggunakan hamparan geogebra, program sumber percuma dan terbuka.

Hamparan dalam gambar menunjukkan tiga lajur (A, B, C) yang pertama adalah pemboleh ubah x, lajur kedua mewakili pemboleh ubah y, dan lajur ketiga adalah terbitan y '.

Baris 2 mengandungi nilai awal X, Y, Y '.

Langkah nilai 0.1 telah diletakkan di sel kedudukan mutlak ($ ​​D $ 4).

Nilai awal y0 berada di sel B2, dan y1 berada di sel B3. Untuk mengira y ₁ formula digunakan:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Rumus spreadsheet ini adalah Nombor B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Begitu juga y2 di sel B4 dan rumusnya ditunjukkan dalam gambar berikut:

Gambar tersebut juga menunjukkan grafik penyelesaian tepat, dan titik A, B,…, P bagi penyelesaian yang hampir dengan kaedah Euler.

Dinamika Newton dan kaedah Euler

Dinamika klasik dikembangkan oleh Isaac Newton (1643 - 1727). Motivasi asal Leonard Euler (1707 - 1783) untuk mengembangkan metodenya, adalah tepat untuk menyelesaikan persamaan hukum kedua Newton dalam pelbagai situasi fizikal.

Undang-undang kedua Newton biasanya dinyatakan sebagai persamaan pembezaan darjah kedua:

Di mana x mewakili kedudukan objek pada masa t. Objek tersebut mempunyai jisim m dan dikenakan daya F. Fungsi f berkaitan dengan daya dan jisim seperti berikut:

Untuk menggunakan kaedah Euler, nilai awal masa t, halaju v dan kedudukan x diperlukan.

Jadual berikut menerangkan bagaimana bermula dari nilai awal t1, v1, x1, perkiraan halaju v2 dan kedudukan x2 dapat diperoleh, pada saat t2 = t1 + Δt, di mana Δt mewakili kenaikan kecil dan sesuai dengan langkah dalam kaedah Euler.

Latihan 4

IV ) Salah satu masalah mendasar dalam mekanik ialah sekatan jisim M yang melekat pada spring (atau spring) pemalar elastik K.

Undang-undang kedua Newton untuk masalah ini kelihatan seperti ini:

Dalam contoh ini, untuk kesederhanaan kita akan mengambil M = 1 dan K = 1. Cari penyelesaian bagi kedudukan x dan halaju v dengan kaedah Euler pada selang masa dengan membahagikan selang menjadi 12 bahagian.

Ambil 0 sebagai sekejap awal, halaju awal 0, dan kedudukan awal 1.

Penyelesaian

Hasil berangka ditunjukkan dalam jadual berikut:

Grafik kedudukan dan halaju antara masa 0 dan 1.44 juga dipaparkan.

Cadangan latihan untuk rumah

Latihan 1

Gunakan spreadsheet untuk menentukan kaedah penyelesaian menggunakan kaedah Euler untuk persamaan pembezaan:

y '= - Exp (-y) dengan keadaan awal x = 0, y = -1 dalam selang x =

Mulakan dengan langkah 0.1. Plot hasilnya.

Latihan 2

Dengan menggunakan spreadsheet cari penyelesaian berangka untuk persamaan kuadratik berikut, di mana y adalah fungsi dari pemboleh ubah bebas t.

y '' = - 1 / y² dengan keadaan awal t = 0; dan (0) = 0.5; y '(0) = 0

Cari penyelesaiannya dalam selang menggunakan langkah 0.05.

Plot hasilnya: y vs t; y 'vs t

Rujukan

1. Kaedah Eurler Diambil dari wikipedia.org
2. Penyelesai Euler. Diambil dari en.smath.com