KAEDAH GAUSS-SEIDEL: PENJELASAN, APLIKASI, CONTOH - MATEMATIK - 2026

Kaedah Gauss-Seidel adalah prosedur berulang untuk mencari penyelesaian bagi sistem persamaan algebra linear dengan ketepatan yang dipilih secara sewenang-wenang. Kaedah ini digunakan untuk matriks persegi dengan unsur-unsur bukan sifar dalam pepenjuru mereka dan penumpuan dijamin jika matriks diagonal dominan.

Ia diciptakan oleh Carl Friedrich Gauss (1777-1855), yang memberikan demonstrasi peribadi kepada salah seorang pelajarnya pada tahun 1823. Ia kemudian diterbitkan secara rasmi oleh Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) pada tahun 1874, maka nama kedua-dua ahli matematik.

Rajah 1. Kaedah Gauss-Seidel berkumpul dengan cepat untuk mendapatkan penyelesaian sistem persamaan. Sumber: F. Zapata.

Untuk pemahaman yang lengkap mengenai kaedah ini, perlu diketahui bahawa matriks adalah diagonal dominan apabila nilai mutlak unsur pepenjuru setiap baris lebih besar daripada atau sama dengan jumlah nilai mutlak unsur-unsur lain dari baris yang sama.

Secara matematik dinyatakan seperti ini:

Penjelasan menggunakan kes mudah

Untuk menggambarkan kaedah Gauss-Seidel, kita akan mengambil satu kes sederhana, di mana nilai X dan Y dapat dijumpai dalam sistem persamaan linear 2 × 2 seperti di bawah:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Langkah untuk diikuti

1- Pertama, adalah perlu untuk menentukan sama ada penumpuan itu selamat. Segera diperhatikan bahawa, sebenarnya, ia adalah sistem yang dominan secara menyerong, kerana pada baris pertama pekali pertama mempunyai nilai mutlak yang lebih tinggi daripada yang lain pada baris pertama:

-5 -> - 2-

Begitu juga, pekali kedua pada baris kedua juga dominan secara menyerong:

--4 -> - 1-

2- Pemboleh ubah X dan Y dibersihkan:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Nilai awal sewenang-wenang diletakkan, disebut "benih": Xo = 1, I = 2.

4-Pengulangan bermula: untuk memperoleh perkiraan pertama X1, Y1, benih diganti dalam persamaan pertama langkah 2 dan hasilnya pada persamaan kedua langkah 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Kami meneruskan dengan cara yang serupa untuk mendapatkan pendekatan kedua penyelesaian sistem persamaan:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Pengulangan ketiga:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Pengulangan keempat, sebagai lelaran terakhir bagi kes ilustrasi ini:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Nilai-nilai ini sangat setuju dengan penyelesaian yang dijumpai dengan kaedah penyelesaian lain. Pembaca dapat menyemaknya dengan cepat dengan bantuan program matematik dalam talian.

Analisis kaedah

Seperti yang dapat dilihat, dalam kaedah Gauss-Seidel, nilai anggaran yang diperoleh untuk pemboleh ubah sebelumnya dalam langkah yang sama mesti diganti dalam pemboleh ubah berikut. Ini membezakannya dengan kaedah berulang yang lain seperti Jacobi, di mana setiap langkah memerlukan perkiraan tahap sebelumnya.

Kaedah Gauss-Seidel bukanlah prosedur yang selari, sedangkan kaedah Gauss-Jordan adalah. Ini juga alasan bahawa kaedah Gauss-Seidel mempunyai penumpuan yang lebih cepat - dalam beberapa langkah - daripada kaedah Jordan.

Bagi keadaan matriks dominan pepenjuru, ini tidak selalu berpuas hati. Walau bagaimanapun, dalam kebanyakan kes, hanya menukar baris dari sistem asal sudah mencukupi untuk memenuhi syarat tersebut. Selanjutnya, kaedah ini hampir selalu berkumpul, walaupun keadaan penguasaan pepenjuru tidak dipenuhi.

Hasil sebelumnya, yang diperoleh dengan empat lelaran kaedah Gauss-Seidel, dapat ditulis dalam bentuk perpuluhan:

X4 = 0.1826

Y4 = 0.04565

Penyelesaian tepat untuk sistem persamaan yang dicadangkan adalah:

X = 2/11 = 0.1818

Y = 1/22 = 0.04545.

Oleh itu, dengan hanya 4 lelaran, anda akan mendapat hasil dengan ketepatan seperseribu (0.001).

Rajah 1 menggambarkan bagaimana lelaran berturut-turut cepat berubah ke penyelesaian tepat.

Permohonan

Kaedah Gauss-Seidel tidak terhad kepada sistem persamaan linear 2 × 2 sahaja. Prosedur sebelumnya dapat digeneralisasikan untuk menyelesaikan sistem linear persamaan n dengan n tidak diketahui, yang ditunjukkan dalam matriks seperti ini:

A X = b

Di mana A adalah matriks nxn, sementara X adalah vektor n komponen n pemboleh ubah yang akan dikira; dan b adalah vektor yang mengandungi nilai-nilai istilah bebas.

Untuk menggeneralisasikan urutan iterasi yang diterapkan dalam kes ilustrasi ke sistem nxn, dari mana pemboleh ubah Xi ingin dikira, formula berikut akan digunakan:

Dalam persamaan ini:

- k adalah indeks untuk nilai yang diperoleh dalam lelaran k.

-k + 1 menunjukkan nilai baru berikut.

Bilangan iterasi akhir ditentukan apabila nilai yang diperoleh dalam lelaran k + 1 berbeza dari nilai yang diperoleh sebelumnya, dengan jumlah ε yang tepat tepat.

Contoh kaedah Gauss-Seidel

- Contoh 1

Tuliskan algoritma umum yang memungkinkan untuk mengira vektor penyelesaian anggaran X dari sistem persamaan linear nxn, memandangkan matriks pekali A, vektor istilah bebas b , bilangan lelaran (i ter) dan nilai awal atau "benih "vektor X .

Penyelesaian

Algoritma terdiri daripada dua kitaran "Ke", satu untuk bilangan lelaran dan satu lagi untuk bilangan pemboleh ubah. Ia adalah seperti berikut:

Untuk k ∊

Untuk saya ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Contoh 2

Periksa pengoperasian algoritma sebelumnya melalui aplikasinya dalam perisian matematik SMath Studio percuma dan percuma, tersedia untuk Windows dan Android. Ambil sebagai contoh kes matriks 2 × 2 yang membantu kita menggambarkan kaedah Gauss-Seidel.

Penyelesaian

Rajah 2. Penyelesaian sistem persamaan contoh 2 x 2, menggunakan perisian SMath Studio. Sumber: F. Zapata.

- Contoh 3

Terapkan algoritma Gauss-Seidel untuk sistem persamaan 3 × 3 berikut, yang sebelumnya disusun sedemikian rupa sehingga pekali pepenjuru dominan (iaitu, nilai mutlak yang lebih besar daripada nilai mutlak koefisien baris yang sama):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Gunakan vektor nol sebagai biji dan pertimbangkan lima lelaran. Komen hasilnya.

Penyelesaian

Rajah 3. Penyelesaian sistem persamaan contoh 3 yang diselesaikan, menggunakan SMath Studio. Sumber: F. Zapata.

Untuk sistem yang sama dengan 10 lelaran dan bukannya 5 hasil berikut diperoleh: X1 = -0.485; X2 = 1.0123; X3 = -0.3406

Ini memberitahu kita bahawa lima iterasi cukup untuk memperoleh tiga tempat ketepatan perpuluhan dan kaedahnya cepat bergabung ke penyelesaiannya.

- Contoh 4

Dengan menggunakan algoritma Gauss-Seidel yang diberikan di atas, cari penyelesaian untuk sistem persamaan 4 × 4 yang diberikan di bawah:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Untuk memulakan kaedah, gunakan benih ini:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 dan x4 = 0

Pertimbangkan 10 lelaran dan anggarkan kesalahan hasilnya, bandingkan dengan bilangan lelaran 11.

Penyelesaian

Rajah 4. Penyelesaian sistem persamaan contoh 4 yang diselesaikan, menggunakan SMath Studio. Sumber: F. Zapata.

Apabila membandingkan dengan lelaran seterusnya (nombor 11), hasilnya sama. Perbezaan terbesar antara kedua lelaran adalah pada urutan 2 × ^10-8 , yang bermaksud bahawa penyelesaian yang ditunjukkan mempunyai ketepatan sekurang-kurangnya tujuh tempat perpuluhan.

Rujukan

1. Kaedah penyelesaian berulang. Gauss-Seidel. Dipulihkan dari: cimat.mx
2. Kaedah berangka. Gauss-Seidel. Dipulihkan dari: test.cua.uam.mx
3. Numerik: Kaedah Gauss-Seidel. Dipulihkan dari: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Kaedah Gauss-Seidel. Dipulihkan dari: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Kaedah Gauss-Seidel. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com