MATRIKS TERBALIK: PENGIRAAN DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2026

The matriks songsang matriks yang diberi adalah matriks yang didarab dengan asal memberikan matriks identiti. Matriks terbalik berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, oleh itu pentingnya mengetahui bagaimana mengira.

Matriks sangat berguna dalam bidang fizik, kejuruteraan, dan matematik, kerana ia adalah alat yang ringkas untuk menyelesaikan masalah yang kompleks. Kegunaan matriks ditingkatkan apabila ia dapat diubah dan kebalikannya juga diketahui.

Rajah 1. Matriks 2 × 2 generik dan matriks terbaliknya ditunjukkan. (Disediakan oleh Ricardo Pérez)

Dalam bidang pemprosesan grafik, Data Besar, Perlombongan Data, Pembelajaran Mesin dan lain-lain, algoritma yang cekap dan pantas digunakan untuk menilai matriks terbalik matriks nxn dengan n yang sangat besar, dalam urutan ribuan atau berjuta-juta.

Untuk menggambarkan penggunaan matriks terbalik dalam menangani sistem persamaan linear, kita akan mulakan dengan kes paling mudah dari semua: matriks 1 × 1.

Kes paling mudah: persamaan linear pemboleh ubah tunggal dipertimbangkan: 2 x = 10.

Ideanya adalah untuk mencari nilai x, tetapi ia akan dilakukan "matriks".

Matriks M = (2) yang mengalikan vektor (x) adalah matriks 1 × 1 yang menghasilkan vektor (10):

M (x) = (10)

Pembalikan matriks M dilambangkan dengan M ^-1 .

Kaedah umum untuk menulis "sistem linear" ini adalah:

MX = B, di mana X adalah vektor (x) dan B adalah vektor (10).

Secara definisi, matriks songsang adalah matriks yang didarab dengan matriks asal menghasilkan matriks identiti I:

M ^-1 M = I

Dalam kes yang dipertimbangkan, matriks M ^-1 adalah matriks (½), iaitu, M ^-1 = (½) sejak M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Untuk mencari vektor yang tidak diketahui X = (x), dalam persamaan yang dicadangkan, kedua-dua anggota didarabkan dengan matriks terbalik:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Persamaan dua vektor telah dicapai, yang sama hanya apabila elemennya sama, iaitu, x = 5.

Mengira kebalikan suatu matriks

Apa yang mendorong pengiraan matriks terbalik adalah mencari kaedah universal untuk penyelesaian sistem linear seperti sistem 2 × 2 berikut:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Mengikuti langkah-langkah kes 1 × 1, yang dikaji pada bahagian sebelumnya, kami menulis sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Rajah 2. Sistem linear dalam bentuk matriks.

Perhatikan bahawa sistem ini ditulis dalam notasi vektor padat seperti berikut:

MX = B

di mana

Langkah seterusnya adalah mencari kebalikan dari M.

Kaedah 1: Menggunakan Penghapusan Gauss

Kaedah penghapusan Gauss akan diterapkan. Yang terdiri daripada melakukan operasi asas pada baris matriks, operasi ini adalah:

- Darabkan satu baris dengan nombor bukan sifar.

- Tambah atau tolak baris lain dari baris, atau gandaan baris lain.

- Tukar baris.

Objektifnya adalah, melalui operasi ini, untuk menukar matriks asal menjadi matriks identiti.

Ketika ini dilakukan, dalam matriks M operasi yang sama digunakan pada matriks identiti. Apabila, setelah beberapa operasi pada baris, M ditransformasikan ke matriks unit, maka yang awalnya unit akan menjadi matriks terbalik dari M, iaitu, M ^-1 .

1- Kami memulakan proses dengan menulis matriks M dan di sebelahnya unit matriks:

2- Kami menambah dua baris dan kami meletakkan hasilnya di baris kedua, dengan cara ini kami memperoleh sifar pada elemen pertama baris kedua:

3- Kami mengalikan baris kedua dengan -1 untuk mendapatkan 0 dan 1 pada baris kedua:

4- Baris pertama didarabkan dengan ½:

5- Yang kedua dan yang pertama ditambahkan dan hasilnya diletakkan di baris pertama:

6- Sekarang untuk menyelesaikan proses, baris pertama didarabkan dengan 2 untuk mendapatkan matriks identiti pada baris pertama dan matriks terbalik dari matriks M asal pada yang kedua:

Maksudnya:

Penyelesaian sistem

Setelah matriks terbalik diperoleh, sistem persamaan diselesaikan dengan menerapkan matriks terbalik kepada kedua-dua anggota persamaan vektor padat:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Yang kelihatan seperti ini:

Kemudian pendaraban matriks dilakukan untuk mendapatkan vektor X:

Kaedah 2: menggunakan matriks terpasang

Dalam kaedah kedua ini matriks songsang dikira dari matriks dampingan matriks asal A .

Katakan matriks A yang diberikan oleh:

di mana _{i, j} adalah unsur yang berturut-turut i dan lajur j matriks A .

Pelengkap matriks A akan dipanggil Adj (A) dan unsur-unsurnya adalah:

iklan _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j |

di mana Ai, j adalah matriks yang lebih rendah pelengkap diperolehi dengan menghapuskan baris i dan lajur j matriks asal A . Bar ¦ ¦ menunjukkan bahawa penentu dikira, iaitu , |Ai, j | adalah penentu matriks pelengkap kecil.

Formula matriks terbalik

Rumus untuk mencari matriks terbalik bermula dari matriks bersebelahan dari matriks asal adalah seperti berikut:

Adalah, matriks songsang A , A ^-1 , adalah alihan daripada dampingan daripada A dibahagikan dengan penentu A .

Transposisi A ^T dari matriks A diperoleh dengan menukar baris dengan lajur, iaitu, baris pertama menjadi lajur pertama dan baris kedua menjadi lajur kedua dan seterusnya sehingga baris n dari matriks asal selesai.

Latihan diselesaikan

Biarkan matriks A seperti berikut:

Setiap elemen matriks bersebelahan A dikira: Adj (A)

Hasilnya bahawa matriks bersebelahan A, Adj (A) adalah berikut:

Kemudian penentu matriks A, det (A) dikira:

Akhirnya matriks terbalik A diperoleh:

Rujukan

1. Anthony Nicolaides (1994) Penentu & Matriks. Penerbitan Lulus.
2. Awol Assen (2013) Kajian Pengiraan Penentu bagi 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Pengenalan kepada aljabar linear. Pengarang ESIC.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Matematik: Panduan Survival Pelajar. Akhbar Universiti Cambridge.
6. Richard J. Brown (2012) 30-Matematik Matematik: 50 Teori Paling Berfokus dalam Matematik. Ivy Press Limited.
7. Matrik. Penerbitan Akademik Lap Lambert.