MOMEN INERSIA: FORMULA, PERSAMAAN DAN CONTOH PENGIRAAN - FIZIKAL - 2026

The momen inersia jasad tegar berkenaan dengan paksi tertentu putaran mewakili rintangan kepada perubahan halaju sudut di seluruh berkata paksi. Ini berkadar dengan jisim dan juga lokasi paksi putaran, kerana badan, bergantung pada geometri, dapat berputar lebih mudah di sekitar paksi tertentu daripada yang lain.

Anggaplah objek besar (terdiri daripada banyak zarah) yang boleh berputar di sekitar paksi. Katakan bahawa daya F bertindak , diterapkan secara tangensial pada elemen jisim Δm _i , yang menghasilkan daya kilas atau momen, yang diberikan oleh τ _net = ∑ r _i x F _i . Vektor r _i adalah kedudukan Δm _i (lihat gambar 2).

Rajah 1. Momen inersia pelbagai tokoh. Sumber: Wikimedia Commons.

Momen ini berserenjang dengan satah putaran (arah + k = meninggalkan kertas). Oleh kerana daya dan vektor kedudukan jejari sentiasa tegak lurus, produk silang tetap:

τ _bersih = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Rajah 2. Zarah kepunyaan pepejal tegar dalam putaran. Sumber: Serway, R. 2018. Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. Pembelajaran Cengage.

Pecutan a _i mewakili komponen tangensial pecutan, kerana pecutan radial tidak menyumbang kepada tork. Sebagai fungsi pecutan sudut α, kita dapat menunjukkan bahawa:

Oleh itu tork bersih kelihatan seperti ini:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Percepatan sudut adalah sama untuk keseluruhan objek, oleh itu ia tidak dipengaruhi oleh subskrip "i" dan dapat meninggalkan penjumlahan, yang merupakan momen inersia objek yang dilambangkan dengan huruf I:

Ini adalah momen inersia pembahagian jisim diskrit. Apabila pembahagiannya berterusan, penjumlahan digantikan dengan integral dan Δm menjadi dm pembezaan jisim. Integral dilakukan pada keseluruhan objek:

Unit untuk masa inersia dalam Sistem Antarabangsa SI ialah kg xm ² . Ini adalah kuantiti skalar dan positif, kerana ia adalah hasil jisim dan segiempat jarak.

Contoh pengiraan

Objek yang dilanjutkan, seperti bar, disk, sfera atau lain-lain, yang ketumpatan ρnya tetap dan mengetahui bahawa ketumpatan adalah nisbah jisim-isipadu, pembezaan jisim dm ditulis sebagai:

Mengganti dalam integral untuk momen inersia, kami mempunyai:

Ini adalah ungkapan umum, berlaku untuk objek tiga dimensi, yang isipadu V dan kedudukan r adalah fungsi koordinat spasial x, y, dan z. Perhatikan bahawa tetap, ketumpatan berada di luar kamiran.

Ketumpatan ρ juga dikenali sebagai ketumpatan pukal, tetapi jika objeknya sangat rata, seperti kepingan atau sangat tipis dan sempit seperti batang, bentuk ketumpatan lain dapat digunakan, mari kita lihat:

- Untuk kepingan yang sangat nipis, ketumpatan untuk digunakan adalah σ, kepadatan permukaan (jisim per unit luas) dan dA adalah pembezaan kawasan.

- Dan jika itu adalah bar nipis, di mana hanya panjang yang relevan, kepadatan jisim linear λ dan pembezaan panjang digunakan, mengikut paksi yang digunakan sebagai rujukan.

Dalam contoh yang berikut, semua objek dianggap kaku (tidak boleh ubah bentuk) dan mempunyai ketumpatan yang seragam.

Momen inersia bar nipis berkenaan dengan sumbu yang melewati pusatnya

Di sini kita akan mengira momen inersia bar nipis, kaku, homogen, panjang L dan jisim M, berkenaan dengan paksi yang melewati medium.

Pertama, perlu membuat sistem koordinat dan membina angka dengan geometri yang sesuai, seperti ini:

Rajah 3. Geometri untuk mengira momen inersia batang nipis berkenaan dengan paksi menegak yang melewati pusatnya. Sumber: F. Zapata.

Paksi-x di sepanjang bar dan paksi-y dipilih sebagai paksi putaran. Prosedur untuk menetapkan integral juga memerlukan memilih pembezaan jisim pada bar, yang disebut dm, yang mempunyai panjang pembezaan dx dan terletak di kedudukan sewenang-wenang x, berkenaan dengan pusat x = 0.

Menurut definisi ketumpatan jisim linear λ:

Oleh kerana ketumpatannya seragam, yang berlaku untuk M dan L, ia juga berlaku untuk dm dan dx:

Sebaliknya, elemen jisim berada di posisi x, jadi dengan menggantikan geometri ini dalam definisi, kita mempunyai integral yang pasti, yang hadnya adalah hujung bar mengikut sistem koordinat:

Menggantikan ketumpatan linier λ = M / L:

Untuk mengetahui momen inersia bar berkenaan dengan paksi putaran yang lain, misalnya yang melewati salah satu hujungnya, anda boleh menggunakan teorema Steiner (lihat latihan diselesaikan pada akhir) atau melakukan pengiraan langsung yang serupa dengan yang ditunjukkan di sini, tetapi mengubahsuai geometri dengan tepat.

Momen inersia cakera berkenaan dengan sumbu yang melewati pusatnya

Cakera yang sangat nipis dengan ketebalan yang boleh diabaikan adalah bentuk rata. Sekiranya jisim diagihkan secara seragam ke seluruh permukaan kawasan A, ketumpatan jisim σ adalah:

Kedua dm dan dA sesuai dengan jisim dan luas cincin pembezaan yang ditunjukkan dalam gambar. Kami akan menganggap bahawa keseluruhan unit berputar di sekitar paksi-y.

Anda dapat membayangkan bahawa cakera terdiri daripada banyak cincin konsentris radius r, masing-masing dengan momen inersia masing-masing. Menambah sumbangan semua gelang hingga mencapai jari-jari R, kita akan mempunyai jumlah momen inersia cakera.

Rajah 4. Geometri untuk mengira momen inersia cakera, berkenaan dengan paksi paksi. Sumber: F. Zapata.

Di mana M mewakili keseluruhan jisim cakera. Luas cakera bergantung pada jari-jarinya sebagai:

Berasal dari r:

Mengganti perkara di atas dalam definisi I:

Mengganti σ = M / (BCR ² ) kita mendapat:

Momen inersia sfera pepejal kira-kira diameter

Sfera jari-jari R dapat dianggap sebagai rangkaian disk yang disusun satu di atas yang lain, di mana setiap cakera jisim dm tak terhingga, jari-jari r dan ketebalan dz, mempunyai momen inersia yang diberikan oleh:

Untuk mencari perbezaan ini, kami hanya mengambil formula dari bahagian sebelumnya dan masing-masing menggantikan M dan R untuk dm dan r. Cakera seperti ini dapat dilihat dalam geometri rajah 5.

Rajah 5. Geometri untuk mengira momen inersia pepejal jejari R berkenaan dengan paksi yang melalui diameter. Sumber: F. Zapata.

Dengan menambahkan semua momen inersia disk yang bertumpuk, jumlah momen inersia sfera diperoleh:

Yang bersamaan dengan:

Untuk menyelesaikan kamiran anda perlu menyatakan dm dengan tepat. Seperti biasa, ia dicapai dari ketumpatan:

Isipadu cakera pembezaan adalah:

Ketinggian cakera adalah ketebalan dz, sementara luas pangkalannya adalah πr ² , oleh itu:

Dan menggantikan dalam nombor yang dicadangkan akan kelihatan seperti ini:

Tetapi sebelum menyepadukan, kita mesti melihat bahawa r –radius cakera- bergantung pada z dan R –radius sfera-, seperti yang dapat dilihat dari gambar 5. Menggunakan teorema Pythagoras:

Yang membawa kita ke:

Untuk mengintegrasikan seluruh bidang, kami perhatikan bahawa z berbeza antara –R dan R, oleh itu:

Mengetahui bahawa ρ = M / V = ​​M / akhirnya diperoleh, setelah dipermudahkan:

Momen inersia silinder pepejal berkenaan dengan paksi paksi

Untuk objek ini, kaedah yang serupa dengan yang digunakan untuk sfera digunakan, hanya kali ini lebih mudah jika silinder dibayangkan dibentuk oleh cangkang silinder dengan radius r, ketebalan dr dan tinggi H, seolah-olah mereka adalah lapisan bawang. .

Rajah 6. Geometri untuk mengira momen inersia silinder pepejal jejari R berkenaan dengan paksi paksi. Sumber: Serway, R. 2018. Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. Cengage.

Isipadu dV lapisan silinder adalah:

Oleh itu jisim shell adalah:

Ungkapan ini digantikan dalam definisi momen inersia:

Persamaan di atas menunjukkan bahawa momen inersia silinder tidak bergantung pada panjangnya, tetapi hanya pada jisim dan jejarinya. Sekiranya L berubah, momen inersia mengenai paksi paksi akan tetap sama. Atas sebab ini, silinder I bertepatan dengan cakera nipis yang dikira sebelumnya.

Momen inersia kepingan segi empat tepat dengan sumbu yang melewati pusatnya

Paksi-y mendatar telah dipilih sebagai paksi putaran. Gambar di bawah menunjukkan geometri yang diperlukan untuk melaksanakan integrasi:

Rajah 7. Geometri untuk mengira momen inersia plat segi empat tepat dengan paksi yang selari dengan kepingan dan melewati pusatnya. Sumber: F. Zapata.

Elemen kawasan yang ditandakan dengan warna merah adalah segi empat tepat. Luasnya adalah asas x tinggi, oleh itu:

Oleh itu pembezaan jisim adalah:

Mengenai jarak dari elemen kawasan ke paksi putaran, ia selalu z. Kami menggantikan semua ini dalam penggabungan momen inersia:

Sekarang kepadatan jisim permukaan σ digantikan oleh:

Dan ia kelihatan seperti ini:

Perhatikan bahawa ia seperti bar nipis.

Momen inersia kepingan persegi sehubungan dengan sumbu yang melewati pusatnya

Untuk segiempat sama dengan sisi L, dalam ungkapan sebelumnya yang berlaku untuk sebuah segi empat tepat, ganti nilai b dengan nilai L:

Momen Teorema Inersia

Terdapat dua teorema yang sangat berguna untuk mempermudah pengiraan momen inersia berkenaan dengan paksi lain, yang mungkin sukar dijumpai kerana kekurangan simetri. Teorema ini adalah:

Teorema Steiner

Juga disebut teorema paksi selari, ia mengaitkan momen inersia berkenaan dengan paksi dengan paksi yang melewati pusat jisim objek, selagi sumbu selari. Untuk mengaplikasikannya, perlu mengetahui jarak D antara kedua-dua paksi dan tentunya jisim M objek.

Biarkan saya _{z menjadi} momen inersia objek yang dilanjutkan berkenaan dengan paksi z, I _CM momen inersia berkenaan dengan paksi yang melewati pusat jisim (CM) objek tersebut, maka berpuas hati bahawa:

Atau dalam notasi rajah berikut: I _{z '} = I _z + Md ²

Rajah 8. Teorema atau paksi selari Steiner. Sumber: Wikimedia Commons. Jack Lihat

Teorema paksi tegak lurus

Teorema ini diterapkan pada permukaan satah dan berjalan seperti ini: momen inersia objek satah di sekitar paksi tegak lurus dengan itu adalah jumlah momen inersia di sekitar dua paksi tegak lurus dengan paksi pertama:

Rajah 9. Teorema paksi tegak lurus. Sumber: F. Zapata.

Sekiranya objek mempunyai simetri sehingga I _x dan I _y sama, maka benar bahawa:

Latihan diselesaikan

Cari momen inersia bar berkenaan dengan paksi yang melewati salah satu hujungnya, seperti yang ditunjukkan pada gambar 1 (di bawah dan di sebelah kanan) dan gambar 10.

Rajah 10. Momen inersia bar homogen di sekitar paksi yang melewati satu hujung. Sumber: F. Zapata.

Penyelesaian:

Kita sudah mempunyai momen inersia bar di sekitar paksi yang melewati pusat geometri. Oleh kerana bar itu homogen, pusat jisimnya berada pada ketika itu, jadi ini akan menjadi _{CM kita} untuk menerapkan teorema Steiner.

Sekiranya panjang bar adalah L, paksi z berada pada jarak D = L / 2, oleh itu:

Rujukan

1. Bauer, W. 2011. Fizik untuk Kejuruteraan dan Sains. Jilid 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Asas Fizik. Pearson. 190-200.
3. Teorem Paksi Selari. Dipulihkan dari: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. Cengage.
5. Universiti Sevilla. Momen inersia pepejal sfera. Dipulihkan dari: laplace.us.es.
6. Universiti Sevilla. Momen inersia sistem zarah. Dipulihkan dari: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Teorema paksi selari. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org