NOMBOR EULER ATAU NOMBOR E: BERAPA HARGANYA, SIFAT, APLIKASI - MATEMATIK - 2025

The Euler nombor atau nombor e adalah pemalar matematik yang terkenal yang sering muncul dalam pelbagai aplikasi saintifik dan ekonomi, bersama-sama dengan π nombor dan nombor penting yang lain dalam matematik.

Kalkulator saintifik mengembalikan nilai berikut untuk nombor e:

Rajah 1. Nombor Euler kerap muncul dalam Sains. Sumber: F. Zapata.

e = 2.718281828 …

Tetapi banyak lagi perpuluhan yang diketahui, contohnya:

e = 2.71828182845904523536…

Dan komputer moden telah menemui triliunan tempat perpuluhan untuk nombor e.

Ini adalah nombor tidak rasional, yang bermaksud bahawa ia mempunyai bilangan tempat perpuluhan yang tidak terbatas tanpa corak berulang (urutan 1828 muncul dua kali pada awalnya dan tidak lagi diulang).

Ini juga bermaksud bahawa nombor e tidak dapat diperoleh sebagai hasil bagi dua nombor bulat.

Sejarah

Nombor e dikenal pasti oleh saintis Jacques Bernoulli pada tahun 1683 ketika dia mempelajari masalah minat majmuk, tetapi sebelumnya ia muncul secara tidak langsung dalam karya ahli matematik Skotlandia John Napier, yang mencipta logaritma sekitar tahun 1618.

Namun, Leonhard Euler pada tahun 1727 yang memberikannya nama nombor e dan secara intensif mempelajari sifatnya. Inilah sebabnya mengapa ia juga dikenali sebagai nombor Euler dan juga sebagai asas semula jadi untuk logaritma semula jadi (eksponen) yang sedang digunakan.

Berapakah bilangan nombor e?

Nombor e bernilai:

e = 2.71828182845904523536…

Elipsis bermaksud bahawa terdapat bilangan tempat perpuluhan yang tidak terhingga dan sebenarnya, dengan komputer hari ini, berjuta-juta di antaranya diketahui.

Perwakilan nombor e

Terdapat beberapa cara untuk menentukan e yang kami terangkan di bawah:

Nombor e sebagai had

Salah satu dari pelbagai cara di mana nombor e dinyatakan adalah yang dijumpai oleh saintis Bernoulli dalam karyanya mengenai minat majmuk:

Di mana anda harus menjadikan nilai n bilangan yang sangat besar.

Sangat mudah untuk diperiksa, dengan bantuan kalkulator, bahawa apabila n sangat besar, ungkapan sebelumnya cenderung kepada nilai e yang diberikan di atas.

Sudah tentu kita boleh bertanya kepada diri sendiri berapa besar n yang boleh dibuat, jadi mari kita cuba nombor bulat, seperti ini misalnya:

n = 1000; 10,000 atau 100,000

Dalam kes pertama kita memperoleh e = 2.7169239…. Pada e kedua = 2.7181459… dan yang ketiga lebih dekat dengan nilai e: 2.7182682. Kita sudah dapat membayangkan bahawa dengan n = 1,000,000 atau lebih besar, anggarannya akan lebih baik.

Dalam bahasa matematik, prosedur membuat n semakin dekat dengan nilai yang sangat besar disebut had hingga tak terhingga dan dilambangkan seperti ini:

Untuk menunjukkan tak terhingga, simbol "∞" digunakan.

Nombor e sebagai jumlah

Anda juga boleh menentukan nombor e melalui operasi ini:

Angka-angka yang muncul dalam penyebut: 1, 2, 6, 24, 120 … sesuai dengan operasi n!, Di mana:

Dan mengikut definisi 0! = 1.

Adalah mudah untuk memeriksa bahawa semakin banyak penambahan yang ditambahkan, semakin tepat nombor e dicapai.

Mari kita lakukan beberapa ujian dengan kalkulator, dengan menambahkan lebih banyak lagi tambah:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Semakin banyak istilah yang ditambahkan pada jumlah, semakin banyak hasilnya menyerupai e.

Ahli matematik merancang notasi ringkas untuk jumlah ini yang melibatkan banyak istilah, menggunakan simbol penjumlahan Σ:

Ungkapan ini dibaca seperti ini "jumlah dari n = 0 hingga tak terhingga 1 antara n faktorial".

Nombor e dari sudut pandang geometri

Nombor e mempunyai perwakilan grafik yang berkaitan dengan kawasan di bawah grafik lengkung:

y = 1 / x

Apabila nilai x adalah antara 1 dan e, kawasan ini sama dengan 1, seperti yang digambarkan dalam gambar berikut:

Rajah 2. Perwakilan grafik nombor e: luas di bawah lengkung 1 / x, antara x = 1 dan x = e bernilai 1. Sumber: F. Zapata.

Sifat nombor e

Beberapa sifat nombor e adalah:

-Ini tidak rasional, dengan kata lain, ia tidak dapat diperoleh hanya dengan membahagi dua nombor bulat.

-Nombor e juga merupakan nombor transenden, yang bermaksud bahawa e bukanlah penyelesaian untuk persamaan polinomial.

-Ia berkaitan dengan empat nombor terkenal lain dalam bidang matematik, iaitu: π, i, 1 dan 0, melalui identiti Euler:

-Nombor kompleks yang disebut dapat dinyatakan melalui e.

-Ia merupakan asas logaritma semula jadi atau semula jadi pada masa kini (definisi asal John Napier sedikit berbeza).

-Ianya satu-satunya nombor sehingga logaritma semula jadi sama dengan 1, iaitu:

Permohonan

Statistik

Angka e muncul sangat kerap dalam bidang kebarangkalian dan statistik, muncul dalam pelbagai taburan, seperti normal atau Gaussian, Poisson's dan lain-lain.

Kejuruteraan

Dalam kejuruteraan sering terjadi, kerana fungsi eksponen y = e ^x terdapat dalam mekanik dan elektromagnetisme, misalnya. Di antara banyak aplikasi yang dapat kita sebutkan:

-Kabel atau rantai yang digantung di hujungnya, menggunakan bentuk lekukan yang diberikan oleh:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

- Kapasitor C yang mula-mula dibebaskan, yang disambungkan secara bersiri ke perintang R dan sumber voltan V untuk dicas, memperoleh cas Q tertentu sebagai fungsi masa t yang diberikan oleh:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC} )

biologi

Fungsi eksponen y = Ae ^Bx , dengan pemalar A dan B, digunakan untuk memodelkan pertumbuhan sel dan pertumbuhan bakteria.

Fizikal

Dalam fizik nuklear, peluruhan radioaktif dan penentuan usia dimodelkan oleh temu janji radiokarbon.

Ekonomi

Dalam pengiraan faedah kompaun nombor e timbul secara semula jadi.

Katakan anda mempunyai sejumlah wang P _o untuk melabur dengan kadar faedah i% per tahun.

Sekiranya anda meninggalkan wang selama 1 tahun, selepas itu anda akan mempunyai:

Selepas satu tahun lagi tanpa menyentuhnya, anda akan mempunyai:

Dan berterusan dengan cara ini selama n tahun:

Sekarang mari kita ingat salah satu definisi e:

Ia kelihatan seperti ungkapan untuk P, jadi mesti ada hubungan.

Kami akan mengagihkan kadar faedah nominal i dalam n jangka masa, dengan cara ini kadar faedah kompaun adalah i / n:

Ungkapan ini kelihatan lebih mirip dengan had kami, tetapi tetap tidak sama.

Walau bagaimanapun, setelah beberapa manipulasi algebra dapat ditunjukkan bahawa dengan melakukan perubahan pemboleh ubah ini:

Wang P kami menjadi:

Dan apa yang ada di antara pendakap, walaupun ditulis dengan huruf h, sama dengan argumen had yang mendefinisikan angka e, hanya ada hadnya.

Mari buat h → ∞, dan apa yang ada di antara pendakap menjadi nombor e. Ini tidak bermaksud bahawa kita harus menunggu lama untuk mengeluarkan wang kita.

Sekiranya kita melihat dengan teliti, dengan membuat h = n / i dan cenderung ∞, apa yang sebenarnya telah kita lakukan adalah menyebarkan kadar faedah dalam jangka masa yang sangat kecil:

i = n / j

Ini dipanggil pengkompaunan berterusan. Dalam kes sedemikian, jumlah wang dengan mudah dikira seperti ini:

Di mana saya adalah kadar faedah tahunan. Contohnya, apabila mendepositkan € 12 pada kadar 9% per tahun, melalui permodalan berterusan, setelah satu tahun anda mempunyai:

Dengan keuntungan € 1.13.

Rujukan

1. Nikmati matematik. Kepentingan kompaun: Komposisi berkala. Dipulihkan dari: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1st. Mempelbagaikan. Edisi CO-BO.
3. García, M. Nombor e dalam kalkulus asas. Dipulihkan dari: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dewan Prentice.
5. Larson, R. 2010. Pengiraan pemboleh ubah. 9hb. Edisi. Bukit McGraw.