NOMBOR KESELURUHAN: SIFAT, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2026

Bilangan bulat adalah sekumpulan nombor berguna untuk mengira objek yang lengkap dan belum. Juga untuk menghitung mereka yang berada di satu sisi dan di tempat lain dari tempat rujukan tertentu.

Dengan nombor bulat, anda boleh melakukan pengurangan atau perbezaan antara nombor dan nombor yang lebih besar daripadanya, hasilnya diselesaikan sebagai hutang, misalnya. Perbezaan antara pendapatan dan hutang masing-masing dibuat dengan tanda + dan -.

Rajah 1. Garis nombor untuk nombor bulat. Sumber: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Oleh itu, set nombor bulat merangkumi yang berikut:

-Bilangan bulat positif, yang ditulis didahului dengan tanda +, atau hanya tanpa tanda, kerana juga difahami bahawa mereka positif. Contohnya: +1, +2, + 3 … dan seterusnya.

-0, di mana tanda tidak relevan, kerana tidak masalah untuk menambahkannya untuk mengurangkannya dari beberapa kuantiti. Tetapi 0 sangat penting, kerana ini adalah rujukan untuk bilangan bulat: di satu sisi adalah positif dan yang lain negatif, seperti yang kita lihat pada gambar 1.

-Negeri bilangan bulat, yang mesti selalu ditulis didahului dengan tanda - kerana dengan jumlah tersebut seperti hutang dan semua yang ada di seberang rujukan dibezakan. Contoh bilangan bulat negatif ialah: -1, -2, -3 … dan selepas itu.

Bagaimanakah bilangan bulat diwakili?

Pada awalnya kita mewakili bilangan bulat dengan notasi set: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, iaitu, senarai dan tersusun. Tetapi perwakilan yang sangat berguna adalah gambaran yang digunakan oleh garis nombor. Ini memerlukan melukis garis, yang umumnya mendatar, di mana 0 ditandai dan dibahagikan kepada bahagian yang sama:

Rajah 2. Perwakilan nombor bulat pada garis nombor. Dari 0 ke kanan adalah bilangan bulat positif dan dari 0 ke kiri yang negatif. Sumber: F. Zapata.

Negatif pergi ke kiri 0 dan positif ke kanan. Anak panah pada garis nombor melambangkan bahawa nombor terus ke tak terhingga. Memandangkan bilangan bulat, selalu mungkin untuk mencari yang lebih besar atau yang lebih kecil.

Nilai mutlak bagi bilangan bulat

Nilai mutlak bagi bilangan bulat adalah jarak antara nombor dan 0. Dan jarak selalu positif. Oleh itu, nilai mutlak bagi bilangan bulat negatif adalah nombor tanpa tanda tolaknya.

Sebagai contoh, nilai mutlak -5 adalah 5. Nilai mutlak dilambangkan dengan bar, seperti berikut:

--5- = 5

Untuk menggambarkannya, hitung jarak pada garis nombor, dari -5 hingga 0. Manakala nilai mutlak bagi bilangan bulat positif adalah nombor yang sama, misalnya - + 3- = 3, kerana jaraknya dari 0 adalah dengan 3 ruang:

Rajah 3. Nilai mutlak bagi nombor bulat adalah kuantiti positif. Sumber: F. Zapata.

Hartanah

- Set bilangan bulat dilambangkan sebagai Z dan merangkumi kumpulan nombor semula jadi N, unsur-unsurnya tidak terbatas.

-Bilangan bulat dan nombor yang diikuti (atau nombor yang mendahuluinya) selalu dibezakan dalam kesatuan. Contohnya, selepas 5 datang 6, dengan 1 perbezaan antara mereka.

-Setiap bilangan bulat mempunyai pendahulu dan pengganti.

-Setiap bilangan bulat positif lebih besar daripada 0.

-Bilangan bulat negatif selalu kurang dari 0 dan sebarang nombor positif. Contohnya, nombor -100, ini kurang dari 2, daripada 10 dan daripada 50. Tetapi juga kurang dari -10, -20 dan -99 dan lebih besar daripada -200.

-0 tidak mempunyai pertimbangan tanda, kerana tidak negatif atau positif.

-Dengan nombor bulat, anda boleh menjalankan operasi yang sama dengan nombor semula jadi, iaitu: penambahan, pengurangan, pendaraban, pemberdayaan dan banyak lagi.

-Bilangan bulat yang berlawanan dengan bilangan bulat tertentu x, adalah –x dan jumlah integer dengan yang berlawanan adalah 0:

x + (-x) = 0.

Operasi dengan bilangan bulat

- Jumlah

-Jika nombor yang akan ditambahkan mempunyai tanda yang sama, nilai mutlaknya ditambahkan dan hasilnya ditempatkan dengan tanda yang terdapat pada tambahan tersebut. Berikut adalah beberapa contoh:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Jika nombor mempunyai tanda yang berbeza, nilai mutlak dikurangkan (tertinggi dari yang paling rendah) dan hasilnya diletakkan dengan tanda nombor dengan nilai mutlak tertinggi, seperti berikut:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Sifat bilangan bulat

-Jumlahnya adalah komutatif, oleh itu susunan tambahan tidak mengubah jumlahnya. Biarkan a dan b menjadi dua bilangan bulat, memang benar a + b = b + a

-0 adalah unsur neutral dari jumlah bilangan bulat: a + 0 = a

-Setiap bilangan bulat yang ditambahkan pada kebalikannya adalah 0. Kebalikan dari + a adalah –a, dan sebaliknya, kebalikan dari -a adalah + a. Oleh itu: (+ a) + (-a) = 0.

Rajah 2. Peraturan tanda untuk penambahan nombor bulat. Sumber: Wikimedia Commons.

- Pengurangan

Untuk mengurangkan nombor bulat, seseorang mesti dipandu oleh peraturan ini: pengurangan bersamaan dengan penambahan nombor dengan sebaliknya. Biarkan a dan b menjadi dua nombor, kemudian:

a - b = a + (-b)

Sebagai contoh, andaikan anda perlu melakukan operasi berikut: (-3) - (+7), kemudian:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Pendaraban

Pendaraban nombor bulat mengikuti peraturan tertentu untuk tanda:

-Produk dua nombor dengan tanda yang sama selalu positif.

-Jika dua nombor dengan tanda berlainan dikalikan, hasilnya selalu negatif.

-Nilai produk sama dengan mengalikan nilai mutlak masing-masing.

Segera beberapa contoh yang menjelaskan perkara di atas:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Sifat pendaraban bilangan bulat

-Ganda adalah komutatif. Biarkan a dan b menjadi dua bilangan bulat, benar bahawa: ab = ba, yang juga dapat dinyatakan sebagai:

-Elemen neutral pendaraban adalah 1. Biarkan bilangan bulat, oleh itu a.1 = 1

-Setiap bilangan bulat didarabkan dengan 0 sama dengan 0: a.0 = 0

Harta agihan

Pendaraban mematuhi harta pengagihan berkenaan dengan penambahan. Sekiranya a, b dan c adalah nombor bulat maka:

a. (b + c) = ab + ac

Berikut adalah contoh cara menggunakan harta tanah ini:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Pemerkasaan

-Jika asasnya positif, hasil operasi sentiasa positif.

-Apabila asasnya negatif, jika eksponennya genap, hasilnya positif. dan jika eksponen itu ganjil, hasilnya adalah negatif.

- Bahagian

Peraturan tanda yang sama berlaku dalam pembahagian seperti dalam pendaraban:

-Bagi membahagi dua nombor bulat dengan tanda yang sama, hasilnya selalu positif.

-Ketika dua bilangan bulat dengan tanda yang berbeza dibahagikan, hasilnya adalah negatif.

Sebagai contoh:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Penting : pembahagian tidak bersifat komutatif, dengan kata lain a ÷ b ≠ b ÷ a dan seperti biasa, pembahagian dengan 0 tidak dibenarkan.

- Pemerkasaan

Biarkan menjadi bilangan bulat dan kita ingin menaikkannya menjadi eksponen n, maka kita mesti mengalikannya sendiri dengan n, seperti yang ditunjukkan di bawah:

a ⁿ = aaaa… .. .a

Pertimbangkan juga perkara berikut, dengan mengambil kira bahawa n adalah nombor semula jadi:

-Jika a negatif dan n genap, hasilnya positif.

-Apabila a negatif dan n ganjil, ia menghasilkan nombor negatif.

-Jika positif dan n genap atau ganjil, bilangan bulat positif selalu terhasil.

-Setiap bilangan bulat yang dinaikkan menjadi 0 sama dengan 1: a ⁰ = 1

-Setiap nombor yang dinaikkan menjadi 1 sama dengan nombor: a ¹ = a

Katakan misalnya bahawa kita ingin mencari (–3) ⁴ , untuk melakukannya kita mengalikan (-3) empat kali dengan sendirinya, seperti ini: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Contoh lain, juga dengan bilangan bulat negatif adalah:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Produk kuasa sama rata

Katakan dua kekuatan dengan pangkalan yang sama, jika kita mengalikannya, kita memperoleh kuasa lain dengan pangkalan yang sama, yang eksponennya adalah jumlah dari eksponen yang diberikan:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Kuasa asas sama

Apabila membahagi daya dari pangkalan yang sama, hasilnya adalah kekuatan dengan pangkalan yang sama, yang eksponennya adalah pengurangan dari eksponen yang diberikan:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Berikut adalah dua contoh yang menjelaskan perkara ini:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Contoh

Mari kita lihat contoh mudah untuk menerapkan peraturan ini, dengan mengingat bahawa sekiranya bilangan bulat positif, tanda itu dapat dikeluarkan:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Semut bergerak di sepanjang garis nombor dalam rajah 1. Bermula dari titik x = +3, ia melakukan pergerakan berikut:

-Menggerakkan 7 unit ke kanan

-Sekarang anda mengembalikan 5 unit ke kiri

-Jalan 3 unit lagi ke kiri.

-Dia kembali dan menggerakkan 4 unit ke kanan.

Pada tahap manakah semut di akhir lawatan?

Penyelesaian

Mari kita panggil perpindahan D. Ketika di sebelah kanan mereka diberi tanda positif dan ketika di sebelah kiri tanda negatif. Dengan cara ini, dan bermula dari x = +3 kita mempunyai:

-Pertama D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Kedua D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Ketiga D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Kamar D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Apabila semut selesai berjalan, ia berada di kedudukan x = +6. Iaitu 6 unit di sebelah kanan 0 pada garis nombor.

- Latihan 2

Selesaikan operasi berikut:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Penyelesaian

Operasi ini mengandungi tanda pengelompokan, yang merupakan tanda kurung, kurungan persegi, dan pendakap. Semasa menyelesaikan, anda harus menjaga kurungan terlebih dahulu, kemudian kurungan, dan terakhir pendakap. Dengan kata lain, anda harus berusaha dari dalam ke luar.

Dalam latihan ini, titik mewakili pendaraban, tetapi jika tidak ada titik antara angka dan tanda kurung atau simbol lain, ia juga difahami sebagai produk.

Di bawah resolusi langkah demi langkah, warna berfungsi sebagai panduan untuk mengikuti hasil pengurangan tanda kurung, yang merupakan simbol pengelompokan paling dalam:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Latihan 3

Selesaikan persamaan darjah pertama:

12 + x = 30 + 3x

Penyelesaian

Istilah dikumpulkan dengan yang tidak diketahui di sebelah kiri persamaan, dan istilah berangka di sebelah kanan:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Rujukan

1. Carena, M. 2019. Manual Matematik Pra-Universiti. Universiti Kebangsaan Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematik Tingkatan 7. Edisi CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Pemilihan topik Matematik. Penerbitan Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dewan Prentice.
5. Nombor bulat. Dipulihkan dari: Cimanet.uoc.edu.