NOMBOR KHAYALAN: SIFAT, APLIKASI, CONTOH - MATEMATIK - 2025

Yang nombor khayalan adalah mereka yang menyelesaikan persamaan di mana tidak diketahui, dinaikkan persegi adalah sama dengan nombor nyata negatif. Unit khayalan adalah i = √ (-1).

Dalam persamaan: z ² = - a, z adalah nombor khayalan yang dinyatakan seperti berikut:

z = √ (-a) = i√ (a)

Menjadi nombor nyata positif. Sekiranya a = 1, maka z = i, di mana saya adalah unit khayalan.

Rajah 1. satah kompleks menunjukkan beberapa nombor nyata, beberapa nombor khayalan, dan beberapa nombor kompleks. Sumber: F. Zapata.

Secara amnya, nombor z khayalan murni selalu dinyatakan dalam bentuk:

z = y⋅i

Di mana y adalah nombor nyata dan i adalah unit khayalan.

Sama seperti nombor nyata ditunjukkan pada garis, disebut garis nyata, dengan cara yang sama nombor khayalan ditunjukkan pada garis khayalan.

Garis khayalan selalu ortogonal (bentuk 90º) ke ​​garis nyata dan dua garis menentukan satah Cartesian yang disebut satah kompleks.

Pada rajah 1 satah kompleks ditunjukkan dan di atasnya beberapa nombor nyata, beberapa nombor khayalan dan juga beberapa nombor kompleks ditunjukkan:

X ₁ , X ₂ , X ₃ adalah nombor nyata

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ adalah nombor khayalan

Z ₂ dan Z ₃ adalah nombor kompleks

Nombor O adalah sifar nyata dan itu juga sifar khayalan, jadi asal O adalah nol kompleks yang dinyatakan oleh:

0 + 0i

Hartanah

Kumpulan nombor khayalan dilambangkan dengan:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

Dan anda boleh menentukan beberapa operasi pada set berangka ini. Nombor khayalan tidak selalu diperoleh dari operasi ini, jadi mari kita lihat dengan lebih terperinci:

Tambah dan tolak khayalan

Nombor khayalan dapat ditambahkan dan dikurangkan antara satu sama lain, menghasilkan nombor khayalan baru. Sebagai contoh:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produk khayalan

Apabila produk satu nombor khayalan dengan nombor yang lain dibuat, hasilnya adalah nombor nyata. Mari lakukan operasi berikut untuk memeriksanya:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Dan seperti yang kita lihat, -6 adalah nombor nyata, walaupun ia telah diperoleh dengan mengalikan dua nombor khayalan murni.

Produk nombor nyata oleh khayalan lain

Sekiranya nombor nyata dikalikan dengan i, hasilnya akan menjadi nombor khayalan, yang sesuai dengan putaran 90 darjah berlawanan arah jarum jam.

Dan i ² sepadan dengan dua putaran berturut-turut 90 darjah, yang bersamaan dengan mengalikan dengan -1, iaitu, i ² = -1. Ia dapat dilihat dalam rajah berikut:

Rajah 2. Pendaraban dengan unit khayalan i sesuai dengan putaran berlawanan arah jarum jam 90º. Sumber: wikimedia commons.

Sebagai contoh:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Memperkasa khayalan

Anda boleh menentukan potensi nombor khayalan kepada eksponen integer:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Secara umum kita mempunyai i ⁿ = i ^ (n mod 4), di mana mod adalah baki pembahagian antara n dan 4.

Potensiasi bilangan bulat negatif juga boleh dilakukan:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Secara umum, nombor khayalan yang dinaikkan ke kekuatan n adalah:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Beberapa contohnya adalah seperti berikut:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Jumlah nombor nyata dan nombor khayalan

Apabila anda menambahkan nombor nyata dengan nombor khayalan, hasilnya tidak nyata atau khayalan, itu adalah jenis nombor baru yang disebut nombor kompleks.

Contohnya, jika X = 3.5 dan Y = 3.75i, maka hasilnya adalah nombor kompleks:

Z = X + Y = 3.5 + 3.75 i

Perhatikan bahawa dalam jumlahnya bahagian nyata dan khayalan tidak dapat dikelompokkan, jadi bilangan yang kompleks akan selalu mempunyai bahagian nyata dan bahagian khayalan.

Operasi ini memperluas set nombor nyata hingga bilangan kompleks yang terluas.

Permohonan

Nama nombor khayalan diusulkan oleh ahli matematik Perancis René Descartes (1596-1650) sebagai ejekan atau tidak setuju dengan cadangan yang sama yang dibuat oleh ahli matematik Itali abad ini Raffaelle Bombelli.

Ahli matematik hebat lain, seperti Euler dan Leibniz, menyokong Descartes dalam perselisihan ini dan memanggil nombor khayalan nombor amfibi, yang terbelah antara menjadi dan tidak ada.

Nama nombor khayalan masih ada hari ini, tetapi keberadaan dan kepentingannya sangat nyata dan jelas, kerana ia muncul secara semula jadi dalam banyak bidang fizik seperti:

-Teori relativiti.

-Dalam elektromagnetisme.

-Mekanik kuantum.

Latihan dengan nombor khayalan

- Latihan 1

Cari penyelesaian persamaan berikut:

z ² + 16 = 0

Penyelesaian

z ² = -16

Mengambil punca kuasa dua anggota yang kita ada:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Dengan kata lain, penyelesaian persamaan asal adalah:

z = + 4i oz = -4i.

- Latihan 2

Cari hasil peningkatan unit khayalan ke daya 5 tolak pengurangan unit khayalan yang dinaikkan ke daya -5.

Penyelesaian

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Latihan 3

Cari hasil operasi berikut:

(3i) ³ + 9i

Penyelesaian

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Latihan 4

Cari penyelesaian persamaan kuadratik berikut:

(-2x) ² + 2 = 0

Penyelesaian

Persamaan disusun semula seperti berikut:

(-2x) ² = -2

Kemudian akar kuasa dua anggota diambil

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Kemudian kami menyelesaikan x untuk akhirnya memperoleh:

x = ± √2 / 2 i

Yaitu, ada dua kemungkinan penyelesaian:

x = (√2 / 2) i

Atau ini lain:

x = - (√2 / 2) i

- Latihan 5

Cari nilai Z yang ditentukan oleh:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Penyelesaian

Kita tahu bahawa punca kuasa dua nombor nyata negatif adalah nombor khayalan, sebagai contoh √ (-9) sama dengan √ (9) x √ (-1) = 3i.

Sebaliknya, √ (-4) sama dengan √ (4) x √ (-1) = 2i.

Jadi persamaan asal boleh diganti dengan:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Latihan 6

Cari nilai Z yang terhasil daripada pembahagian dua nombor kompleks berikut:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Penyelesaian

Pengangka ungkapan boleh difaktorkan menggunakan sifat berikut:

Jadi:

Z = / (3 + i)

Ungkapan yang dihasilkan disederhanakan di bawah, meninggalkan

Z = (3 - i)

Rujukan

1. Earl, R. Nombor kompleks. Dipulihkan dari: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1st. Mempelbagaikan. Edisi CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Pemilihan topik Matematik. Penerbitan Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dewan Prentice.
5. Wikipedia. Nombor khayalan. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org