NOMBOR PERDANA: CIRI, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2026

Yang nombor perdana , juga dikenali sebagai Perdana mutlak, adalah mereka nombor asli yang hanya boleh dibahagikan dengan diri mereka sendiri dan 1. Kategori ini nombor seperti 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan banyak tambah.

Sebaliknya, nombor komposit dapat dibahagikan dengan sendirinya, dengan 1, dan sekurang-kurangnya satu nombor lain. Kita mempunyai contoh 12, yang dapat dibahagi dengan 1, 2, 4, 6 dan 12. Secara konvensional, 1 tidak termasuk dalam senarai nombor perdana atau dalam senarai sebatian.

Rajah 1. Beberapa nombor perdana. Sumber: Wikimedia Commons.

Pengetahuan mengenai bilangan prima bermula dari zaman kuno; orang-orang Mesir kuno sudah menggunakannya dan mereka pasti dikenali lama.

Nombor-nombor ini sangat penting, kerana sebarang nombor semula jadi dapat ditunjukkan oleh produk nombor perdana, representasi ini unik, kecuali mengikut urutan faktor.

Fakta ini sepenuhnya wujud dalam teorema yang disebut Fundamental Theorem of Arithmetic, yang menyatakan bahawa nombor yang tidak prima semestinya terdiri daripada produk nombor yang.

Ciri-ciri nombor perdana

Berikut adalah ciri utama nombor perdana:

-Mereka tidak terbatas, kerana tidak kira seberapa besar bilangan prima, anda selalu dapat mencari yang lebih besar.

-Jika nombor perdana p tidak membagi nombor a dengan tepat, maka dikatakan bahawa p dan a adalah satu sama lain. Apabila ini berlaku, satu-satunya pembahagi umum yang dimiliki kedua-duanya adalah 1.

Tidak perlu untuk menjadi perdana mutlak. Sebagai contoh, 5 adalah perdana, dan walaupun 12 tidak, kedua-dua nombor adalah satu sama lain, kerana kedua-duanya mempunyai 1 sebagai pembahagi biasa.

-Apabila nombor perdana p membahagi kekuatan nombor n, ia juga membahagi n. Mari kita pertimbangkan 100, yang merupakan kekuatan 10, khususnya 10 ² . Ia berlaku bahawa 2 membahagi kedua-dua 100 dan 10.

-Semua nombor perdana ganjil kecuali 2, oleh itu digit terakhirnya adalah 1, 3, 7 atau 9. 5 tidak termasuk, kerana walaupun nombor ganjil dan prima, ia tidak pernah menjadi angka akhir bagi nombor perdana yang lain. Sebenarnya semua nombor yang diakhiri dengan 5 adalah gandaan dari ini dan oleh itu mereka tidak prima.

-Jika p adalah perdana dan pembahagi produk dua nombor ab, maka p membahagikan salah satu daripadanya. Sebagai contoh, nombor perdana 3 membahagikan produk 9 x 11 = 99, kerana 3 adalah pembahagi 9.

Bagaimana untuk mengetahui sama ada nombor adalah prima

Keutamaan adalah nama yang diberikan kepada kualiti menjadi prima. Nah, ahli matematik Perancis Pierre de Fermat (1601-1665) menemui cara untuk mengesahkan keutamaan nombor, dalam teorema Fermat kecil yang disebut, yang berbunyi seperti ini:

"Mengingat nombor semula jadi p dan nombor semula jadi yang lebih besar daripada 0, memang benar bahawa ^p - a adalah gandaan p, asalkan p adalah perdana".

Kita boleh mengesahkannya dengan menggunakan bilangan kecil, misalnya anggap p = 4, yang sudah kita ketahui tidak prima dan sudah = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Nombor 1290 tidak dapat dibahagikan dengan tepat oleh 4, oleh itu 4 bukan nombor perdana.

Mari buat ujian sekarang dengan p = 5, yang utama dan ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 boleh dibahagi dengan 5, kerana sebarang nombor yang berakhir dengan 0 atau 5 adalah. Sebenarnya 7760/5 = 1554. Oleh kerana teorema kecil Fermat berlaku, kita dapat memastikan bahawa 5 adalah nombor perdana.

Bukti melalui teorema berkesan dan langsung dengan bilangan kecil, di mana operasi mudah dijalankan, tetapi apa yang harus dilakukan jika kita diminta untuk mengetahui keutamaan sebilangan besar?

Dalam kes itu, nombor itu secara berturut-turut dibahagikan di antara semua nombor perdana yang lebih kecil, sehingga pembahagian tepat dijumpai atau hasilnya kurang daripada pembahagi.

Sekiranya ada pembahagian tepat, ini bermaksud bahawa bilangannya adalah komposit dan jika hasilnya kurang daripada pembahagi, ini bermaksud bahawa bilangannya adalah bilangan prima. Kami akan mempraktikkannya dalam latihan yang diselesaikan 2.

Cara mencari nombor perdana

Terdapat banyak bilangan prima dan tidak ada satu formula untuk menentukannya. Walau bagaimanapun, melihat beberapa nombor perdana seperti ini:

3, 7, 31, 127 …

Telah diperhatikan bahawa mereka adalah bentuk 2 ⁿ - 1, dengan n = 2, 3, 5, 7, 9 … Kami memastikan ini:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Tetapi kita tidak dapat memastikan bahawa secara umum 2 ⁿ - 1 adalah utama, kerana terdapat beberapa nilai n yang tidak berfungsi, misalnya 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Dan nombor 15 tidak prima, kerana berakhir pada 5. Namun, salah satu bilangan prima terbesar yang diketahui, yang dijumpai oleh pengiraan komputer, adalah bentuk 2 ⁿ - 1 dengan:

n = 57,885,161

Formula Mersenne memberi jaminan kepada kita bahawa 2 ^p - 1 sentiasa prima, selagi p juga prima. Sebagai contoh, 31 adalah prima, jadi sudah pasti bahawa 2 ³¹ - 1 juga utama :

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

Walau bagaimanapun, formula itu membolehkan anda menentukan hanya beberapa nombor perdana, bukan semua.

Formula Euler

Polinomial berikut membolehkan mencari nombor perdana dengan syarat n adalah antara 0 dan 39:

P (n) = n ² + n + 41

Kemudian di bahagian latihan yang diselesaikan terdapat contoh penggunaannya.

Penapis Eratosthenes

Eratosthenes adalah seorang ahli fizik dan ahli matematik dari Yunani Kuno yang hidup pada abad ke-3 SM. Dia merancang kaedah grafik untuk mencari nombor perdana yang dapat kita praktikkan dengan bilangan kecil, ia disebut saringan Eratosthenes (ayakan seperti saringan).

-Nombor diletakkan di dalam jadual seperti yang ditunjukkan dalam animasi.

- Nombor genap kemudian dicoret, kecuali 2 yang kita tahu adalah perdana. Semua yang lain adalah gandaan dari ini dan oleh itu tidak utama.

-Gandaan 3, 5, 7 dan 11 juga ditandai, tidak termasuk semuanya kerana kita tahu mereka adalah perdana.

-Gandaan 4, 6, 8, 9 dan 10 sudah ditandai, kerana ia adalah sebatian dan oleh itu gandaan beberapa bilangan prima yang ditunjukkan.

-Akhirnya, nombor yang tetap tidak bertanda adalah utama.

Gambar 2. Animasi penyaring Eratosthenes. Sumber: Wikimedia Commons.

Latihan

- Latihan 1

Dengan menggunakan polinomial Euler untuk nombor perdana, cari 3 nombor lebih besar daripada 100.

Penyelesaian

Inilah polinomial yang dicadangkan oleh Euler untuk mencari nombor perdana, yang berfungsi untuk nilai n antara 0 dan 39.

P (n) = n ² + n + 41

Dengan percubaan dan kesilapan, kami memilih nilai n, misalnya n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Oleh kerana n = 8 menghasilkan bilangan prima lebih besar daripada 100, maka kita menilai polinomial untuk n = 9 dan n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Latihan 2

Ketahui apakah nombor berikut adalah utama:

a) 13

b) 191

Penyelesaian untuk

Angka 13 cukup kecil untuk menggunakan teorema kecil Fermat dan bantuan kalkulator.

Kami menggunakan a = 2 sehingga angka tidak terlalu besar, walaupun a = 3, 4 atau 5 juga dapat digunakan:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 boleh dibahagi dengan 2, kerana ia genap, oleh itu 13 adalah utama. Pembaca dapat mengesahkan ini dengan melakukan ujian yang sama dengan a = 3.

Penyelesaian b

191 terlalu besar untuk dibuktikan dengan teorema dan kalkulator biasa, tetapi kita dapat mencari pembahagian antara setiap nombor perdana. Kami menghilangkan pembahagi dengan 2 kerana 191 tidak sama rata dan pembahagiannya tidak tepat atau hasilnya kurang dari 2.

Kami cuba membahagikan dengan 3:

191/3 = 63,666 …

Dan itu tidak memberikan yang tepat, juga hasilnya kurang daripada pembahagi (63,666… lebih besar daripada 3)

Kami terus berusaha membahagikan 191 antara bilangan prima 5, 7, 11, 13 dan kedua-dua pembahagian yang tepat tidak dapat dicapai, atau hasilnya kurang daripada pembahagi. Sehingga dibahagi dengan 17:

191/17 = 11, 2352 …

Oleh kerana ia tidak tepat dan 11.2352… kurang dari 17, angka 191 adalah yang utama.

Rujukan

1. Baldor, A. 1986. Aritmetik. Edisi dan Edaran Codex.
2. Prieto, C. Nombor perdana. Dipulihkan dari: paginas.matem.unam.mx.
3. Sifat nombor perdana. Dipulihkan dari: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Nombor perdana: bagaimana mencarinya dengan penapis Eratosthenes. Dipulihkan dari: smartick.es.
5. Wikipedia. Nombor perdana. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org.