NOMBOR RASIONAL: SIFAT, CONTOH DAN OPERASI - MATEMATIK - 2026

Yang nombor nisbah adalah nombor boleh diperolehi sebagai pembahagian dua integer. Contoh nombor rasional ialah: 3/4, 8/5, -16/3 dan nombor yang terdapat dalam rajah berikut. Dalam nombor rasional, penanda ditunjukkan, mungkin untuk melakukannya kemudian jika diperlukan.

Angka itu mewakili objek apa pun, bulat untuk keselesaan yang lebih besar. Sekiranya kita mahu membahagikannya kepada 2 bahagian yang sama, seperti di sebelah kanan, kita mempunyai dua bahagian yang tersisa dan masing-masing bernilai 1/2.

Rajah 1. Nombor rasional digunakan untuk membahagikan keseluruhan menjadi beberapa bahagian. Sumber: Freesvg.

Dengan membaginya menjadi 4 bahagian yang sama, kita akan mendapat 4 keping dan masing-masing bernilai 1/4, seperti pada gambar di tengahnya. Dan jika ia harus dibahagikan kepada 6 bahagian yang sama, setiap bahagian bernilai 1/6, yang kita lihat dalam gambar di sebelah kiri.

Sudah tentu, kita juga boleh membaginya menjadi dua bahagian yang tidak sama, misalnya kita dapat menyimpan 3/4 bahagian dan menyimpan 1/4 bahagian. Pembahagian lain juga boleh dilakukan, seperti bahagian 4/6 dan bahagian 2/6. Yang penting ialah jumlah semua bahagian adalah 1.

Dengan cara ini, terbukti bahawa dengan nombor rasional anda dapat membahagikan, mengira dan mengedarkan barang seperti makanan, wang, tanah dan semua jenis objek secara pecahan. Oleh itu, jumlah operasi yang dapat dilakukan dengan nombor diperluas.

Nombor rasional juga dapat dinyatakan dalam bentuk perpuluhan, seperti yang dapat dilihat dalam contoh berikut:

1/2 = 0.5

1/3 = 0.3333… ..

3/4 = 0.75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

Kemudian kita akan menunjukkan bagaimana untuk pergi dari satu bentuk ke bentuk lain dengan contoh.

Sifat nombor rasional

Nombor rasional, yang setnya akan kita tunjukkan dengan huruf Q, mempunyai sifat berikut:

-Q merangkumi nombor semula jadi N dan bilangan bulat Z.

Dengan mengambil kira bahawa sebarang nombor a dapat dinyatakan sebagai hasil bagi antara ia dan 1, mudah dilihat bahawa di antara nombor rasional terdapat juga nombor semula jadi dan bilangan bulat.

Oleh itu, nombor semula jadi 3 boleh ditulis sebagai pecahan, dan juga -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Dengan cara ini, Q adalah satu set berangka yang merangkumi bilangan nombor yang lebih banyak, sesuatu yang sangat diperlukan, kerana nombor "bulat" tidak cukup untuk menggambarkan semua kemungkinan operasi yang perlu dilakukan.

-Rasional nombor boleh ditambah, dikurangkan, didarabkan dan dibahagi, hasil operasi menjadi nombor rasional: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Di antara setiap pasangan nombor rasional, nombor rasional lain selalu dijumpai. Sebenarnya antara dua nombor rasional terdapat nombor rasional yang tidak terbatas.

Sebagai contoh, antara rasional 1/4 dan 1/2 adalah rasional 3/10, 7/20, 2/5 (dan banyak lagi), yang dapat disahkan dengan menyatakannya sebagai perpuluhan.

-Setiap nombor rasional boleh dinyatakan sebagai: i) nombor bulat atau ii) perpuluhan terhad (ketat) atau berkala: 4/2 = 2; 1/4 = 0.25; 1/6 = 0.16666666 ……

-Bilangan yang sama dapat ditunjukkan oleh pecahan setara yang tidak terhingga dan semuanya tergolong dalam Q. Mari lihat kumpulan ini:

Kesemuanya mewakili perpuluhan 0.428571 …

-Daripada semua pecahan setara yang mewakili nombor yang sama, pecahan tidak dapat direduksi, yang paling mudah, adalah wakil kanonik bagi nombor itu. Wakil kanonik contoh di atas ialah 3/7.

Rajah 2.- Kumpulan Q bagi nombor rasional. Sumber: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Contoh nombor rasional

-Pecahan yang betul, mereka yang pengangkanya kurang daripada penyebutnya:

-Pecahan yang tidak betul, yang pengangkanya lebih besar daripada penyebutnya:

-Nombor semula jadi dan nombor bulat:

-Pecahan sepadan:

Perwakilan perpuluhan bagi nombor rasional

Apabila pembilang dibahagi dengan penyebutnya, bentuk perpuluhan nombor rasional dijumpai. Sebagai contoh:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111…

6/11 = 0.545454…

Dalam dua contoh pertama, bilangan tempat perpuluhan adalah terhad. Ini bermaksud bahawa apabila pembahagian dilakukan, baki 0 ​​akhirnya diperoleh.

Sebaliknya, dalam dua yang berikutnya, bilangan tempat perpuluhan tidak terbatas dan itulah sebabnya elipsis diletakkan. Dalam kes terakhir terdapat corak dalam perpuluhan. Bagi pecahan 1/9, nombor 1 diulang selama-lamanya, sementara pada 6/11 adalah 54.

Apabila ini berlaku, perpuluhan dikatakan berkala dan dilambangkan dengan karet seperti ini:

Ubah perpuluhan menjadi pecahan

Sekiranya ia adalah perpuluhan terhad, koma akan dihapuskan dan penyebutnya menjadi unit diikuti oleh angka nol sebanyak terdapat angka dalam perpuluhan. Contohnya, untuk mengubah perpuluhan 1.26 menjadi pecahan, tuliskan seperti ini:

1.26 = 126/100

Kemudian pecahan yang dihasilkan disederhanakan secara maksimum:

126/100 = 63/50

Sekiranya perpuluhan tidak terhad, tempoh pertama dikenal pasti. Kemudian langkah-langkah ini diikuti untuk mencari pecahan yang dihasilkan:

-Numerator adalah pengurangan antara nombor (tanpa koma atau karet) dan bahagian yang tidak mempunyai karet.

-Penyebutnya adalah bilangan bulat dengan bilangan 9 sebanyak angka di bawah sirkumfleks, dan sebanyak 0 terdapat angka di bahagian perpuluhan yang tidak berada di bawah sirkumfleks.

Mari ikuti prosedur ini untuk mengubah nombor perpuluhan 0.428428428… menjadi pecahan.

-Pertama, titik dikenal pasti, yang merupakan urutan yang diulang: 428.

-Kemudian operasi mengurangkan nombor tanpa koma atau aksen dilakukan: 0428 dari bahagian yang tidak mempunyai sirkumfleks, iaitu 0. Oleh itu 428 - 0 = 428.

-Penyebut dibina, mengetahui bahawa di bawah sirkumfleks ada 3 angka dan semuanya berada di bawah sirkumfleks. Oleh itu penyebutnya adalah 999.

- Akhirnya pecahan dibentuk dan dipermudahkan jika boleh:

0.428 = 428/999

Tidak mustahil untuk mempermudahkan lagi.

Operasi dengan nombor rasional

- Tambah dan tolak

Pecahan dengan penyebut yang sama

Apabila pecahan mempunyai penyebut yang sama, penambahan dan / atau pengurangannya sangat mudah, kerana pembilangnya hanya ditambahkan secara aljabar, meninggalkan yang sama dengan penambahan sebagai penyebut hasilnya. Akhirnya, jika boleh, dipermudahkan.

Contohnya

Lakukan penambahan aljabar berikut dan permudahkan hasilnya:

Pecahan yang dihasilkan sudah tidak dapat diredakan.

Pecahan dengan penyebut yang berbeza

Dalam kes ini, penambahan digantikan dengan pecahan setara dengan penyebut yang sama dan kemudian prosedur yang telah dijelaskan diikuti.

Contohnya

Tambahkan nombor rasional berikut secara algebra, mempermudah hasilnya:

Langkah-langkahnya adalah:

-Tentukan gandaan paling minimum (lcm) penyebut 5, 8 dan 3:

lcm (5,8,3) = 120

Ini akan menjadi penyebut bagi pecahan yang dihasilkan tanpa mempermudah.

-Untuk setiap pecahan: bahagi LCM dengan penyebut dan darabkan dengan pembilang. Hasil operasi ini diletakkan, dengan tanda masing-masing, di pengangka pecahan. Dengan cara ini, pecahan yang setara dengan asalnya diperoleh, tetapi dengan LCM sebagai penyebutnya.

Sebagai contoh, untuk pecahan pertama, pengangka dibina seperti ini: (120/5) x 4 = 96 dan kita mendapat:

Teruskan dengan cara yang sama untuk pecahan yang tinggal:

Akhirnya, pecahan setara diganti tanpa melupakan tandanya dan jumlah pembilang algebra dilakukan:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Pendaraban dan pembahagian

Pendaraban dan pembahagian dilakukan mengikut peraturan yang ditunjukkan di bawah:

Rajah 3. Peraturan untuk mengalikan dan membahagi nombor rasional. Sumber: F. Zapata.

Walau apa pun, penting untuk diingat bahawa pendaraban adalah komutatif, yang bermaksud bahawa susunan faktor tidak mengubah produk. Ini tidak berlaku dengan pembahagian, jadi perhatian mesti diambil untuk menghormati perintah antara dividen dan pembahagi.

Contoh 1

Jalankan operasi berikut dan permudahkan hasilnya:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Jawapan kepada

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Jawapan b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Contoh 2

Luisa mempunyai $ 45. Dia menghabiskan sepersepuluh dari itu untuk membeli sebuah buku dan 2/5 dari apa yang tersisa di t-shirt. Berapa banyak wang yang ditinggalkan Luisa? Nyatakan hasilnya sebagai pecahan yang tidak dapat direduksi.

Penyelesaian

Kos buku (1/10) x $ 45 = 0.1 x $ 45 = $ 4.5

Oleh itu, Luisa ditinggalkan dengan:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

Dengan wang itu, Luisa pergi ke kedai pakaian dan membeli baju itu, yang harganya adalah:

(2/5) x $ 40.5 = $ 16.2

Kini Luisa mempunyai portfolio:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

Untuk menyatakannya sebagai pecahan ditulis seperti ini:

24.3 = 243/10

Itu tidak boleh ditolak.

Rujukan

1. Baldor, A. 1986. Aritmetik. Edisi dan Edaran Codex.
2. Carena, M. 2019. Manual Matematik. Universiti Kebangsaan Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Matematik 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dewan Prentice.
5. Nombor rasionalnya. Dipulihkan dari: Cimanet.uoc.edu.
6. Nombor rasional. Dipulihkan dari: webdelprofesor.ula.ve.