PARABOLOID HIPERBOLIK: DEFINISI, SIFAT DAN CONTOH - MATEMATIK - 2026

A paraboloid hiperbolik adalah permukaan yang persamaan umum dalam koordinat Cartesian (x, y, z) memenuhi persamaan berikut:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Nama "paraboloid" berasal dari fakta bahawa pemboleh ubah z bergantung pada kuasa dua pemboleh ubah x dan y. Sementara kata sifat "hiperbolik" disebabkan oleh fakta bahawa pada nilai tetap z kita mempunyai persamaan hiperbola. Bentuk permukaan ini serupa dengan pelana kuda.

Rajah 1. Paraboloid hiperbolik z = x ² - y ² . Sumber: F. Zapata menggunakan Wolfram Mathematica.

Penerangan mengenai paraboloid hiperbolik

Untuk memahami sifat paraboloid hiperbolik, analisis berikut akan dibuat:

1.- Kita akan mengambil kes tertentu a = 1, b = 1, iaitu bahawa persamaan Cartesian dari paraboloid kekal sebagai z = x ² - y ² .

2.- Pesawat dianggap selari dengan satah ZX, iaitu, y = ctte.

3.- Dengan y = ctte ia tetap z = x ² - C, yang mewakili parabola dengan cabang ke atas dan bucu di bawah satah XY.

Rajah 2. Keluarga lengkung z = x ² - C. Sumber: F. Zapata menggunakan Geogebra.

4.- Dengan x = ctte ia tetap z = C - y ² , yang mewakili parabola dengan cabang ke bawah dan bucu di atas satah XY.

Rajah 3. Keluarga lengkung z = C - y ² . Sumber: F. Zapata melalui Geogebra.

5.- Dengan z = ctte ia tetap C = x ² - y ² , yang mewakili hiperbola dalam satah yang selari dengan satah XY. Apabila C = 0 terdapat dua garis (pada + 45º dan -45º sehubungan dengan paksi X) yang bersilang pada titik asal pada satah XY.

Rajah 4. Keluarga lengkung x ² - y ² = C. Sumber: F. Zapata menggunakan Geogebra ..

Sifat paraboloid hiperbolik

1.- Empat titik berbeza dalam ruang tiga dimensi menentukan satu dan satu paraboloid hiperbolik sahaja.

2.- Paraboloid hiperbolik adalah permukaan yang diperintah dua kali ganda. Ini bermaksud bahawa walaupun merupakan permukaan yang melengkung, dua garis yang berlainan melewati setiap titik paraboloid hiperbolik yang sepenuhnya tergolong dalam paraboloid hiperbolik. Permukaan lain yang bukan satah dan diperintah dua kali ganda adalah hiperboloid revolusi.

Tepatnya adalah sifat kedua dari parabola hiperbolik yang memungkinkan penggunaannya secara meluas dalam seni bina kerana permukaannya dapat dihasilkan dari balok atau tali lurus.

Sifat kedua dari parabola hiperbolik memberikan definisi alternatif: ia adalah permukaan yang dapat dihasilkan oleh garis lurus bergerak yang selari dengan satah tetap dan memotong dua garis tetap yang berfungsi sebagai panduan. Gambar berikut menjelaskan definisi alternatif paraboloid hiperbolik ini:

Rajah 5. Paraboloid hiperbolik adalah permukaan yang diperintah dua kali ganda. Sumber: F. Zapata.

Contoh Berfungsi

- Contoh 1

Tunjukkan bahawa persamaan: z = xy, sepadan dengan paraboloid hiperbolik.

Penyelesaian

Suatu transformasi akan diterapkan pada pemboleh ubah x dan y yang sesuai dengan putaran paksi Cartesian berkenaan dengan paksi Z + 45º. Koordinat x dan y lama diubah menjadi x 'dan y' yang baru mengikut hubungan berikut:

x = x '- y'

y = x '+ y'

sementara koordinat z tetap sama, iaitu z = z '.

Dengan menggantikan dalam persamaan z = xy kita mempunyai:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Dengan mengaplikasikan perbezaan produk dengan jumlah yang sama dengan perbezaan kuasa dua, kita mempunyai:

z '= x' ² - y ' ²

yang jelas sesuai dengan definisi awal yang diberikan mengenai parabola hiperbolik.

Pemintasan satah selari dengan paksi XY dengan parabola hiperbolik z = xy menentukan hiperbola sama sisi yang mempunyai asimptot satah x = 0 dan y = 0.

- Contoh 2

Tentukan parameter a dan b paraboloid hiperbolik yang melewati titik A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) dan D (2, -1, 32/9).

Penyelesaian

Menurut sifatnya, empat titik dalam ruang tiga dimensi menentukan satu parabola hiperbolik tunggal. Persamaan umum adalah:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Kami menggantikan nilai yang diberikan:

Untuk titik A kita mempunyai 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , persamaan yang berpuas hati apa pun nilai parameter a dan b.

Mengganti titik B, kami memperoleh:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Sementara untuk titik C tetap:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Akhirnya, untuk titik D kami memperoleh:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Yang serupa dengan persamaan sebelumnya. Pada akhirnya, sistem persamaan mesti diselesaikan:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Mengurangkan persamaan kedua dari yang pertama memberikan:

27/9 = 3 / a ² yang menunjukkan bahawa ² = 1.

Dengan cara yang sama, persamaan kedua dikurangkan dari empat kali ganda yang pertama, memperoleh:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Yang dipermudahkan sebagai:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Ringkasnya, paraboloid hiperbolik yang melewati titik A, B, C dan D yang diberikan mempunyai persamaan Cartesian yang diberikan oleh:

z = x ² - (4/9) y ²

- Contoh 3

Menurut sifat-sifat paraboloid hiperbolik, dua garis melewati setiap titik yang benar-benar terkandung di dalamnya. Untuk kes z = x ^ 2 - y ^ 2 cari persamaan dua garis yang melewati titik P (0, 1, -1) yang jelas tergolong dalam paraboloid hiperbolik, sehingga semua titik garis ini juga tergolong dalam sama.

Penyelesaian

Menggunakan produk yang luar biasa dari perbezaan petak, persamaan untuk paraboloid hiperbolik boleh ditulis seperti ini:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Di mana c ialah pemalar bukan sifar.

Persamaan x + y = cz, dan persamaan x - y = 1 / c sesuai dengan dua satah dengan vektor normal n = <1,1, -c> dan m = <1, -1,0>. Produk vektor mxn = <- c, -c, -2> memberi kita arah garis persimpangan kedua-dua satah. Kemudian salah satu garis yang melewati titik P dan tergolong dalam paraboloid hiperbolik mempunyai persamaan parametrik:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Untuk menentukan c kita menggantikan titik P dalam persamaan x + y = cz, memperoleh:

c = -1

Dengan cara yang serupa, tetapi dengan mempertimbangkan persamaan (x - y = kz) dan (x + y = 1 / k), kita mempunyai persamaan parametrik garis:

= <0, 1, -1> + s dengan k = 1.

Ringkasnya, dua baris:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> dan = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Mereka benar-benar terkandung dalam paraboloid hiperbolik z = x ² - y ^{2 yang} melewati titik (0, 1, -1).

Sebagai tanda semak, anggap t = 1 yang memberi kita titik (1,2, -3) pada baris pertama. Anda harus memeriksa sama ada ia juga terdapat pada paraboloid z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Yang mengesahkan bahawa ia memang tergolong dalam permukaan paraboloid hiperbolik.

Paraboloid hiperbolik dalam seni bina

Rajah 6. Oceanographic of Valencia (Sepanyol) Sumber: Wikimedia Commons.

Parabola hiperbolik telah digunakan dalam seni bina oleh arkitek avant-garde yang hebat, di antaranya nama-nama arkitek Sepanyol Antoni Gaudí (1852-1926) dan terutama sekali Félix Candela Sepanyol (1910-1997) yang menonjol.

Berikut adalah beberapa karya berdasarkan paraboloid hiperbolik:

- Kapel kota Cuernavaca (Mexico) karya arkitek Félix Candela.

-Oseanografi Valencia (Sepanyol), juga oleh Félix Candela.

Rujukan

1. Ensiklopedia matematik. Permukaan Teratur. Dipulihkan dari: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Paraboloid hiperbolik. Dipulihkan dari: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Paraboloid hiperbolik." Dari MathWorld - Sumber Web Wolfram. Dipulihkan dari: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Permukaan yang diperintah. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com