PARALLELEPIPED: CIRI, JENIS, LUAS, ISI PADU - MATEMATIK - 2026

A paralelipiped adalah sebuah badan geometri terdiri daripada enam muka, ciri-ciri utama yang adalah bahawa semua mukanya adalah selari dan juga ketika muka lawannya adalah selari antara satu sama lain. Ini adalah polyhedron biasa dalam kehidupan seharian kita, kerana kita dapat menemuinya di dalam kotak kasut, bentuk bata, bentuk gelombang mikro, dll.

Menjadi polyhedron, parallelepiped merangkumi jumlah terhingga dan semua wajahnya rata. Ia adalah bahagian dari kumpulan prisma, iaitu poliedra di mana semua bucunya terkandung dalam dua satah selari.

Elemen Parallelepiped

Muka

Mereka adalah masing-masing kawasan yang dibentuk oleh parallelograms yang menghadkan parallelepiped. Parallelepiped mempunyai enam wajah, di mana setiap wajah mempunyai empat muka yang bersebelahan dan satu yang berlawanan. Juga, setiap wajah selari dengan yang berlawanan.

Tepi

Mereka adalah sisi umum dua wajah. Secara keseluruhan, parallelepiped mempunyai dua belas tepi.

Verteks

Ini adalah titik biasa dari tiga wajah yang saling bersebelahan satu sama lain. Sebuah parallelepiped mempunyai lapan bucu.

Diagonal

Memandangkan dua muka sejajar dengan pipa yang berlawanan satu sama lain, kita dapat melukis segmen garis yang bergerak dari bucu satu muka ke bucu yang berlawanan dari yang lain.

Segmen ini dikenali sebagai pepenjuru parallelepiped. Setiap parallelepiped mempunyai empat pepenjuru.

Pusat

Ia adalah titik di mana semua pepenjuru bersilang.

Ciri-ciri Parallelepiped

Seperti yang telah kita sebutkan, badan geometri ini mempunyai dua belas tepi, enam muka, dan lapan bucu.

Secara parallelepiped, tiga set yang dibentuk oleh empat tepi dapat dikenal pasti, yang selari antara satu sama lain. Selanjutnya, tepi set tersebut juga mempunyai sifat yang sama panjangnya.

Satu lagi sifat yang dimiliki oleh parallelepiped adalah bahawa ia adalah cembung, iaitu, jika kita mengambil sepasang titik kepunyaan bahagian dalam parallelepiped, segmen yang ditentukan oleh pasangan titik tersebut juga akan berada dalam garis selari.

Sebagai tambahan, parallelepipeds yang menjadi polyhedra cembung mematuhi teorema Euler untuk polyhedra, yang memberi kita hubungan antara bilangan muka, jumlah tepi dan bilangan bucu. Hubungan ini diberikan dalam bentuk persamaan berikut:

C + V = A + 2

Ciri ini dikenali sebagai ciri Euler.

Di mana C adalah bilangan muka, V bilangan bucu dan A bilangan sisi.

Jenis-Jenis

Kami dapat mengklasifikasikan paralelepiped berdasarkan wajah mereka, kepada jenis berikut:

Orthohedron

Mereka adalah paralel di mana wajah mereka dibentuk oleh enam segi empat tepat. Setiap segi empat tepat berserenjang dengan yang mempunyai sisi. Ini adalah yang paling biasa dalam kehidupan seharian kita, ini adalah bentuk kotak kasut dan batu bata yang biasa.

Kiub biasa atau heksahedron

Ini adalah kes tertentu dari yang sebelumnya, di mana setiap wajah adalah segi empat sama.

Kubus itu juga merupakan bahagian badan geometri yang disebut pepejal Platonik. Pepejal Platonik adalah poliedron cembung, sehingga kedua muka dan sudut dalamannya sama antara satu sama lain.

Rhombohedron

Ini adalah sejajar dengan rhombus untuk wajahnya. Rhombus ini semua sama antara satu sama lain, kerana mereka mempunyai tepi.

Rhombohedron

Enam wajahnya adalah rhomboid. Ingat bahawa rhomboid adalah poligon dengan empat sisi dan empat sudut yang sama dua hingga dua. Rhomboid adalah parallelogram yang bukan segiempat sama, atau segi empat tepat, atau rhombus.

Sebaliknya, Parallelepipeds serong adalah yang di mana sekurang-kurangnya satu ketinggian tidak setuju dengan pinggirnya. Dalam klasifikasi ini kita boleh memasukkan rhombohedra dan rhombohedra.

Pengiraan pepenjuru

Untuk mengira pepenjuru ortohedron kita boleh menggunakan teorema Pythagoras untuk R ³ .

Ingat bahawa ortohedron mempunyai ciri bahawa setiap sisi berserenjang dengan sisi yang mempunyai sisi. Dari fakta ini, kita dapat menyimpulkan bahawa setiap pinggirnya tegak lurus dengan garis yang mempunyai bucu.

Untuk mengira panjang pepenjuru ortohedron kita meneruskan seperti berikut:

1. Kami mengira pepenjuru salah satu wajah, yang akan kami letakkan sebagai asas. Untuk ini kami menggunakan teorema Pythagoras. Mari namakan pepenjuru ini d _b .

2. Kemudian dengan d _b kita dapat membentuk segitiga kanan baru, sehingga hipotenus segitiga tersebut adalah pepenjuru D yang kita cari.

3. Kami menggunakan teorema Pythagoras sekali lagi dan panjang lebar pepenjuru ini adalah:

Kaedah lain untuk mengira pepenjuru dengan cara yang lebih grafik adalah dengan penambahan vektor bebas.

Ingat bahawa dua vektor bebas A dan B ditambahkan dengan meletakkan ekor vektor B dengan hujung vektor A.

Vektor (A + B) adalah vektor yang bermula di ekor A dan berakhir di hujung B.

Mari kita fikirkan paralel yang mana kita ingin mengira pepenjuru.

Kami mengenal pasti bahagian tepi dengan vektor yang berorientasikan mudah.

Kemudian kita menambah vektor ini dan vektor yang dihasilkan akan menjadi pepenjuru dari parallelepiped.

Kawasan

Kawasan paralel diberikan oleh jumlah setiap kawasan wajahnya.

Sekiranya kita menentukan salah satu sisi sebagai asas,

A _L + 2A _B = Jumlah Luas

Di mana A _L sama dengan jumlah luas semua sisi yang bersebelahan dengan pangkalan, yang disebut kawasan lateral dan A _B adalah luas pangkalan.

Bergantung pada jenis paralel yang kita bekerjasama, kita boleh menulis semula formula ini.

Kawasan ortohedron

Ia diberikan oleh formula

A = 2 (ab + bc + ca).

Contoh 1

Dengan ortohedron berikut, dengan sisi a = 6 cm, b = 8 cm dan c = 10 cm, hitung luas garis selari dan panjang pepenjuru.

Dengan menggunakan formula bagi kawasan ortohedron kita mempunyai itu

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Perhatikan bahawa kerana ini adalah ortohedron, panjang mana-mana dari empat pepenjuru adalah sama.

Menggunakan teorema Pythagoras untuk ruang kita mempunyai itu

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Luas sebuah kubus

Oleh kerana setiap tepi mempunyai panjang yang sama, kita mempunyai a = b dan a = c. Mengganti formula sebelumnya yang kita ada

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Contoh 2

Kotak konsol permainan berbentuk seperti kubus. Sekiranya kita ingin membungkus kotak ini dengan bungkus hadiah, berapa banyak kertas yang akan kita habiskan dengan mengetahui bahawa panjang pinggir kubus adalah 45 cm?

Dengan menggunakan formula untuk luas kubus, kita memperolehnya

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Kawasan rhombohedron

Oleh kerana semua wajah mereka sama, hitung luas salah satu daripadanya dan kalikan dengan enam.

Kita mempunyai luas rombus dapat dihitung melalui pepenjuru dengan formula berikut

A _R = (Dd) / 2

Dengan menggunakan formula ini menunjukkan bahawa luas luas rhombohedron adalah

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Contoh 3

Muka rhombohedron berikut dibentuk oleh rhombus yang pepenjuru adalah D = 7 cm dan d = 4 cm. Kawasan anda akan

A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ² .

Kawasan rhombohedron

Untuk mengira luas rhombohedron kita mesti mengira luas rhomboid yang menyusunnya. Oleh kerana parallelepipeds memenuhi sifat bahawa sisi bertentangan mempunyai luas yang sama, kita dapat mengaitkan sisi dalam tiga pasang.

Dengan cara ini kita mempunyai kawasan anda

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Di mana b _i adalah asas yang dihubungkan dengan sisi dan h _i ketinggian relatifnya sepadan dengan pangkalan ini.

Contoh 4

Pertimbangkan parallelepiped berikut,

di mana sisi A dan sisi A '(sisi berlawanan) mempunyai asas b = 10 dan tinggi h = 6. Kawasan yang ditandakan akan mempunyai nilai

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B dan B 'mempunyai b = 4 dan h = 6, jadi

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC dan C 'mempunyai b = 10 dan h = 5, dengan demikian

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Akhirnya kawasan rhombohedron adalah

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Isipadu sejajar

Rumus yang memberi kita kelipatan sejajar adalah produk dari luas salah satu wajahnya dengan ketinggian yang sesuai dengan wajah itu.

V = A _C h _C

Bergantung pada jenis parallelepiped, formula ini dapat dipermudahkan.

Oleh itu, kita mempunyai contoh bahawa isipadu ortohedron akan diberikan oleh

V = abc.

Di mana a, b dan c mewakili panjang pinggir ortohedron.

Dan dalam kes kubus tersebut adalah

V = a ³

Contoh 1

Terdapat tiga model yang berbeza untuk kotak kuki dan anda ingin tahu di antara model mana yang boleh anda simpan lebih banyak kuki, iaitu kotak mana yang mempunyai jumlah terbesar.

Yang pertama ialah kubus yang pinggirnya mempunyai panjang = 10 cm

Isipadu akan menjadi V = 1000 cm ³

Yang kedua mempunyai tepi b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Oleh itu isipadu V = 765 cm ³

Dan yang ketiga mempunyai e = 9 cm, f = 9 cm dan g = 13 cm

Dan isipadu V = 1053 cm ³

Oleh itu, kotak dengan jumlah terbesar adalah yang ketiga.

Kaedah lain untuk mendapatkan isipadu parallelepiped adalah dengan menggunakan aljabar vektor. Khususnya, produk triple dot.

Salah satu tafsiran geometri yang terdapat pada produk tiga skalar adalah dari volume parallelepiped, yang tepinya adalah tiga vektor yang mempunyai bucu yang sama sebagai titik permulaan.

Dengan cara ini, jika kita mempunyai pipa paralel dan kita ingin tahu berapa isipadu, cukup untuk menggambarkannya dalam sistem koordinat di R ^{3 dengan} menjadikan salah satu bucunya bertepatan dengan asal.

Kemudian kami mewakili tepi yang bertepatan pada asal dengan vektor seperti yang ditunjukkan dalam gambar.

Dan dengan cara ini kita dapati bahawa volume parallelepiped tersebut diberikan oleh

V = - AxB ∙ C-

Atau, bersamaan, isipadu adalah penentu matriks 3 × 3, yang dibentuk oleh komponen vektor tepi.

Contoh 2

Semasa mewakili parallelepiped berikut dalam R ³ kita dapat melihat bahawa vektor yang menentukannya adalah yang berikut

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) dan w = (-0.25, -4, 4)

Menggunakan produk triple scalar yang kami ada

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Dari ini kami menyimpulkan bahawa V = 60

Mari kita pertimbangkan paralel berikut dalam R3 yang tepinya ditentukan oleh vektor

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) dan C = (3, 4, 4)

Menggunakan penentu memberi kita perkara itu

Oleh itu, kita dapati bahawa volume parallelepiped tersebut adalah 112.

Kedua-duanya adalah kaedah yang sama untuk mengira isipadu.

Paralel yang sempurna

Orthohedron dikenali sebagai bata Euler (atau blok Euler) yang memenuhi sifat bahawa panjang pinggirnya dan panjang pepenjuru setiap wajahnya adalah nombor bulat.

Walaupun Euler bukan saintis pertama yang mempelajari ortohedra yang memenuhi harta tanah ini, dia mendapat hasil yang menarik mengenai mereka.

Bata Euler terkecil ditemui oleh Paul Halcke dan panjang tepinya ialah = 44, b = 117 dan c = 240.

Masalah terbuka dalam teori nombor adalah seperti berikut

Adakah terdapat ortohedra yang sempurna?

Pada masa ini, pertanyaan ini belum dijawab, kerana tidak mungkin untuk membuktikan bahawa mayat seperti itu tidak ada, tetapi tidak ada yang ditemukan.

Apa yang telah ditunjukkan sejauh ini adalah bahawa saluran paralel sempurna wujud. Yang pertama dijumpai mempunyai panjang tepinya nilai 103, 106 dan 271.

Bibliografi

1. Guy, R. (1981). Masalah yang tidak dapat diselesaikan dalam teori nombor. Pemecut.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometri. Kemajuan.
3. Leithold, L. (1992). Pengiraan dengan geometri analitik. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Lukisan teknik: Buku aktiviti 3 Bachillerato ke-2. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fizik Vol. 1. Mexico: Kontinental.