PERMUTASI PEKELILING: BUKTI, CONTOH, LATIHAN YANG DISELESAIKAN - DUDAS - 2026

The pilih atur bulat beberapa jenis kumpulan semua unsur-unsur set, apabila mereka adalah untuk dapat disusun dalam bulatan. Dalam permutasi jenis ini, urutannya penting dan elemennya tidak berulang.

Sebagai contoh, andaikan anda ingin mengetahui bilangan tatasusunan digit yang berbeza satu hingga empat, meletakkan setiap nombor di salah satu bucu rombus. Ini akan menjadi 6 pengaturan secara keseluruhan:

Tidak boleh dikelirukan bahawa nombor satu berada di posisi atas rombus dalam semua keadaan sebagai kedudukan tetap. Permutasi bulat tidak diubah oleh putaran larik. Berikut adalah permutasi tunggal atau sama:

Demo dan formula

Dalam contoh tatasusunan bulat 4 digit yang berlainan yang terletak di bucu rombus, bilangan susunan (6) dapat dijumpai seperti ini:

1- Mana-mana dari empat digit diambil sebagai titik permulaan di salah satu bucu dan maju ke bucu seterusnya. (tidak menjadi masalah jika dipusingkan mengikut arah jam atau berlawanan arah jam)

2- Tinggal 3 pilihan untuk memilih bucu kedua, kemudian ada 2 pilihan untuk memilih bucu ketiga dan, tentu saja, hanya ada satu pilihan pilihan untuk bucu keempat.

3- Oleh itu, jumlah permutasi bulat, yang dilambangkan dengan (4 - 1) P (4 - 1), diperoleh oleh produk pilihan pemilihan di setiap kedudukan:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 tatasusunan bulat 4 digit yang berbeza.

Secara umum, bilangan permutasi bulat yang dapat dicapai dengan semua elemen n dari satu set adalah:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Perhatikan bahawa (n - 1)! Ia dikenali sebagai n faktorial dan menyingkat produk semua nombor dari nombor (n - 1) hingga nombor satu, termasuk.

Contoh

Contoh 1

Berapa banyak cara yang berbeza yang perlu dilakukan oleh 6 orang untuk duduk di meja bulat?

Anda ingin mencari bilangan cara yang berbeza yang boleh dilakukan oleh 6 orang untuk duduk di meja bulat.

N ° cara duduk = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Bilangan cara duduk = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 cara berbeza

Contoh 2

Berapa banyak cara yang berbeza yang perlu dilakukan oleh 5 orang untuk berada di puncak pentagon?

Jumlah cara di mana 5 orang dapat ditempatkan di setiap bucu pentagon dicari.

N ° cara untuk ditempatkan = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° cara untuk ditempatkan = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 cara yang berbeza

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Seorang tukang emas memperoleh 12 batu permata yang berbeza untuk meletakkannya pada titik-titik jam yang disiapkannya bagi pihak rumah kerajaan sebuah negara Eropah.

a) Berapa banyak cara yang perlu dilakukannya untuk menyusun batu pada jam?

b) Berapa banyak bentuk yang ada jika batu yang menghala ke jam 12 itu unik?

c) Berapa banyak bentuk yang berbeza jika batu pada pukul 12 adalah unik dan batu di tiga titik kardinal yang lain, jam 3, 6 dan 9; Adakah terdapat tiga batu tertentu, yang dapat ditukar, dan selebihnya waktu ditetapkan dari batu yang lain?

Penyelesaian

a) Bilangan cara untuk mengatur semua batu pada lilitan jam diminta; iaitu, jumlah susunan bulat yang melibatkan semua batu yang ada.

Bilangan susunan pada jam = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Bilangan pembaikan pada jam = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Bilangan susunan pada jam = 39976800 pelbagai bentuk

b) Dia tertanya-tanya berapa banyak kaedah pesanan yang ada, mengetahui bahawa batu pada pemegang jam 12 itu unik dan tetap; iaitu, jumlah susunan bulat yang melibatkan baki 11 batu.

Bilangan susunan pada jam = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Bilangan pembaikan pada jam = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Bilangan susunan pada jam = 3,628,800 bentuk yang berbeza

c) Akhirnya, banyak kaedah untuk memesan semua batu yang dicari kecuali batu 12 yang terpaku, batu 3, 6 dan 9 yang mempunyai 3 batu untuk ditugaskan satu sama lain; iaitu, 3! kemungkinan susunan, dan bilangan susunan bulat yang melibatkan baki 8 batu.

Bilangan pembetulan dalam jam = 3! * = 3! * (8–1)!

Bilangan susunan dalam jam = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Bilangan susunan pada jam = 241920 bentuk yang berbeza

- Latihan 2

Jawatankuasa pengarah sebuah syarikat terdiri daripada 8 orang ahli dan mereka bertemu di meja bujur.

a) Berapa banyak bentuk susunan di sekitar meja yang dimiliki oleh panitia?

b) Andaikan ketua duduk di kepala meja dalam mana-mana pengaturan jawatankuasa, berapa banyak bentuk susunan yang dimiliki oleh ahli jawatankuasa yang lain?

c) Andaikan naib presiden dan setiausaha duduk di kedua-dua belah presiden dalam mana-mana susunan jawatankuasa. Berapa banyak susunan yang berbeza yang dimiliki oleh ahli jawatankuasa yang lain?

Penyelesaian

a) Kami ingin mencari bilangan cara yang berbeza untuk mengatur 12 anggota jawatankuasa di sekitar meja bujur.

N ° pengaturan jawatankuasa = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

N ° pengaturan jawatankuasa = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° pengaturan jawatankuasa = 39976800 bentuk yang berbeza

b) Oleh kerana ketua panitia berada dalam kedudukan tetap, banyak kaedah untuk memerintahkan baki 11 ahli jawatankuasa di sekitar meja bujur dicari.

N ° pengaturan jawatankuasa = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

N ° pengaturan jawatankuasa = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° pengaturan jawatankuasa = 3,628,800 bentuk yang berbeza

c) Presiden terletak dalam kedudukan tetap dan di sisi adalah naib presiden dan setiausaha dengan dua kemungkinan pengaturan: naib presiden di sebelah kanan dan setiausaha di sebelah kiri atau naib presiden di sebelah kiri dan setiausaha di sebelah kanan. Kemudian anda ingin mencari bilangan cara yang berbeza untuk mengatur baki 9 anggota jawatankuasa di sekitar meja bujur dan kalikan dengan 2 bentuk pengaturan yang dimiliki oleh naib presiden dan setiausaha.

N ° pengaturan jawatankuasa = 2 * = 2 *

N ° pengaturan jawatankuasa = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N ° pengaturan jawatankuasa = 80640 bentuk yang berbeza

Rujukan

1. Boada, A. (2017). Penggunaan permutasi dengan pengulangan sebagai pengajaran eksperimen. Majalah Vivat Academia. Dipulihkan dari researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Kebarangkalian dan statistik. Aplikasi dan kaedah. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Kaca, G .; Stanley, J. (1996). Kaedah statistik tidak digunakan untuk sains sosial. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistik. Edisi keempat. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ye, Ka. (2007). Kebarangkalian & Statistik untuk jurutera & saintis. Edisi kelapan. Dewan Prentice Antarabangsa Pearson Education.
6. Webster, A. (2000). Statistik yang digunakan untuk perniagaan dan ekonomi. Edisi ketiga. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutasi. Dipulihkan dari en.wikipedia.org.