PERMUTASI TANPA PENGULANGAN: FORMULA, BUKTI, LATIHAN, CONTOH - DUDAS - 2026

A atur tanpa pengulangan elemen n adalah kumpulan yang berbeza daripada unsur-unsur yang berbeza yang boleh diperolehi daripada tidak mengulangi apa-apa unsur, hanya yang berbeza-beza perintah penempatan unsur-unsur.

Untuk mengetahui jumlah permutasi tanpa pengulangan, formula berikut digunakan:

Pn = n!

Yang diperluas akan menjadi Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Jadi dalam contoh praktikal sebelumnya, ia akan diterapkan seperti berikut:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 nombor 4 digit yang berbeza.

Ini adalah 24 susunan keseluruhan: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Seperti yang dapat dilihat, tidak ada pengulangan dalam hal apa pun, kerana 24 nombor berbeza.

Demo dan formula

24 Susunan 4 angka berbeza

Kami akan menganalisis secara lebih khusus contoh 24 susunan 4 digit yang berbeza yang dapat dibentuk dengan digit nombor 2468. Bilangan susunan (24) dapat diketahui seperti berikut:

Anda mempunyai 4 pilihan untuk memilih digit pertama, yang meninggalkan 3 pilihan untuk memilih digit kedua. Dua digit telah ditetapkan dan 2 pilihan masih ada untuk memilih digit ketiga. Digit terakhir hanya mempunyai satu pilihan pilihan.

Oleh itu, bilangan permutasi, dilambangkan dengan P4, diperoleh oleh produk pilihan pilihan di setiap kedudukan:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 nombor 4 digit yang berbeza

Secara umum, bilangan permutasi atau susunan yang berbeza yang dapat dilakukan dengan semua elemen n dari satu set adalah:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Ungkapan n! ia dikenali sebagai n faktorial dan bermaksud produk dari semua nombor semula jadi yang terletak di antara nombor n dan nombor satu, termasuk kedua-duanya.

12 Susunan 2 tokoh berbeza

Sekarang andaikan anda ingin mengetahui bilangan permutasi atau nombor dua digit yang boleh dibentuk dengan digit nombor 2468.

Ini adalah 12 pengaturan keseluruhan: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Anda mempunyai 4 pilihan untuk memilih digit pertama, yang tinggal 3 digit untuk memilih digit kedua. Oleh itu, bilangan permutasi dari 4 digit yang diambil dua demi dua, dilambangkan dengan 4P2, diperoleh oleh produk pilihan pemilihan di setiap kedudukan:

4P2 = 4 * 3 = 12 nombor 2 digit yang berbeza

Secara umum, jumlah permutasi atau susunan yang berbeza yang dapat dilakukan dengan unsur r dari n secara total dalam satu set adalah:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Ungkapan di atas dipotong sebelum bermain n !. Untuk melengkapkan n! dari itu kita harus menulis:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Faktor-faktor yang kita tambah, pada gilirannya, mewakili faktorial:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Oleh itu,

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Dari sini

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Contoh

Contoh 1

Berapa banyak gabungan huruf 5 huruf yang boleh dibina dengan huruf-huruf perkataan KEY?

Kami ingin mencari bilangan gabungan huruf yang berlainan dari 5 huruf yang dapat dibina dengan 5 huruf dari perkataan KEY; iaitu bilangan susunan 5 huruf yang melibatkan semua huruf yang terdapat dalam perkataan KEY.

N ° dari 5 huruf perkataan = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 kombinasi huruf 5 huruf yang berbeza.

Ini adalah: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… hingga 120 kombinasi huruf yang berbeza secara keseluruhan.

Contoh 2

Anda mempunyai 15 bola bernombor dan anda ingin tahu Berapa banyak kumpulan 3 bola yang boleh dibina dengan 15 bola bernombor?

Anda ingin mencari bilangan kumpulan 3 bola yang boleh dibuat dengan 15 bola bernombor.

N ° kumpulan 3 bola = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

N ° kumpulan 3 bola = 15 * 14 * 13 = 2730 kumpulan 3 bola

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Sebuah kedai buah mempunyai tempat pameran yang terdiri daripada sebilangan petak yang terletak di ruang masuk ke premis. Dalam satu hari, penjual sayur itu dijual: jeruk, pisang, nanas, pir dan epal.

a) Berapa banyak cara yang anda perlukan untuk memesan tempat pameran?

b) Berapa banyak cara yang anda miliki untuk memesan tempat berdiri jika, selain buah-buahan yang disebutkan (5), anda menerima pada hari itu: mangga, pic, strawberi dan anggur (4)?

a) Kami ingin mencari pelbagai cara untuk memesan semua buah di barisan paparan; iaitu, jumlah susunan 5 item buah yang melibatkan semua buah yang tersedia untuk dijual pada hari itu.

N ° susunan pendirian = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° susunan pendirian = 120 cara untuk mempersembahkan pendirian

b) Kami ingin mencari pelbagai cara untuk memesan semua buah di baris paparan sekiranya 4 item tambahan ditambahkan; iaitu, jumlah susunan 9 item buah yang melibatkan semua buah yang tersedia untuk dijual pada hari itu.

N ° susunan pendirian = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° susunan pendirian = 362,880 cara untuk mempersembahkan pendirian

Latihan 2

Sebuah kedai makanan kecil mempunyai sebidang tanah dengan ruang yang cukup untuk meletakkan 6 kenderaan.

a) Berapa banyak cara untuk memesan kenderaan di sebidang tanah yang boleh dipilih?

b) Andaikan sebidang tanah bersebelahan diperoleh yang dimensinya membolehkan 10 kenderaan diparkir.Berapa banyak bentuk susunan kenderaan yang boleh dipilih sekarang?

a) Kami ingin mencari bilangan cara memesan 6 kenderaan yang boleh ditempatkan di sebidang tanah.

Jumlah susunan 6 kenderaan = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Bilangan susunan 6 kenderaan = 720 cara memerintahkan 6 kenderaan di sebidang tanah.

b) Kami ingin mencari bilangan cara pesanan 10 kenderaan yang boleh ditempatkan di sebidang tanah setelah pengembangan plot tanah.

N ° susunan 10 kenderaan = P10 = 10!

Bilangan susunan kenderaan = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Bilangan susunan 10 kenderaan = 3,628,800 cara memerintahkan 10 kenderaan di sebidang tanah.

Latihan 3

Seorang penjual bunga mempunyai bunga dari 6 warna yang berbeza untuk membuat bendera bunga bangsa yang hanya mempunyai 3 warna. Sekiranya diketahui bahawa susunan warna penting dalam bendera,

a) Berapa banyak bendera 3 warna yang boleh dibuat dengan 6 warna yang ada?

b) Penjual membeli bunga dari 2 warna tambahan dengan 6 warna yang sudah dimilikinya, sekarang berapa bendera 3 warna yang berbeza dapat dibuat?

c) Oleh kerana anda mempunyai 8 warna, anda memutuskan untuk memperluas bendera anda. Berapa banyak bendera 4 warna yang boleh anda buat?

d) Berapa banyak daripada 2 warna?

a) Kami ingin mencari bilangan bendera 3 warna yang berbeza yang boleh dibuat dengan memilih dari 6 warna yang ada.

N ° bendera 3 warna = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

N ° bendera 3 warna = 6 * 5 * 4 = 120 bendera

b) Anda ingin mencari bilangan bendera yang berlainan dari 3 warna yang boleh dibuat dengan memilih dari 8 warna yang ada.

N ° bendera 3 warna = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

N ° bendera 3 warna = 8 * 7 * 6 = 336 bendera

c) Bilangan bendera 4 warna yang berbeza yang boleh dibuat dengan memilih dari 8 warna yang ada mesti dikira.

Bilangan bendera 4 warna = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Bendera 4 warna = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 bendera

d) Anda ingin menentukan bilangan bendera 2 warna berbeza yang boleh dibuat dengan memilih dari 8 warna yang ada.

N ° bendera 2 warna = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Bilangan bendera 2 warna = 8 * 7 = 56 bendera

Rujukan

1. Boada, A. (2017). Penggunaan permutasi dengan pengulangan sebagai pengajaran eksperimen. Majalah Vivat Academia. Dipulihkan dari researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Kebarangkalian dan statistik. Aplikasi dan kaedah. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Kaca, G .; Stanley, J. (1996). Kaedah statistik tidak digunakan untuk sains sosial. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistik. Edisi keempat. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ye, Ka. (2007). Kebarangkalian & Statistik untuk jurutera & saintis. Edisi kelapan. Dewan Prentice Antarabangsa Pearson Education.
6. Webster, A. (2000). Statistik yang digunakan untuk perniagaan dan ekonomi. Edisi ketiga. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutasi. Dipulihkan dari en.wikipedia.org.