PRINSIP PENDARABAN: TEKNIK DAN CONTOH MEMBILANG - MATEMATIK - 2026

The prinsip pendaraban adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah pengiraan untuk mencari penyelesaian tanpa perlu menyenaraikan unsur-unsur. Ia juga dikenali sebagai asas analisis kombinatorial; ia didasarkan pada pendaraban berturut-turut untuk menentukan bagaimana suatu peristiwa boleh berlaku.

Prinsip ini menyatakan bahawa, jika keputusan (d ₁ ) dapat dibuat dengan cara n dan keputusan lain (d ₂ ) dapat dibuat dengan cara m, jumlah cara di mana keputusan d ₁ dan d ₂ dapat dibuat akan sama untuk membiak dari n _* m. Menurut prinsip itu, setiap keputusan dibuat satu demi satu: bilangan cara = N _{1 *} N ₂ … _* N _x cara.

Contoh

Contoh 1

Paula merancang untuk menonton filem bersama rakan-rakannya, dan untuk memilih pakaian yang akan dipakainya, saya memisahkan 3 blaus dan 2 skirt. Berapa banyak cara berpakaian Paula?

Penyelesaian

Dalam kes ini, Paula mesti membuat dua keputusan:

d ₁ = Pilih antara 3 blaus = n

d ₂ = Pilih antara 2 skirt = m

Cara Paula mempunyai n _* keputusan m untuk membuat atau cara yang berbeza untuk berpakaian.

n _* m = 3 _* 2 = 6 keputusan.

Prinsip pendaraban berpunca dari teknik diagram pokok, yang merupakan gambarajah yang menghubungkan semua hasil yang mungkin, sehingga masing-masing dapat terjadi beberapa kali.

Contoh 2

Mario sangat dahaga, jadi dia pergi ke kedai roti untuk membeli jus. Luis menjaganya dan memberitahunya bahawa ia terdapat dalam dua ukuran: besar dan kecil; dan empat perisa: epal, oren, lemon dan anggur. Berapa banyak cara Mario boleh memilih jusnya?

Penyelesaian

Dalam gambarajah dapat dilihat bahawa Mario mempunyai 8 cara yang berbeza untuk memilih jus dan bahawa, seperti dalam prinsip pendaraban, hasil ini diperoleh dengan mengalikan n _* m. Satu-satunya perbezaan adalah bahawa melalui rajah ini anda dapat melihat bagaimana cara Mario memilih jus itu.

Sebaliknya, apabila jumlah kemungkinan hasilnya sangat besar, lebih praktikal menggunakan prinsip pendaraban.

Teknik membilang

Teknik membilang adalah kaedah yang digunakan untuk membuat pengiraan langsung, dan dengan demikian mengetahui jumlah kemungkinan susunan yang dapat dimiliki oleh unsur-unsur dari set tertentu. Teknik ini berdasarkan beberapa prinsip:

Prinsip penambahan

Prinsip ini menyatakan bahawa, jika dua peristiwa m dan n tidak dapat berlaku pada masa yang sama, jumlah cara di mana peristiwa pertama atau kedua dapat terjadi adalah jumlah m + n:

Bilangan bentuk = m + n… + x bentuk yang berbeza.

Contohnya

Antonio ingin melakukan perjalanan tetapi tidak memutuskan ke destinasi mana; di Southern Tourism Agency mereka menawarkan promosi untuk melancong ke New York atau Las Vegas, sementara Eastern Tourism Agency mengesyorkan untuk melancong ke Perancis, Itali atau Sepanyol. Berapa banyak alternatif perjalanan yang ditawarkan Antonio kepada anda?

Penyelesaian

Dengan Badan Pelancongan Selatan Antonio mempunyai 2 alternatif (New York atau Las Vegas), sementara dengan Badan Pelancongan Timur dia memiliki 3 pilihan (Perancis, Itali atau Sepanyol). Bilangan alternatif yang berbeza adalah:

Bilangan alternatif = m + n = 2 + 3 = 5 alternatif.

Prinsip permutasi

Ini adalah mengenai memerintahkan secara khusus semua atau beberapa elemen yang membentuk satu set, untuk memudahkan penghitungan semua kemungkinan susunan yang dapat dibuat dengan elemen tersebut.

Bilangan permutasi n unsur yang berbeza, diambil sekaligus, dinyatakan sebagai:

_n P _n = n!

Contohnya

Empat rakan ingin mengambil gambar dan ingin mengetahui berapa banyak cara yang boleh mereka atur.

Penyelesaian

Anda ingin mengetahui sekumpulan semua kemungkinan cara di mana 4 orang itu dapat ditempatkan untuk mengambil gambar. Oleh itu, anda harus:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 bentuk yang berbeza.

Sekiranya bilangan permutasi unsur-unsur yang ada diambil oleh bahagian satu set yang terdiri dari unsur r, maka akan ditunjukkan sebagai:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Contohnya

Di dalam kelas terdapat 10 tempat duduk. Sekiranya 4 orang pelajar menghadiri kelas, dengan berapa banyak cara yang berbeza pelajar dapat mengisi kedudukan?

Penyelesaian

Kami mempunyai jumlah kerusi yang ditetapkan adalah 10, dan hanya 4 yang akan digunakan. Formula yang diberikan digunakan untuk menentukan bilangan permutasi:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 cara untuk mengisi kedudukan.

Terdapat kes di mana beberapa elemen yang ada dari satu set diulang (ia sama). Untuk mengira bilangan tatasusunan yang mengambil semua elemen pada masa yang sama, formula berikut digunakan:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Contohnya

Berapa banyak perkataan empat huruf yang dapat dibentuk dari perkataan "serigala"?

Penyelesaian

Dalam kes ini terdapat 4 elemen (huruf) di mana dua daripadanya sama persis. Dengan menggunakan formula yang diberikan, diketahui berapa banyak hasil yang berbeza:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 perkataan yang berbeza.

Prinsip gabungan

Ini mengenai mengatur semua atau beberapa elemen yang membentuk satu set tanpa susunan tertentu. Sebagai contoh, jika anda mempunyai susunan XYZ, ia akan sama dengan susunan ZXY, YZX, ZYX, antara lain; ini kerana, walaupun tidak berada dalam urutan yang sama, elemen setiap susunan adalah sama.

Apabila beberapa elemen (r) diambil dari set (n), prinsip gabungan diberikan oleh formula berikut:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Contohnya

Di sebuah kedai mereka menjual 5 jenis coklat. Berapa banyak cara yang boleh dipilih untuk memilih 4 coklat?

Penyelesaian

Dalam kes ini, 4 coklat mesti dipilih daripada 5 jenis yang mereka jual di kedai. Urutan di mana mereka dipilih tidak penting dan, sebagai tambahan, sejenis coklat boleh dipilih lebih dari dua kali. Dengan menggunakan formula, anda mesti:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 cara berbeza untuk memilih 4 coklat.

Apabila semua elemen (r) dari set (n) diambil, prinsip kombinasi diberikan dengan formula berikut:

_n C _{n =} n!

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Terdapat pasukan besbol dengan 14 ahli. Dalam berapa banyak cara boleh diberikan 5 kedudukan untuk permainan?

Penyelesaian

Set ini terdiri daripada 14 elemen dan anda ingin memberikan 5 kedudukan tertentu; iaitu pesanan penting. Rumus permutasi diterapkan di mana unsur-unsur yang tersedia diambil oleh bahagian-bahagian set yang dibentuk oleh r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Di mana n = 14 dan r = 5. Ia diganti dalam formula:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 cara untuk menetapkan 9 kedudukan permainan.

Latihan 2

Sekiranya keluarga seramai 9 orang melakukan perjalanan dan membeli tiket mereka dengan tempat duduk berturut-turut, berapa banyak cara yang boleh mereka duduki?

Penyelesaian

Ini adalah kira-kira 9 elemen yang akan menempati 9 kerusi berturut-turut.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 cara duduk yang berbeza.

Rujukan

1. Hopkins, B. (2009). Sumber untuk Mengajar Matematik Diskrit: Projek Bilik Darjah, Modul Sejarah, dan Artikel.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Matematik diskrit. Pendidikan Pearson ,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Penyelesaian Masalah Matematik Terhingga dan Diskrit. Penyunting Persatuan Penyelidikan & Pendidikan.
4. Padró, FC (2001). Matematik diskrit. Politik dari Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Matematik untuk sains gunaan. Reverte.