- Produk dan contoh terkenal
- Binomial kuasa dua
- Produk binomial konjugasi
- Produk dua binomial dengan istilah umum
- Polinomial kuasa dua
- Kiub binomial
- Kiub trinomial
- Selesaikan latihan produk terkenal
- Latihan 1
- Penyelesaian
- Latihan 2
- Penyelesaian
- Rujukan
The produk yang luar biasa adalah operasi algebra, di mana pendaraban polinomial dinyatakan, yang tidak perlu diselesaikan secara tradisional, tetapi dengan bantuan kaedah-kaedah tertentu keputusan yang sama boleh didapati.
Polinomial dikalikan dengan ya, oleh itu ada kemungkinan mereka mempunyai sebilangan besar istilah dan pemboleh ubah. Untuk menjadikan prosesnya lebih pendek, peraturan produk terkenal digunakan, yang memungkinkan pendaraban tanpa perlu berjalan mengikut istilah.
Produk dan contoh terkenal
Setiap produk yang terkenal adalah formula yang dihasilkan dari faktorisasi, terdiri dari beberapa istilah, seperti binomial atau trinomial, yang disebut faktor.
Faktor adalah asas kekuatan dan mempunyai eksponen. Apabila faktornya berlipat ganda, eksponen mesti ditambah.
Terdapat beberapa formula produk yang luar biasa, ada yang lebih banyak digunakan daripada yang lain, bergantung pada polinomial, dan ia adalah yang berikut:
Binomial kuasa dua
Ini adalah penggandaan binomial dengan sendirinya, dinyatakan sebagai kekuatan, di mana istilahnya ditambahkan atau dikurangkan:
ke. Kuadrat segiempat sama : ia sama dengan kuadrat bagi istilah pertama, ditambah dua kali hasil istilah, ditambah dengan segi empat bagi istilah kedua. Ia dinyatakan seperti berikut:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Pada gambar berikut, anda dapat melihat bagaimana produk berkembang mengikut peraturan yang disebutkan di atas. Hasilnya dipanggil trinomial segiempat tepat.
Contoh 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Contoh 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Binomial pengurangan kuasa dua: peraturan binomial jumlah yang sama berlaku, hanya dalam kes ini istilah kedua adalah negatif. Formulanya adalah seperti berikut:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Contoh 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Produk binomial konjugasi
Dua binomial terkonjugasi apabila sebutan kedua masing-masing mempunyai tanda yang berbeza, iaitu yang pertama adalah positif dan yang kedua negatif atau sebaliknya. Ia diselesaikan dengan mengkuadratkan setiap monomial dan mengurangkan. Formulanya adalah seperti berikut:
(a + b) * (a - b)
Dalam gambar berikut, produk dua binomial konjugasi dikembangkan, di mana diperhatikan bahawa hasilnya adalah perbezaan kuasa dua.
Contoh 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Produk dua binomial dengan istilah umum
Ini adalah salah satu produk terkenal yang paling kompleks dan jarang digunakan kerana merupakan penggandaan dua binomial yang mempunyai istilah umum. Peraturan tersebut menyatakan perkara berikut:
- Kuadrat bagi istilah umum.
- Tambah jumlah istilah yang tidak biasa dan kemudian kalikan dengan istilah umum.
- Ditambah jumlah penggandaan istilah yang tidak biasa.
Ini ditunjukkan dalam formula: (x + a) * (x + b) dan dikembangkan seperti yang ditunjukkan dalam gambar. Hasilnya adalah trinomial persegi yang tidak sempurna.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Ada kemungkinan bahawa istilah kedua (istilah yang berbeza) adalah negatif dan rumusnya adalah seperti berikut: (x + a) * (x - b).
Contoh 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Ini juga berlaku bahawa kedua-dua istilah yang berlainan itu negatif. Formulanya ialah: (x - a) * (x - b).
Contoh 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Polinomial kuasa dua
Dalam kes ini terdapat lebih dari dua istilah dan untuk mengembangkannya, masing-masing kuasa dua dan ditambahkan bersama dua kali penggandaan satu istilah dengan istilah lain; rumusnya ialah: (a + b + c) 2 dan hasil operasi adalah trinomial kuasa dua.
Contoh 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Kiub binomial
Ia adalah produk yang sangat kompleks. Untuk mengembangkannya, binomial dikalikan dengan kuadratnya, seperti berikut:
ke. Untuk kiub binomial sejumlah:
- Petak bagi istilah pertama, ditambah tiga kali ganda segi empat sama pertama dengan yang kedua.
- Ditambah tiga kali ganda penggal pertama, kali kedua kuadrat.
- Ditambah kiasan penggal kedua.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Contoh 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Untuk kiub binomial pengurangan:
- Petak bagi istilah pertama, tolak tiga kali segi empat sama dengan istilah pertama kali kedua.
- Ditambah tiga kali ganda penggal pertama, kali kedua kuadrat.
- Tolak kiub penggal kedua.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Contoh 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Kiub trinomial
Ia dikembangkan dengan mengalikannya dengan kuadratnya. Ini adalah produk luar biasa yang sangat besar kerana anda mempunyai 3 istilah yang dipotong, ditambah tiga kali setiap istilah kuasa dua, dikalikan dengan setiap istilah, ditambah enam kali produk dari ketiga istilah tersebut. Dilihat dengan cara yang lebih baik:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Contoh 1
Selesaikan latihan produk terkenal
Latihan 1
Kembangkan kiub binomial berikut: (4x - 6) 3 .
Penyelesaian
Mengingat bahawa kubus binomial sama dengan kubus istilah pertama, tolak tiga kali ganda segi empat sama dengan istilah pertama kali kedua; ditambah tiga kali ganda istilah pertama, kali kedua kuadrat, tolak kubus istilah kedua.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Latihan 2
Kembangkan binomial berikut: (x + 3) (x + 8).
Penyelesaian
Terdapat binomial di mana terdapat istilah umum, iaitu x dan istilah kedua positif. Untuk mengembangkannya, anda hanya perlu menjumlahkan istilah umum, ditambah jumlah istilah yang tidak biasa (3 dan 8) dan kemudian kalikan dengan istilah umum, ditambah jumlah penggandaan istilah yang tidak biasa.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Rujukan
- Angel, AR (2007). Algebra Dasar. Pendidikan Pearson ,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. United Kingdom: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Aljabar Dasar dan Menengah: Pendekatan Gabungan. Florida: Pembelajaran Cengage.
- Pérez, CD (2010). Pendidikan Pearson.