HARTA BERSEKUTU: PENAMBAHAN, PENDARABAN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2026

The hartanah bersekutu penambahan mewakili watak bersekutu operasi penambahan dalam pelbagai set matematik. Di dalamnya, tiga (atau lebih) elemen dari set tersebut saling berkaitan, disebut a, b dan c, sehingga selalu berlaku:

a + (b + c) = (a + b) + c

Dengan cara ini dijamin bahawa, terlepas dari cara pengelompokan untuk menjalankan operasi, hasilnya sama.

Gambar 1. Kami menggunakan harta gabungan penambahan berkali-kali ketika melakukan operasi aritmetik dan algebra. (Lukisan: Komposisi freepik: F. Zapata)

Tetapi harus diingat bahawa harta bersekutu tidak identik dengan harta komutatif. Artinya, kita tahu bahawa susunan tambahan tidak mengubah jumlah atau urutan faktor tidak mengubah produk. Jadi untuk jumlahnya boleh ditulis seperti ini: a + b = b + a.

Walau bagaimanapun, dalam harta bersekutu berbeza, kerana susunan elemen yang akan ditambahkan dikekalkan dan apa yang berubah adalah operasi yang dijalankan terlebih dahulu. Yang bermaksud bahawa menambah pertama (b + c) dan menambahkan a pada hasil ini tidak menjadi masalah daripada mula menambahkan a dengan hasil menambah c.

Banyak operasi penting seperti penambahan adalah bersekutu, tetapi tidak semuanya. Sebagai contoh, dalam pengurangan nombor nyata, berlaku bahawa:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Sekiranya a = 2, b = 3, c = 1, maka:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Harta Gabungan Pendaraban

Seperti yang dilakukan untuk penambahan, sifat gabungan pendaraban menyatakan bahawa:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Sekiranya set nombor nyata, mudah untuk mengesahkan bahawa ini selalu berlaku. Sebagai contoh, dengan menggunakan nilai a = 2, b = 3, c = 1, kita mempunyai:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Nombor nyata memenuhi sifat asosiasi penambahan dan pendaraban. Sebaliknya, dalam kumpulan lain, seperti vektor, jumlahnya bersekutu, tetapi produk silang atau produk vektor tidak.

Aplikasi harta pendaraban pendaraban

Kelebihan operasi di mana harta bersekutu dipenuhi adalah dapat mengelompokkan dengan cara yang paling mudah. Ini menjadikan penyelesaian lebih mudah.

Sebagai contoh, anggaplah bahawa di sebuah perpustakaan kecil terdapat 3 rak masing-masing dengan 5 rak. Di setiap rak terdapat 8 buah buku. Berapakah jumlah buku yang ada?

Kita boleh menjalankan operasi seperti ini: jumlah buku = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 buku.

Atau seperti ini: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 buku.

Gambar 2. Salah satu aplikasi sifat pendaraban pendaraban adalah mengira bilangan buku di setiap rak. Gambar dibuat oleh F. Zapata.

Contoh

-Dalam set nombor semula jadi, bilangan bulat, rasional, nyata dan kompleks, sifat penambahan dan pendaraban bersekutu dipenuhi.

Rajah 3. Untuk nombor nyata, harta persatuan penambahan dipenuhi. Sumber: Wikimedia Commons.

-Untuk polinomial mereka juga berlaku dalam operasi ini.

-Dalam kes operasi pengurangan, pembahagian dan eksponen, harta bersekutu tidak berlaku untuk nombor nyata atau polinomial.

-Jika berlaku matriks, harta bersekutu dipenuhi untuk penambahan dan pendaraban, walaupun dalam kes terakhir, komutativiti tidak dipenuhi. Ini bermaksud bahawa, berdasarkan matriks A, B dan C, adalah benar bahawa:

(A x B) x C = A x (B x C)

Tetapi … A x B ≠ B x A

Harta bersekutu dalam vektor

Vektor membentuk satu set yang berbeza daripada nombor nyata atau nombor kompleks. Operasi yang ditentukan untuk set vektor agak berbeza: terdapat penambahan, pengurangan dan tiga jenis produk.

Jumlah vektor memenuhi sifat bersekutu, seperti nombor, polinomial, dan matriks. Bagi produk skalar, skalar dengan vektor dan salib yang dibuat di antara vektor, yang terakhir tidak menunaikannya, tetapi produk skalar, yang merupakan jenis operasi lain di antara vektor, menunaikannya, dengan mempertimbangkan yang berikut:

-Produk skalar dan vektor menghasilkan vektor.

-Dan apabila mengalikan dua vektor secara skalar, hasil skalar.

Oleh itu, memandangkan vektor v , u dan w, dan sebagai tambahan skalar λ, adalah mungkin untuk menulis:

- Jumlah vektor: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Skala produk: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Yang terakhir adalah mungkin berkat kenyataan bahawa v • u adalah skalar, dan λ v adalah vektor.

Walau bagaimanapun:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Pemfaktoran polinomial dengan pengelompokan istilah

Aplikasi ini sangat menarik, kerana seperti yang dikatakan sebelumnya, harta bersekutu membantu menyelesaikan masalah tertentu. Jumlah monomial adalah bersekutu dan ini boleh digunakan untuk pemfaktoran apabila faktor umum yang jelas tidak muncul pada pandangan pertama.

Sebagai contoh, anggap anda diminta untuk memberi faktor: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Polinomial ini tidak mempunyai faktor yang sama, tetapi mari kita lihat apa yang berlaku jika dikelompokkan seperti ini:

Tanda kurung pertama mempunyai faktor sepunya ax ² :

Pada yang kedua, faktor biasa adalah 3:

Latihan

- Latihan 1

Bangunan sekolah mempunyai 4 tingkat dan masing-masing mempunyai 12 bilik darjah dengan 30 meja di dalamnya. Berapakah jumlah meja yang dimiliki sekolah?

Penyelesaian

Masalah ini diselesaikan dengan menggunakan sifat pendaraban pendaraban, mari kita lihat:

Jumlah meja = 4 tingkat x 12 bilik darjah / tingkat x 30 meja / bilik darjah = (4 x 12) x 30 meja = 48 x 30 = 1440 meja.

Atau jika anda lebih suka: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 meja

- Latihan 2

Memandangkan polinomial:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Gunakan sifat asosiasi penambahan untuk mencari A (x) + B (x) + C (x)

Penyelesaian

Anda boleh mengumpulkan dua yang pertama dan menambahkan yang ketiga pada hasilnya:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Segera polinomial C (x) ditambahkan:

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Pembaca boleh mengesahkan bahawa hasilnya sama jika diselesaikan dengan pilihan A (x) +.

Rujukan

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dewan Prentice.
2. Math is Fun. Undang-undang Komutatif, Bersekutu dan Distributif. Dipulihkan dari: mathisfun.com.
3. Math Warehouse. Definisi Harta Bersekutu. Dipulihkan dari: mathwarehouse.com.
4. Ilmu Pengetahuan. Harta Bersama & Komutatif Penambahan & Pendaraban (Dengan Contoh). Dipulihkan dari: sciencing.com.
5. Wikipedia. Harta bersekutu. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.